Ejemplo · Física 1

La mesa y el peso colgante

Una sola tensión resuelve dos ecuaciones de Newton a la vez: en una la aceleración es cero; en la otra, es v²/R.

Es el problema 2 del Parcial 1 del 26 de septiembre de 2024. El movimiento circular aparece en tres de los ocho parciales viejos, pero en los otros dos es cinemática angular —ω, α, sin ninguna fuerza a la vista—: éste es el único de los tres que pide plantear Newton de verdad.

Una masa m₁ = 1 kg se une a una cuerda de masa despreciable e inextensible y se hace girar en un círculo de radio R = 1,5 m sobre una mesa sin fricción. La cuerda pasa por un orificio en el centro de la mesa y una masa m₂ = 500 g se une al otro extremo, colgando en equilibrio mientras m₁ gira a velocidad angular constante. (a) DCL de cada cuerpo. (b) Tensión T. (c) Velocidad tangencial de m₁ para que m₂ permanezca suspendida.

La tensión T no es dos incógnitas: es una sola cuerda, así que es un solo número que entra en dos ecuaciones de Newton distintas, una por cuerpo. Para m₂, que cuelga sin acelerar, T tiene que cancelar exactamente el peso —ninguna aceleración de por medio—. Para m₁, que gira, esa misma T no cancela nada: es, ella sola, toda la fuerza que hace falta para curvar la trayectoria, y la aceleración que produce vale $v^{2} / R$ . Un mismo número, en dos papeles opuestos.

Vale la pena decirlo antes de mirar el dibujo: el diagrama de cuerpo aislado no indica hacia dónde se mueve nada. m₁ se mueve tangencialmente, y ninguna de las tres fuerzas que actúan sobre él —su peso, la normal de la mesa, la tensión— apunta en esa dirección. El peso y la normal son verticales, perpendiculares al plano donde ocurre el giro, y se cancelan entre sí sin participar de esta cuenta; la tensión es radial, siempre hacia el orificio. La velocidad es tangencial, y no hay ninguna flecha ahí: por eso el widget la dibuja en ángulo recto contra la tensión, nunca alineada con ella.

Movés v y mirá la flecha azul de abajo, la resultante $T - m_{2} g$ sobre m₂: para casi cualquier valor no da cero, y eso quiere decir que m₂ aceleraría —subiría si la tensión sobra, bajaría si falta— y dejaría de cumplir lo que pide el enunciado. Hay un único valor de v donde esa flecha desaparece, y ese es justo el que hace que m₂ «permanezca suspendida».

Y antes de tocar una ecuación: m₂ son 500 gramos, no 500 newtons ni 500 kilogramos. Hay que pasarlos a kilogramos —0,5 kg— antes de multiplicar por g; confundirlo cambia el resultado en un factor de mil, y es el error más repetido de esta cuenta.

Cómo se resuelve

(a) Sobre m₁ actúan tres fuerzas: su peso y la normal de la mesa —verticales las dos, y se cancelan entre sí porque m₁ no acelera fuera del plano de la mesa— y la tensión T, horizontal, siempre hacia el orificio. Sobre m₂ actúan sólo dos: su peso y esa misma T, tirando hacia arriba. Es el diagrama que dibuja el widget de arriba.
(b) m₂ cuelga en equilibrio, así que la resultante sobre él es cero: $T - m_{2} g = 0$ de donde $T = m_{2} g$ Con m₂ = 500 g = 0,5 kg —no 500, que confundiría gramos con kilogramos— y g = 9,8 m/s²: $T = 0,5 \times 9,8 = 4,9$ newton.
(c) m₁ gira en un círculo de radio R, así que la resultante sobre él —que es, completa, esa misma T— es la centrípeta: $T = \frac{m_{1} v^{2}}{R}$ Es la misma T del ítem anterior: igualando las dos expresiones, $m_{2} g = \frac{m_{1} v^{2}}{R}$ y despejando v, $v = \sqrt{\frac{m_{2} g R}{m_{1}}}$ Con los datos del enunciado —T = 4,9 N, R = 1,5 m, m₁ = 1 kg—: $v = \sqrt{\frac{4,9 \times 1,5}{1}} = 2,71$ m/s.

El orden no es forzoso: se puede resolver primero m₂ y después m₁, como acá, o escribir las dos ecuaciones juntas y resolver el sistema. Lo que no se puede es resolver m₁ solo —su ecuación tiene dos incógnitas, T y v—, ni m₂ solo —da T, pero nada dice qué v hace falta—. Hacen falta las dos, porque son las dos caras del mismo número.