El bloque no se despega cuando se queda sin velocidad, sino cuando la pista deja de poder empujarlo — y ese punto hay que encontrarlo, no evaluarlo.
Es el problema 3 del Parcial 1 del 26 de septiembre de 2024, y no está calcado de ningún práctico. Junta un resorte, un tramo sin rozamiento y una pista circular con fricción, y la pregunta que de verdad importa es la última: ¿el bloque completa la vuelta, o se cae antes de llegar arriba?
Un bloque de masa 0,5 kg es empujado contra un resorte (k = 450 N/m) hasta comprimirlo x. Se libera y viaja sin rozamiento hasta el punto B, y continúa por una pista circular de radio 1 m con v_B = 12 m/s. En la pista circular sufre una fuerza de fricción de 7 N. Se pide: (a) la longitud de compresión x; (b) el trabajo para comprimir el resorte y el trabajo desde que se libera hasta B; (c) si el bloque llega a la parte superior de la pista o se desprende antes — si llega, calcular v_T; si no, el punto donde se despega.
La trampa está en el ítem (c). Es tentador contestarlo mirando si «al bloque le queda velocidad» cuando llega arriba, pero ese no es el criterio: lo que lo sostiene contra la pista es la normal N, y esa fuerza puede llegar a cero mucho antes de que la velocidad lo haga. Hay que plantear las dos cosas a la vez —cuánta energía le queda, después de que el rozamiento se la cobra en el camino, y cuánta le exige la pista para no soltarlo— y compararlas en cada punto, no sólo arriba.
El cuerpo es el bloque, y las fuerzas que actúan sobre él cambian de tramo en tramo: contra el resorte, sólo la fuerza elástica; de ahí a B, el peso y la normal del piso se cancelan entre sí y no hacen trabajo; en la pista circular, el peso, la normal de la pista y los 7 N de rozamiento — los tres a la vez, y ninguno de los tres constante en dirección.
(a) Del resorte a B no hay rozamiento, así que toda la energía elástica se vuelve cinética:
de donde x sale despejado antes de tocar un número:
Con los datos, x = 12·√(0,5/450) = 12/30 = 0,4 m. Ítem (a) resuelto.
(b) El trabajo para comprimir el resorte es la energía que queda guardada en él, la misma cuenta de arriba sin despejar nada: W = ½kx² = ½ · 450 · 0,4² = 36 J. Y el trabajo desde que se libera hasta B es, por el teorema trabajo-energía, el cambio de energía cinética del bloque —parte del reposo, sin rozamiento en el camino—: W = ½mv_B² − 0 = ½ · 0,5 · 12² = 36 J también. No es casualidad que coincidan: sin rozamiento, toda la energía que se invirtió en comprimir el resorte es exactamente la que el bloque se lleva puesta al llegar a B.
(c) Acá es donde no alcanza con la energía sola. En cualquier punto de la pista circular, a un ángulo θ medido desde B, la segunda ley de Newton en la dirección radial —hacia el centro— dice:
La pista sólo puede empujar hacia el centro, nunca tirar hacia afuera: por eso N no puede ser negativa, y el bloque se despega exactamente cuando esta ecuación fuerza N a valer cero. Con N = 0:
A θ = 180° (el punto T, arriba), cosθ = −1 y esto se reduce a la fórmula que todo apunte memoriza, v_T² = gR. El problema real es que esa reducción sólo vale justo en T: en cualquier otro punto de la mitad de arriba de la pista hay que usar la fórmula completa, no la versión memorizada.
Del otro lado, la energía disponible en θ sale del teorema trabajo-energía, con el rozamiento cobrándose 7 N por cada metro de arco recorrido —no por la altura, que es lo que distingue a una fuerza no conservativa: no tiene una energía potencial que le ahorre esa cuenta—. El arco recorrido desde B es Rθ, así que:
Igualar las dos expresiones de v² —la que la pista exige contra la que la energía todavía tiene— da la ecuación que hay que resolver:
Con θ mezclado dentro de un coseno y fuera de él a la vez, esto no tiene solución algebraica cerrada: se resuelve numéricamente, y es justo lo que hace el widget de arriba en cada cuadro. Antes de tocar un número, conviene notar algo que simplifica el rastreo: el lado izquierdo de esta ecuación —que es exactamente N escrita de otra forma— sólo puede cruzar el cero una vez entre B y T, porque decrece todo el tiempo (cae la energía disponible y cae, además, lo que el peso ayuda a sostener a medida que θ pasa de 0° a 180°).
Para este problema, evaluar en θ = 180° alcanza para decidir: si ahí N sigue siendo positiva, nunca cruzó el cero antes —porque decrece de un solo lado—, y el bloque completa la vuelta. Con los números del enunciado, N(T) ≈ 3,52 N: positiva, con margen. El bloque sí llega arriba, y su velocidad ahí sale de la misma fórmula de energía evaluada en θ = 180°:
que da v_T ≈ 4,10 m/s — por encima del mínimo que la pista exige ahí arriba, √(gR) ≈ 3,13 m/s. Ítem (c) resuelto: no es un empate, hay margen real.
El margen, sin embargo, no es enorme, y el deslizador de arriba lo muestra: subí el rozamiento por encima de unos 7,56 N —para este radio y esta velocidad— y la misma ecuación deja de tener su raíz en T: la tiene antes, en un ángulo que ya no es 180° ni ningún número redondo. Con el rozamiento en 10 N, por ejemplo, el bloque se despega a los 144° aproximadamente, con apenas 2,82 m/s — encontrar ese número es resolver la ecuación de arriba, no evaluarla.
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