Llega un número real y hay que decir cuál de dos símbolos lo produjo. La respuesta de bolsillo es partir por el medio: si el transmisor manda o y el ruido es simétrico, el cero es el único punto que no favorece a ninguno de los dos. Y es cierto — mientras los dos símbolos sean igual de probables. Con y , correr el umbral una décima cuesta un 38 % más de errores y tres décimas lo multiplican por 5,346. El mínimo está exactamente en cero, y no se mueve ni un poco cuando cambia el ruido.
En cuanto los símbolos dejan de ser igual de probables, ese cero deja de ser el óptimo, y lo que hay que hacer es contraintuitivo: el umbral se corre hacia el símbolo menos probable, agrandándole la región de decisión al más probable. Con noventa y nueve unos por cada cero, moverlo 0,28 divide los errores por 6,59, sin tocar la potencia del transmisor ni el ruido del canal. Es una ganancia que no se paga con nada, y sale de una fórmula de una línea.
El signo de esa fórmula es donde se cae todo el mundo, y donde se cayó este ensayo antes de existir. Lo que sigue tiene cuatro partes: de dónde sale que el mínimo esté en cero, de dónde sale que se mueva, cómo se detecta en dos segundos que el signo quedó al revés, y qué se ve cuando la curva se dibuja entera.
El receptor recibe , con gaussiano de media nula y desvío , y decide cuando pasa un umbral . Hay dos maneras de equivocarse y son distintas: mandar y quedar por debajo, o mandar y quedar por encima. Cada una pesa lo que pesa su símbolo:
Acá es la probabilidad a priori de que se haya mandado , la del otro, y la cola de la gaussiana estándar. Con los dos símbolos igual de probables los dos términos son el mismo con cambiado de signo, así que es una función par: lo que se gana de un lado se pierde idéntico del otro, y el mínimo sólo puede estar en el único punto que es su propio espejo.
Ahí vale , que es la cuenta que gobierna el desempeño de todo el curso: la probabilidad de error no depende de ni de por separado, sólo de su cociente. Lo que cuesta apartarse de ese cero, con :
| umbral | Pe | × el mínimo |
|---|---|---|
| ∓0,3 | 1,1426 × 10⁻² | 5,346 |
| ∓0,2 | 5,7194 × 10⁻³ | 2,676 |
| ∓0,1 | 2,9503 × 10⁻³ | 1,380 |
| 0 | 2,1374 × 10⁻³ | 1,000 |
El doble signo de la primera columna no es adorno: con priors iguales y dan el mismo número hasta el último dígito, y esa simetría es la demostración. Tres décimas de umbral sobre un símbolo de amplitud uno —un 30 % de corrimiento— multiplican los errores por más de cinco. No por cinco: por 5,346, que es la clase de redondeo que conviene no hacer cuando lo que se está estimando es cuántas horas va a durar una simulación.
Y la cuenta cerrada no se cree sola. El camino largo —sortear el símbolo, sumarle ruido gaussiano, comparar contra el umbral y contar— no comparte una línea con : con la fórmula da 2,275 × 10⁻² y doscientas mil decisiones sorteadas dan lo mismo dentro de dos milésimas. Dos caminos independientes, un número.
Decidir bien no es preguntarse cuál de las dos campanas es más alta en el punto que llegó: es preguntarse cuál de las dos campanas pesada por su prior es más alta ahí. El receptor óptimo compara contra , y el umbral es el punto donde esas dos curvas se cruzan. Tomando logaritmos, los cuadrados del exponente se cancelan de a pares y queda algo lineal en :
Con priors iguales el logaritmo vale cero y el umbral vuelve al medio, pase lo que pase con : por eso la regla de bolsillo funciona tan bien que parece una ley. Pero el signo de adelante es un menos, y ese menos es toda la nota. Si es el símbolo más probable, el logaritmo es positivo y sale negativo: el umbral se corre hacia , que es el símbolo menos probable. No se acerca al favorito: se aleja de él, para dejarle más territorio.
Dicho de otro modo, el receptor se vuelve escéptico de las sorpresas. Si sabe que casi siempre mandan , hace falta un valor bastante metido en el terreno negativo para convencerlo de que esta vez fue la excepción; una muestra apenas negativa se explica mejor como el símbolo probable con un poco de mala suerte que como el improbable con suerte normal. Con :
| π₀ | r* | Pe con umbral 0 | Pe con r* | ÷ |
|---|---|---|---|---|
| 0,50 | 0,0000 | 2,1374 × 10⁻³ | 2,1374 × 10⁻³ | 1,000 |
| 0,70 | −0,0519 | 2,1374 × 10⁻³ | 1,9410 × 10⁻³ | 1,101 |
| 0,90 | −0,1346 | 2,1374 × 10⁻³ | 1,2054 × 10⁻³ | 1,773 |
| 0,99 | −0,2815 | 2,1374 × 10⁻³ | 3,2458 × 10⁻⁴ | 6,585 |
La tercera columna es una constante, y conviene detenerse ahí porque es lo que hace legible a la cuarta. Con el umbral en cero los dos términos de valen lo mismo, , y los priors suman uno: el error del receptor de bolsillo es exactamente el mismo con noventa y nueve a uno que con cincuenta y cincuenta. Un canal con el prior desbalanceado no es un canal más fácil — lo es sólo para un receptor que lo sepa. Toda la diferencia entre las dos últimas columnas es información que estaba disponible y no se estaba usando.
Con ese corrimiento de 0,28 —menos de un tercio de la amplitud del símbolo— baja la probabilidad de error de a : 6,59 veces menos errores, gratis. Comprar esa misma mejora subiendo la potencia costaría alrededor de dos decibeles y medio de transmisor; acá sale de mover una constante en el comparador.
Este ensayo nació con el signo invertido. La fórmula que tenía escrita era , que corre el umbral hacia el símbolo probable en vez de alejarlo, y es el error que la intuición pide a gritos: si casi siempre mandan , uno quiere acercarse a . Con ese umbral «óptimo» da 6,0950 × 10⁻³, contra los 2,1374 × 10⁻³ del umbral trivial en cero.
Y ahí está la señal, que es lo único que hay que quedarse de esta sección: un óptimo que sale peor que el caso trivial no es un óptimo. No hay ninguna manera de que minimizar una función dé algo peor que evaluarla en un punto cualquiera; si eso pasa, el error está en el signo o en los índices, y nunca en la teoría. Es un chequeo que cuesta una línea y ataja una clase entera de equivocaciones: evaluá tu candidato a óptimo contra el valor por defecto, y si pierde, dalo vuelta.
El síntoma tiene además una forma reconocible. Con el signo invertido no sale cualquier número malo: sale el espejo del bueno, porque está a la misma distancia del cero que . Los dos umbrales candidatos son simétricos y las dos probabilidades de error no lo son, porque la curva dejó de ser par en cuanto el prior dejó de ser parejo. Esa asimetría —que con priors iguales no existe— es justo lo que el widget deja mirar de frente.
Arriba están las dos campanas, cada una pesada por su prior, con el área de error sombreada a los dos lados del umbral. Abajo, la probabilidad de error contra el umbral, en escala logarítmica. Empieza con los dos símbolos igual de probables y el umbral en el medio, que es la posición donde no hay nada que descubrir: movelo y sólo empeora, cambiá el ruido y el mínimo sigue en cero.
Después subí , y antes de tocar el umbral decidí para qué lado se va a ir el mínimo. La respuesta está en el panel de abajo y no admite discusión.
Lo primero que el dibujo agrega al texto es que las campanas no se mueven. Subir el prior no corre ni un milímetro los centros : sólo cambia cuánto pesa cada una. Y sin embargo el mínimo de la curva de abajo se desliza. El punto donde las dos campanas pesadas se cruzan —que es donde el receptor cambia de opinión— se va corriendo hacia la que se achica, y el mínimo de Pe lo sigue exactamente. No es una coincidencia entre dos dibujos: son la misma ecuación vista dos veces.
Con los dos símbolos igual de probables, la curva de abajo es simétrica en torno al cero y por eso equivocarse de lado no importa: el ∓ de la primera tabla es literal. En cuanto el prior se desbalancea, esa simetría se rompe, y se rompe mucho más rápido de lo que se corre el mínimo. La última lectura del widget mide exactamente eso: cuánto más caro sale el umbral espejado, , que el bueno. Arranca en 1,000 —no hay espejo que valga cuando la curva es par— y trepa sin parar a medida que el prior se desbalancea, mucho más rápido que la ganancia de la columna de al lado. Ahí se ve por qué invertir el signo no es un error del tamaño de un error de signo: la penalidad crece con lo mismo que da el premio.
Lo segundo aparece cambiando el ruido con el prior ya desbalanceado. La fórmula del umbral óptimo tiene en el numerador, así que un canal más ruidoso corre más lejos el umbral: cuanto menos dice la evidencia, más manda el prior. Y la ganancia que ese corrimiento compra tampoco es constante — se lee en «lo que gana el óptimo contra el umbral 0», que crece con σ. Con poco ruido la evidencia es tan contundente que el prior casi no tiene nada que aportar; con mucho, el prior es casi todo lo que hay. Es la misma frontera que en el canal binario decidía si el receptor le hace caso al canal o lo ignora, sólo que acá se mueve de a poco en vez de dar un vuelco.
Lo tercero es de forma, y se ve de una: el valle de la curva de Pe es mucho más plano del lado del símbolo probable que del otro. Pasarse para el lado de , cuando es lo que casi siempre llega, sale barato; quedarse corto sale caro. Si el prior se conoce con error —que es el caso real, porque el prior se estima—, conviene errarle por exceso de corrimiento y no por defecto. Eso no está en ninguna fórmula: está en la pendiente de los dos flancos.
El prior desbalanceado no es un ejercicio de pizarrón. Un canal de señalización que manda un uno sólo cuando pasa algo, una trama de sincronismo que es casi toda ceros, un código de línea con desbalance: en todos, el receptor que parte por el medio está tirando a la basura información que ya tiene. Y del lado inverso, un receptor que cree un prior que no es el verdadero paga la asimetría de la sección anterior, que es la razón por la que en la práctica se prefiere el umbral en cero salvo que el desbalance esté bien medido.
Vale también leer la fórmula al revés, como una definición de cuánto vale la información previa. El corrimiento óptimo es proporcional a , que es la razón entre los dos priors en unidades logarítmicas — la misma cantidad que, sumada a la evidencia, da la decisión. El umbral no es un número mágico del receptor: es el lugar donde el logaritmo del prior compensa exactamente al logaritmo de la evidencia. Y el factor que lo multiplica es el precio de cambio entre las dos: cuántas unidades de señal compra una unidad de creencia.
Queda un cabo suelto que la próxima nota levanta. Todo esto son formas cerradas, y una forma cerrada no se cree sola: hay que contar errores. Pero contar errores a es otro problema entero, y la primera respuesta que da una simulación corta no es un número malo — es un cero que parece un resultado.