Bitácora · DCSS

Diseño de Sistemas de Comunicaciones Digitales

Curso extracurricular de la Fundación Fulgor. Del muestreo de una señal continua a la demodulación digital.

El curso arranca donde termina el mundo continuo: qué se pierde al muestrear, y bajo qué condición no se pierde nada. Después viene el filtrado digital —qué le puede hacer un sistema a una señal discreta— y por último los conversores que cambian la frecuencia de muestreo sin volver al mundo continuo.

Unidad 1 · Filtrado digital

Ensayo 1 Pasado π, subir la frecuencia te frena — En tiempo discreto, cos(1,5π·n) oscila más lento que cos(0,9π·n): no es una analogía del aliasing, es el mecanismo, y es anterior.
Ensayo 2 El promediador móvil te cobra el suavizado en retardo — Cada muestra que el promediador móvil suaviza la devuelve más tarde, y el orden de una cascada de promediadores no cambia ni un bit.
Ensayo 3 Metés un coseno, sale un coseno: nunca otra cosa — Un sistema LTI jamás mueve una frecuencia de lugar; x² sobre el mismo coseno sí crea frecuencias nuevas, y por eso no es LTI.
Ensayo 4 Rellenar con ceros no te da un dato nuevo: es la misma curva con lupa — Ningún Nfft separa lo que las muestras reales no resuelven: el relleno con ceros interpola la curva que ya hay, no agrega información.
Ensayo 5 Discreto de un lado, periódico del otro — Hay cuatro transformadas de Fourier que se llaman casi igual. La regla que las ordena a todas es una sola: discreto en un dominio, periódico en el otro.
Ensayo 6 «Diez veces más barato» no es una constante — El cociente de órdenes FIR/IIR va de 3,5× a 19,2× según el ancho de transición: el «10×» que se cita no es un extremo, es un punto del medio.
Ensayo 7 Truncar de golpe deja siempre un 9% de rizado — El sobrepico de Gibbs al truncar una ventana sin suavizar converge a un 9%: no baja agregando más taps, sólo se corre.
Ensayo 8 La fase no lineal mide 60 muestras justo donde te importa — El retardo de grupo de un filtro elíptico se dispara justo en el borde de banda: la zona de fase no lineal cae exactamente donde te importa.

Unidad 2 · Conversores

Ensayo 9 Las muestras no se parecen: son las mismas — Un tono de 300 kHz y uno de 17,3 MHz muestreados a 1 MHz producen la misma lista de números. No hay filtro que separe lo que ya se sumó.
Ensayo 10 El filtro camaleón — El mismo h[n] es un filtro analógico distinto según el reloj que le pongas, y una no linealidad adentro del sándwich genera su propio aliasing.
Ensayo 11 Más taps te mejoran el peor caso, no el caso que te importa — Truncar el sinc del retardo fraccionario mejora siempre el peor error de toda la banda, pero en una frecuencia fija el error ondula: más taps puede empeorarlo justo ahí.
Ensayo 12 Las imágenes no son un eco débil: son la copia exacta — Diezmar sin filtrar mete el alias con amplitud idéntica a la banda base; insertar ceros crea réplicas de esa misma magnitud, no un eco débil.
Ensayo 13 Reordenar no cambia la señal: cambia la factura — La descomposición polifásica da una salida idéntica bit a bit mientras el costo de cómputo cae linealmente con M.

Unidad 3 · Procesos estocásticos

Ensayo 14 El receptor óptimo deja de mirar lo que recibió — El canal sólo sirve en una meseta de priors de ancho 1 − 2ε. Fuera de ella el receptor óptimo ignora el canal por completo: con π₀ = 0,99 el canal da vuelta uno de cada diez bits y el que no lo escucha falla uno de cada cien.
Ensayo 15 El umbral no está en el medio — Está en cero sólo mientras los dos símbolos sean igual de probables. Si no, se corre hacia el MENOS probable, y con π₀ = 0,99 eso divide los errores por 6,585 — mientras el mismo umbral del otro lado los multiplica por 61.
Ensayo 16 Tu simulación no está mal: está corta — Una corrida de cada tres dice que el canal no se equivoca nunca. Y la que sí cuenta errores sólo puede estar 0,87 · 1,74 · 2,62… veces alta: la estimación está cuantizada.
Ensayo 17 Más bits dejan de comprar SNR — La recta 6,02b + 1,76 no es del cuantizador: es de una senoidal que llena exacto la escala. Con una gaussiana la SNR satura en 52 dB, y a 14 bits la fórmula promete 34 dB que no existen.
Ensayo 18 La media no es un promedio — El promedio de ensamble recorre de −1 a 1 y el de tiempo se queda en cero: lo único que ese mide es su propio error de estimación. Ergodicidad es cuándo se puede hacer trampa.
Ensayo 19 Más muestras no arreglan el periodograma — Cien veces más datos y la dispersión se queda donde estaba. Lo que la baja es promediar tramos, y la baja exactamente como 1/√K.
Ensayo 20 La PSD tira la fase — Un pasatodo deja el espectro de potencia intacto y devuelve otra señal. Por eso de una PSD no se vuelve, y por eso un canal que sólo distorsiona la fase no se ve en un analizador de espectro.
Ensayo 21 El LNA va primero, y son 6,41 dB — Cambiar el orden de dos etapas, sin tocar un componente, cuesta 6,41 dB de figura de ruido. Y hay un orden mejor que el de fábrica que igual no se usa.

Unidad 4 · Transmisión en banda base y banda pasante

Ensayo 22 El pulso que diseñás no es el que llega — El transmisor manda la raíz del coseno realzado, y esa raíz deja 9,3 % de interferencia entre símbolos. El cero aparece recién cuando el receptor pone la otra mitad.
Ensayo 23 Sin ISI no es una propiedad del pulso — El mismo coseno realzado, con el reloj corrido una muestra, pasa de 0 % a 31,51 % de rizado en el espectro plegado: no tener ISI es del pulso y del instante en que lo mirás.
Ensayo 24 El filtro adaptado rompe lo que el pulso arregló — El filtro adaptado maximiza la relación señal a ruido y por eso mismo deja de ser de Nyquist: 41 dB de ISI en cuanto el canal no es ideal.
Ensayo 25 El espectro no mira cuántos niveles hay — PAM-2, PAM-4 y PAM-8 ocupan el mismo ancho: 0,40 % de diferencia entre ellas, contra 0,72 % entre dos corridas de la misma. Más bits por símbolo no cuestan hertz, cuestan potencia.
Ensayo 26 Dos flujos en la misma banda — Una señal real gasta la mitad de su espectro en repetirse. La envolvente compleja usa las dos mitades: lo único que separa los dos flujos es la fase, y a noventa grados de error la constelación se ve idéntica con el 50 % de los bits cambiados.

Unidad 5 · El receptor de mínima distancia

Ensayo 27 El ruido que inyectás no es el que ve el decisor — El canal ve N veces menos SNR que el slicer, y las filminas lo escriben de las dos formas. Equivocar la dirección no rompe la simulación: la mejora, que es la forma más peligrosa de estar equivocado.
Ensayo 28 BER y SER no son la misma curva — La razón SER/BER es log₂M, pero sólo asintóticamente: 64-QAM va de 3,846 a 0 dB a 6,000 a 20 dB. Confundirlas parece una penalidad física que crece con la constelación.
Ensayo 29 Mínima distancia no es máxima correlación — El término de energía que casi todos tiran cambia la decisión en 3 de cada 4 símbolos de 16-QAM y en 15 de cada 16 de 64-QAM. En PSK no cambia ninguna, y por eso la regla equivocada sobrevive.
Ensayo 30 La penalidad de ISI no es un corrimiento — Un canal no cuesta «X dB»: la penalidad crece con la exigencia. El mismo pasabajos cuesta 0,33 dB a BER 10⁻¹ y 4,14 dB a 10⁻⁴ en 64-QAM.
Ensayo 31 El slicer tira información que está ahí — Con interferencia entre símbolos, decidir cada muestra por su cuenta desperdicia lo que las vecinas ya dicen. Mismas muestras, mismo filtro, otra regla: 960 veces menos errores a 10 dB.

Unidad 7 · PLL

Ensayo 32 La mitad de ζ deja pasar el mismo ruido — Con Ki = Kp/100 el lazo de la clase tiene ζ = 0,354, la mitad del 0,707 de libro, y el mismo ancho de banda de ruido: 60 MHz los dos. Lo que cambia es todo lo que B_n no mide.
Ensayo 33 El techo del PLL se mide en nanosegundos — Sin latencia, el lazo de la clase aguanta cualquier ganancia. Con latencia, el ancho de banda máximo por el retardo en segundos da 0,095 sin importar la tasa de símbolo: el lazo de la clase se cae con 86 ciclos, 5,4 ns.
Ensayo 34 Ocho veces más rápido, sólo mientras el error da vueltas — Duplicar el ancho de banda del PLL engancha 8,0 veces más rápido mientras el error de fase da cientos de vueltas, y entre 2 y 3 veces cuando ya no da ninguna. La varianza se duplica en los dos casos.

Conceptos

Unidad 1 El filtro FIR — La ecuación sin realimentación, por qué es siempre estable, la fase lineal que sale de la simetría, los cuatro tipos y el diseño por ventanas.
Unidad 1 El FIR transversal — La línea de retardos que implementa un FIR, muestra a muestra: su costo, la forma transpuesta y el plegado que ahorra la mitad de los multiplicadores.
Unidad 1 El filtro de media móvil — Su respuesta al impulso, su DTFT paso a paso, la sinc periódica que sale, cómo la mueve el largo de la ventana y cómo se analiza en MATLAB.
Unidad 1 El fenómeno de Gibbs — Truncar el pasabajos ideal es convolucionar con un núcleo de Dirichlet: de dónde sale el 8,95 %, por qué no baja con N y qué compran las ventanas.
Unidad 1 El filtro IIR — La realimentación, el filtro de un polo derivado paso a paso, su estabilidad, la palabra finita y por qué se implementa en biquads.
Unidad 1 Polos y ceros — H(z) factorizada, |H| leído como un cociente de distancias sobre el círculo, la estabilidad, y por qué un FIR tiene sólo ceros.
Unidad 4 La modulación PAM — El alfabeto, el mapper con código Gray, la energía media, la distancia contra la energía, el espectro y cómo se genera sobremuestreando.
Unidad 4 El mapper y el demapper — De bits a símbolos y de vuelta: cómo se construye el código Gray, por qué en la cruz no existe, y qué pasa si transmisor y receptor no etiquetan igual.
Unidad 4 La ISI y el pulse shaping — El criterio de Nyquist en el tiempo y en frecuencia, por qué el sinc no sirve, el coseno realzado, su raíz repartida y el diagrama de ojo.
Unidad 4 El coseno realzado — Qué ISI evita y cuándo: el pulso derivado de su espectro, por qué cumple Nyquist con cualquier rolloff, y por qué deja de alcanzar si el canal no es plano.
Unidad 4 La modulación QAM — Dos PAM en cuadratura: la envolvente compleja, por qué el coseno y el seno no se pisan, la constelación, el mapeo Gray y el demodulador.
Unidad 5 El slicer — El decisor de mínima distancia: regiones de decisión, umbrales en el punto medio, el slicer por ejes de QAM y lo que le hace una escala o una fase corrida.
Unidad 6 El ecualizador zero forcing — Invertir el canal anula la ISI en los instantes de muestreo, pero pone polos donde el canal tiene ceros y levanta el ruido justo en su pozo.
Unidad 6 El ecualizador DFE — Restar los poscursores con decisiones ya tomadas saca la ISI sin amplificar el ruido; el precio es que un error arrastra a los siguientes.
Unidad 6 El criterio MSE y el ecualizador de Wiener — El MSE es un paraboloide en los taps: Wiener-Hopf da su fondo, el error óptimo es ortogonal a la entrada, y con SNR alta el MMSE es el ZF.
Unidad 6 El algoritmo MSEG — Bajar por el paraboloide sin invertir Φ: los modos, la condición 0 < β < 2/λmax y por qué la dispersión de autovalores fija la velocidad.
Unidad 6 El algoritmo LMS — El gradiente de una sola muestra: sigue al MSEG en promedio, nunca se queda quieto en el mínimo, y el paso negocia velocidad contra desajuste.
Unidad 6 El control automático de ganancia — El paso del LMS depende de la potencia que entra: sin AGC, un mismo β diverge con una señal fuerte y se arrastra con una débil.
Unidad 6 Entrenamiento y modo dirigido por decisiones — De dónde saca el receptor el símbolo correcto: una secuencia conocida, o sus propias decisiones, que sólo sirven si el ojo ya está abierto.
Unidad 6 El algoritmo CMA — Ecualizar a ciegas mirando sólo el módulo: abre el ojo sin conocer los símbolos y sin ver la fase, y deja la constelación girada para que la termine DD.
Unidad 6 El ecualizador fraccionario — Taps a T/2: no pliega el espectro, así que no depende de la fase de muestreo, a cambio de una solución que no es única y pide leakage.
Unidad 6 El transceptor con ecualizador adaptativo — La cadena entera de los scripts de clase: qué señal hay en cada punto, qué criterio termina siguiendo el ecualizador y cuánto cuesta el ruido según dónde entra.
Unidad 7 El PLL — El PLL de punta a punta: por qué la cadena todavía no anda con el LO y el reloj corridos, el error de fase y el de frecuencia en la constelación, los tres bloques, qué es estar enganchado, el modelo equivalente de fase y las transferencias F(s) y E(s), y el script de la clase.
Unidad 7 El detector de fase — Cómo mide el lazo cuánto está corrido: la curva S, por qué es periódica y no es recta, la linealización y la ganancia K_PD, los detectores por producto, por parte imaginaria y por argumento, la amplitud que se cuela en la ganancia y la ambigüedad de 2π.
Unidad 7 El VCO y el NCO — El oscilador del PLL: por qué el VCO integra el control, por qué un control constante es otra frecuencia, el NCO como acumulador de fase módulo 2π, la resolución de N bits, el desborde que hace el módulo gratis, la tabla del coseno y sus espurias, y el integrador que vuelve de tipo 2 al lazo.
Unidad 7 El filtro de lazo y el PLL de segundo orden — El filtro de lazo de punta a punta: el error en régimen ante un escalón y una rampa de fase, la tabla de filtros de la filmina, por qué hace falta un integrador, el PI con su ζ y su ω_n, el transitorio y el análisis en MATLAB.
Unidad 7 Ancho de banda, adquisición y tracking — El ancho de banda del PLL de punta a punta: el de −3 dB y el equivalente de ruido derivado por integración, la varianza de la fase con ruido blanco, el enganche en frecuencia y en fase, el rango de captura, la receta de Kp y Ki, y todo cruzado con simulación en MATLAB.
Unidad 7 El PLL en tiempo discreto — El PLL que se implementa, el de phase_system.m: el PI y el NCO como acumuladores, la transferencia en z derivada a mano, sus polos, por qué es el lazo continuo pasado por Euler hacia atrás y cuándo deja de parecerse, y la latencia como z^−Lat.