Bitácora de estudio

La velocidad es la pendiente y el desplazamiento es el área: la misma relación leída en dos direcciones.

Son dos movimientos independientes que sólo comparten el reloj.

La aceleración tiene dos trabajos distintos, y sólo uno de ellos cambia la rapidez.

Antes de escribir una sola ecuación hay que decidir qué cuerpo se mira y qué lo toca.

Dos cuerpos atados son un problema solo, y se resuelve haciendo dos dibujos.

Cuando la fuerza cambia según dónde está el cuerpo, la aceleración deja de ser un número.

Cuánto se mueve la energía de un casillero a otro, y quién la mueve.

Lo que un choque no puede cambiar, pase lo que pase con la energía.

Entre la fuerza que lo arranca y la que lo mantiene hay una banda de 100 N donde el mismo empujón da dos resultados, y lo que decide no es una fuerza: es qué venía haciendo.

Seis milímetros por segundo cuadrado alcanzan para no salir despedida.

Alcanzar a alguien es cruzarse con su curva.

Con viento se queda corta. Sin viento se va por arriba. Las dos cosas, con el mismo tiro.

Arrastrar a B cuesta el doble de lo que parece: el rozamiento de A aparece dos veces, una como fuerza y otra como tensión.

Un choque, un tramo con rozamiento y un resorte. La energía cambia de casillero tres veces y sólo una vez se pierde.

El piso no vale y = 0: es una recta inclinada, y la pelota toca donde la cruza. Son treinta y tres metros de diferencia.

Tres etapas y tres modelos. En el choque se conserva el momento y no la energía: el 92,6% se disipa, y ese porcentaje no depende de la velocidad.

No se cae por quedarse sin velocidad: se despega cuando la normal llega a cero, y el rozamiento ya gastó energía en el camino.

La misma tensión sostiene un peso quieto y da la fuerza centrípeta del otro. Y nada apunta hacia donde m₁ se mueve.

Una ecuación define una función en el cociente sólo si la respuesta no cambia al elegir otro representante.

Preservar el orden hacia adelante no dice nada de lo que pasa hacia atrás.

Las tres reglas no sirven para entender el lema: sirven para partir la meta hasta que cada pedazo sea un axioma.

El 0, el 1 y el complemento no se leen del dibujo: los trae la estructura.

El orden y las ecuaciones son dos lecturas del mismo objeto, y Dedekind dice que cada una determina a la otra.

En un diamante no hay términos medios: juntar dos elementos cualesquiera arrastra a todos los demás.

El mismo conjunto es subuniverso de una estructura y no de la de al lado: lo que cambia no es el conjunto, es qué le pide el tipo.

La misma función es homomorfismo de ternas, deja de serlo de acotados, o lo es de acotados y no de complementados.

Un término es una PALABRA. `(x i y)` e `(y i x)` son distintas y valen siempre lo mismo: la palabra no se mueve cuando cambiás de estructura, el valor sí.

Una fórmula no es verdadera ni falsa: lo es en una estructura, con una asignación. Escribir la que «dice» una propiedad es acertarle a una columna de verdades.

Un 3-ciclo impide el bicoloreo, y el ejercicio termina ahí. Pero el pentágono tampoco se pinta, y no tiene ningún triángulo.

Las tres reglas que usaste a mano en la Guía 3 eran tres de los siete axiomas. Una regla es un movimiento permitido; un axioma, una oración que podés citar.

La misma sentencia, el mismo texto de prueba, y deja de ser una prueba al cambiar el tipo: los axiomas de terna y los de cuaterna son conjuntos disjuntos.

La primera cita un solo axioma tres veces y nada más; la segunda, dos axiomas, una vez cada uno.

Una prueba elemental que no cita ningún axioma de poset, con el paseo intuitivo al lado: elegís el poset y el testigo aparece, o el paseo se corta.

El método de la cátedra y el formato de la prueba, con el paso que parece legal y hace fallar el Teorema de Corrección.

De los tres axiomas de poset la prueba cita uno solo, y sobre las 512 relaciones de tres elementos la sentencia falla en exactamente una.

El bicoloreo ofrece dos alternativas y saber un vértice tacha una. Es el lema que usa la prueba del triángulo.

El axioma y la tesis son la misma sentencia: las nueve líneas reescriben una disyunción como implicación sin tener la equivalencia.

Probar que algo existe sin salir a buscarlo: el testigo se escribe con lo que ya había, y la prueba entera son cuatro líneas.

Parecen dos propiedades y son una sola. Ocho pasos de absorción y conmutatividad, sin un solo cuantificador en el medio.

De las 103 482 maneras de cortar por una coma los términos de reticulado terna de hasta 30 símbolos, una por término deja dos términos, y ninguna deja uno solo. Por eso alcanza con saber que una pieza es término.

¬, ∀, ∃, un nombre de relación o un paréntesis: el primer símbolo de una fórmula decide cómo se lee el resto, y por eso decidir si una palabra es fórmula es un procedimiento.

Ejercicio 1 de la lista del parcial 2: si x ≤ z e y ≤ w, entonces x s y ≤ z s w. La hipótesis es la que dice por qué intermedio pasar con A≤T, y la prueba elemental escrita entera.

Ejercicio 2 de la lista del parcial 2: x s (y i z) ≤ (x s y) i (x s z). Por qué es ≤ y no =, cómo se piensa de atrás para adelante, y la prueba elemental escrita entera.

Ejercicio 3 de la lista del parcial 2: x ≤ y ↔ x i y = x. Un bicondicional son dos pruebas: la vuelta la hace AiesC sola; la ida pide Ai≥C, la hipótesis y A≤A. Las dos escritas enteras.

Ejercicio 4 de la lista del parcial 2: leer ∀x(¬∃z(x≤z∧¬(z=x))→∀z(z≤x)) como «todo maximal es máximo», ver por qué el supremo lo hace verdadero y escribir la prueba elemental con un solo axioma.

Ejercicio 5 de la lista del parcial 2: ∀x(¬∃z(z≤x∧¬(z=x))→∀z(x≤z)) es el Ejercicio 4 dado vuelta. Cómo se obtiene la prueba dualizando línea por línea, y por qué igual hay que escribirla entera.

Ejercicio 6 de la lista del parcial 2: «y tapa a x» se escribe con un ∀z que vive dentro del antecedente; sacado al frente, la sentencia falla. La traducción medida en los 25 reticulados de hasta seis elementos y la prueba elemental entera, sin citar la monotonía.

Ejercicio 7 de la lista del parcial 2: una sentencia pura de posets verdadera exactamente en los reticulados distributivos. Sin operaciones en el lenguaje, cada supremo y cada ínfimo se nombra con una variable, y un ∀ sobre nombres que no existen pasa en vacío.

Ejercicio 8 de la lista del parcial 2: una fórmula pura de posets, con x libre, verdadera en ({1,2,3,9,10,14,20}, |) sólo cuando x vale 14. Ser maximal deja tres candidatos; lo que separa al 14 es que no tiene nada propio debajo.

Ejercicio 9 de la lista del parcial 2: una sentencia pura de reticulados acotados que dice «({1,3,5,15,30}, mcm, mcd, 1, 30) es isomorfo a un subreticulado acotado». El 0 y el 1 ya tienen nombre, el 15 es x s y, y de las diez distinciones sólo una hay que pedirla.

Ejercicio 10 de la lista del parcial 2: si todo elemento tiene otro distinto arriba, hay al menos tres. Testigos encadenados, por qué el tercero no puede ser el primero, y la prueba elemental de posets escrita entera.

Ejercicio 11 de la lista del parcial 2: en un poset donde todo par tiene una cota superior, todo maximal es máximo. Es la prueba del Ejercicio 4 sin el supremo: la cota la da la hipótesis, y se la elige.

Ejercicio 12 de la lista del parcial 2: (Dis2 → Dis1) en reticulados terna. Es la cadena de la otra dirección con cada supremo cambiado por un ínfimo, y aun así se escribe línea por línea: «por dualidad» no es un paso.

Ejercicio 13 de la lista del parcial 2: en un reticulado acotado distributivo, cada elemento tiene a lo sumo un complemento. La idea es escribir el 1 con el otro complemento; la distributiva entra en un solo paso, y en el diamante M3 ése es el paso que se rompe.

Ejercicio 14 de la lista del parcial 2: con Dis1, cualquier complemento de x es c(x). Dos cuentas que se cruzan, dónde entra la distributividad, cómo se respeta la regla de citar el Ejercicio 13, y la prueba elemental entera.

Ejercicio 15 de la lista del parcial 2: con Dis1, c(x i y) = c(x) s c(y). No se calcula ningún complemento: se muestra que c(x) s c(y) es complemento de x i y y se cierra con la unicidad que la consigna autoriza. Cómo se usan esos teoremas, y dónde falla sin distributividad.

Ejercicio 16 de la lista del parcial 2: si un vértice toca a todos, los demás no se tocan entre sí. La prueba elemental de grafos bicoloreados, con un solo axioma, y el triángulo que muestra que no puede haber una prueba elemental de grafos.

Ejercicio 17 de la lista del parcial 2: las 2^81 estructuras del tipo de los posets sobre {1,…,9}, por qué ninguna es un poset, y la biyección que arma y desarma la interpretación. Con el Lema 1 de la Guía 8 enunciado y probado.

Ejercicio 18 de la lista del parcial 2: en el tipo de los grafos bicoloreados, R es unaria y aporta 2^9, no 2^81, así que hay 2^90 estructuras sobre {1,…,9}. Cuáles son esencialmente grafos bicoloreados, cuántas son, y la biyección.

Ejercicio 19 de la lista del parcial 2: en el tipo de los reticulados terna, s e i son nombres de función, así que cada uno aporta 9^81 y no 2^81: hay 9^162 estructuras sobre {1,…,9}. Cuáles son esencialmente reticulados terna y la biyección.

Ejercicio 20 de la lista del parcial 2: cinco fórmulas que señalan cada elemento de ({1,3,5,6,30}, divide). El 3 y el 5 parecen gemelos en el dibujo, pero el 6 está arriba de uno solo, y eso alcanza para separarlos.

Ejercicio 21 de la lista del parcial 2: en (ℝ, 1, producto, ℕ, ≤) todo término cerrado vale 1, así que el 4 y √5 no se escriben: se describen. El 2 es el natural que sigue al 1, el 4 su cuadrado, el 5 el natural que sigue al 4, y la raíz positiva se elige con el 1.

Ejercicio 22 de la lista del parcial 2: si Op aplicada dos veces vuelve al punto de partida, Op es inyectiva y sobreyectiva. La mariposa de la inyectividad, las dos pruebas elementales escritas enteras y la versión formal.

Ejercicio 23 de la lista del parcial 2: dos axiomas que miran cada uno una coordenada dejan un casillero sin cubrir, y la conmutatividad lo da vuelta. La división por casos, la prueba elemental entera y la versión formal.

Ejercicio 24 de la lista del parcial 2: los modelos son reticulados con mínimo y un átomo señalado, y la prueba elemental de que ato no es supremo de dos más chicos usa uno solo de los tres axiomas nuevos.

Ejercicio 25 de la lista del parcial 2: los modelos son un reticulado acotado cualquiera con un cero nuevo pegado abajo, y como dos elementos no nulos se cruzan siempre en mono, nadie más que 0 y 1 tiene complemento.

Los VoFoI de variables y términos: casi todos se deciden por la categoría de cada lado. Una infinitupla no es un conjunto, una palabra no es un número, y Dom(t) no denota.

Tres inducciones con el mismo molde, dos resultados que salen del menú sin inducción, y cinco palabras que no son términos: dos se delatan contando, tres leyéndolas de afuera.

La cancelación de términos, el Ejercicio 11 comparando por atrás porque el término conocido está atrás, y las partes del lema de ocurrencias que la guía deja para completar.

Una palabra con seis paréntesis de cada lado que no es fórmula: la delata la coma seguida de un ∀. Y las cinco propiedades del Ejercicio 14, todas por inducción.

Por adelante, la lectura única sale en una línea; por atrás, hace falta saber qué puede sobrar, y sólo pueden sobrar negaciones y cuantificadores.

Los tres ítems son falsos y cada uno cae con un contraejemplo de una línea: una variable puede no ocurrir donde se mira.

Ejercicio 1 de la lista del parcial 3: si r, s, t ∈ Tτ, reemplazar una ocurrencia de s en t por r da un término. Inducción en el nivel de t: la ocurrencia es t entera o vive adentro de un único argumento.

Ejercicio 2 de la lista del parcial 3: el primer símbolo de una fórmula es (, ¬, ∀, ∃ o el primero de un nombre de relación. Sale del menú de fórmulas, sin inducción.

Ejercicio 3 de la lista del parcial 3: reemplazar algunas ocurrencias de ,X1 por ,X2 en un término da un término. Después de una coma de afuera empieza un argumento, y un argumento que empieza con X es una variable entera.

Ejercicio 4 de la lista del parcial 3: reemplazar cada ∀X1∃ por ∃X1∀ da una fórmula. La palabra sólo aparece como el comienzo de ∀x1∃wψ, y la inducción se aplica dos pisos más abajo.

Ejercicio 5 de la lista del parcial 3: cambiar x_i por una x_l que no ocurre en t, y darle a x_l el valor que tenía x_i, no cambia el valor del término. Inducción en el nivel, con la asignación cuantificada adentro.

Ejercicio 6 de la lista del parcial 3: sacar algunas P(x1) da un término (a) y, si P se interpreta como la identidad, el mismo valor (b). Las dos inducciones, con su Enu_k.

Ejercicio 7 de la lista del parcial 3: si s1 y s2 valen lo mismo en a, reemplazar ocurrencias de s1 por s2 no cambia el valor de t. Es la herramienta que después usa el Ejercicio 13.

Ejercicio 8 de la lista del parcial 3: cambiar F1 por F2 en un término da un término (a), y el mismo valor si las dos se interpretan igual (b).

Ejercicio 9 de la lista del parcial 3: el Lema 5 de la Guía 10 con todos los casos escritos. Necesita el Lema 4(b), que la guía deja al lector: se enuncia y se prueba.

Ejercicio 10 de la lista del parcial 3: (((P1(c)∧P2(c))→R(c))→((P1(c)→R(c))∨(P2(c)→R(c)))) es universalmente válida. Por el absurdo: si fallara, c cumpliría P1 y P2 sin cumplir R.

Ejercicio 11 de la lista del parcial 3: ((∀x1P1(x1)→P2(c))→∃x1(P1(x1)→P2(c))) es universalmente válida. Por el absurdo, y por qué es el mismo fenómeno que el Ejercicio 10.

Ejercicio 12 de la lista del parcial 3: si φ1 y φ2 dicen lo mismo en A, reemplazar una ocurrencia no cambia la verdad en A. El Enu_k cuantifica la asignación adentro por el caso del cuantificador.

Ejercicio 13 de la lista del parcial 3: reemplazar una ocurrencia no contigua de t por s, con tᴬ = sᴬ, no cambia la verdad. La ocurrencia no puede ser la variable de un cuantificador, así que cae adentro de una atómica, donde trabaja el Ejercicio 7.

Ejercicio 14 de la lista del parcial 3: reemplazar cada ∀x1 por ¬∃x1¬ da una fórmula equivalente. Inducción en el nivel, con el Lema 4(b) enunciado y probado.

Ejercicio 15 de la lista del parcial 3: reemplazar cada ∀x1∀x2∃ por ∀x2∀x1∃ da una fórmula equivalente. Cambiar dos lugares distintos de la asignación da lo mismo en cualquier orden.

Ejercicio 16 de la lista del parcial 3: si R = ∅, un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo: la inversa conserva constantes y operaciones. Con relaciones, falla.

Ejercicio 17 de la lista del parcial 3: un homomorfismo sobre lleva la verdad de A a B en las fórmulas sin ¬, → ni ↔. Inducción en el nivel, sin notación declaratoria: el ∀ es el único caso que pide sobre.

Ejercicio 18 de la lista del parcial 3: con la divisibilidad estricta y iz = 2, el único isomorfismo que mueve algo cambia 5 con 7, así que esos dos no son definibles; 2, 70, 140 y 280 sí, con su fórmula.

Ejercicio 19 de la lista del parcial 3: en {1, 3, 5, 6, 30} con «divide a», cada elemento se define por su lugar en el orden: los extremos, las cadenas que tiene arriba y abajo, y con quién no se compara.

Ejercicio 20 de la lista del parcial 3: el diagrama parece simétrico pero cambiar 2 con 3 no es un isomorfismo, porque f y g no se pueden cambiar entre sí. Los cuatro elementos son definibles.

Ejercicio 21 de la lista del parcial 3: un término de reticulado en dos variables vale a, b, a s b o a i b. Inducción en notación declaratoria: los cuatro valores son cerrados por s e i.

Ejercicio 22 de la lista del parcial 3: si el orden es total, s e i son máximo y mínimo, y un término en tres variables vale una de ellas.

Ejercicio 23 de la lista del parcial 3: si los argumentos están en S, el valor del término también. Las constantes 0 y 1 son el caso base que no hay que olvidar.

Ejercicio 24 de la lista del parcial 3: si a1 ≤ b1 y a2 ≤ b2, entonces t[a1, a2] ≤ t[b1, b2]. El paso inductivo es la monotonía de s e i.

Ejercicio 25 de la lista del parcial 3: si fu(x, cero) = fu(cero, x) = cero y v1 ocurre en t, entonces t vale cero cuando v1 vale cero. La hipótesis «v1 ocurre» entra en el Enu_k.

Ejercicio 26 de la lista del parcial 3: cambiar R1 por R2 en una fórmula no cambia su verdad si las dos se interpretan igual. Inducción en notación declaratoria, con los cuantificadores del Lema 6.

Ejercicio 27 de la lista del parcial 3: dos modelos que coinciden en un, do, + y Her dan el mismo valor a los términos y la misma verdad a las fórmulas de τ∩.

Ejercicio 28 de la lista del parcial 3: F(tᴬ[a1,…,an]) = tᴮ[F(a1),…,F(an)]: el Lema 6 de la Guía 10, rehecho en notación declaratoria con el Lema 3 de la Guía 11.

Ejercicio 29 de la lista del parcial 3: A ⊨ φ[a1,…,an] sii B ⊨ φ[F(a1),…,F(an)]: el Lema 7 de la Guía 10 en notación declaratoria, con el Ejercicio 28 para las atómicas.

Ejercicio 30 de la lista del parcial 3: el Ejercicio 17 en notación declaratoria, y los dos contraejemplos medidos: sin sobre falla el ∀, con sobre pero con ¬ falla la negación.

Cubrir es estar inmediatamente arriba; tapar es estar debajo de todo lo que está arriba. Tapar implica cubrir, al revés no, y en un poset finito tapar es ser el único que cubre.

Una prueba que parte de una estructura de la que sólo se saben los axiomas, avanza en pasos obvios y escribe todo con sentencias elementales, y por eso vale en toda estructura del tipo. El esqueleto, los errores que la invalidan y la versión con justificaciones.

Tres definiciones del mismo objeto: un orden con supremos e ínfimos, dos operaciones con siete identidades, o las dos cosas a la vez con siete axiomas. Cómo se pasa de una a otra, por qué es lo mismo, y qué cambia al escribir una prueba elemental.

El tipo τ = (C, F, R, a) dice qué símbolos hay; una estructura los interpreta; términos y fórmulas son palabras hechas con ellos, y una fórmula es verdadera o falsa en una estructura con una asignación a sus variables libres. Cómo se lee y cómo se traduce.

Una teoría es un tipo y un conjunto de sentencias; un modelo, una estructura donde valen todas. Lo que se prueba vale en todo modelo, y por eso un solo modelo donde algo falla demuestra que no hay prueba.

Un complemento de x es un u con x s u = 1 y x i u = 0. Puede no haber ninguno o haber varios; en un reticulado distributivo hay a lo sumo uno, y por eso en un álgebra de Boole la operación c queda bien definida y valen las leyes de De Morgan.

Las variables son palabras concretas, X con sus numerales, y los términos se arman por niveles: T₀ son las variables y las constantes, y cada nivel aplica una función a términos del anterior.

Para probar algo de todos los términos o todas las fórmulas se prueba nivel por nivel: el molde Enuₖ, el menú que dice de qué forma es cada uno, y cuándo no hace falta inducción.

Dos estrategias: encontrar una propiedad que todo término cumple y la palabra no, o suponer que lo es y leerla de afuera hasta el absurdo.

Un término nunca es tramo inicial ni final propio de otro, y de ahí sale que cada término se descompone de una sola manera. Es lo que permite definir funciones sobre términos por recursión.

Las cinco formas de una fórmula, cómo el primer símbolo las separa, y por qué una fórmula sí puede ser tramo final de otra pero nunca tramo inicial.

Ocurrir a partir de una posición, ocurrencias disjuntas o una dentro de otra, y por qué reemplazar un subtérmino o una subfórmula por otro da otra vez un término o una fórmula.

Una ocurrencia es libre o acotada según su posición, por una definición recursiva; Li(φ) junta las variables con alguna ocurrencia libre, y una sentencia es una fórmula sin ninguna.

Asignaciones como infinituplas, tᴬ[a⃗] por recursión, ↓ᵢᵃ(a⃗), y el Lema 1: el valor sólo depende de las variables que ocurren.

Las nueve cláusulas de A ⊨ φ[a⃗], el Lema 2, sentencias verdaderas en A, universalmente válidas, y cómo se prueba por el absurdo.

Φ ∼ ψ, el Lema 4 y el Lema 5: reemplazar una subfórmula por una equivalente da una equivalente.

Las tres condiciones, el isomorfismo con su inversa, el Lema 6 (conmuta con los términos) y el Lema 7 (un isomorfismo no cambia la verdad).

T =d t(v1,…,vn) y φ =d φ(v1,…,vn), las seis convenciones, los lemas de lectura única y carácter recursivo, y cómo se escribe una inducción en esta notación.

Qué es que φ defina a un elemento, cómo se arma la fórmula por lo que lo distingue, y el criterio NoDefinible con isomorfismos de A en A.

La capacidad del canal binario simétrico cae a cero en p = 0,5 y vuelve a uno en p = 1. Lo que arruina un canal no es el error: es la incertidumbre.

Repetir tres veces cada bit es peor que no codificar en todo el rango, y ni en el límite empata: con decisión dura tiende a −1,76 dB.

El alfabeto necesita suma, resta, producto y división, y tiene que ser finito. Eso solo fuerza que los cuerpos existan únicamente en potencias de primos.

Con un polinomio primitivo las potencias de α dan la vuelta entera; con uno que no lo es, el ciclo se cierra antes y el cuerpo no aparece.

El (7,4) promete ver hasta dos errores y además ve 84 de los 99 patrones de tres o más. Los quince que se le escapan no son los de mucho error: son exactamente las palabras de código.

Con dos errores el decodificador del (7,4) no falla: agrega un tercero, porque dos columnas de H siempre suman una tercera. Los 21 pares salen con tres bits mal.

Con la misma distancia mínima, corregir entrega en silencio unas 3/p veces más palabras malas que sólo detectar, a cambio de no pedir retransmisión.

La decodificación incompleta promete avisar en vez de equivocarse. En el (7,4) no avisa nunca, porque sus esferas no dejan hueco; el (8,4) sí deja.

Al (49,16,9) decodificado por etapas se le suele garantizar un error. Corrige todos los de dos y de tres, y de los de cuatro sólo falla cuando dos filas traen dos errores cada una.

El mismo código producto corrige toda ráfaga de hasta 15 símbolos si se transmite fila por fila, y de hasta 7 si se transmite columna por columna. La protección sale del orden, no del código.

Hasta t errores, la votación de Reed y la palabra más cercana coinciden. Con ocho en el RM(1,5) de la Mariner 9, la más cercana es única en el 92,4 % de los patrones; la votación decide sin empatar en el 14,5 %.

Con largo 15, pasar de 11 a 12 bits de paridad baja la mejor distancia de los cíclicos de 8 a 5: con 12 hay un solo código, un patrón de 3 bits repetido 5 veces. Con 8 bits, elegir mal los factores da 3 en vez de 5.

Un CRC de n − k bits ve toda ráfaga de hasta n − k. La que más se le escapa no es la más larga sino la que se pasa por uno, con el doble de fracción: con 32 bits, una de cada 2 147 483 648.

Girar es multiplicar por X y tomar un resto; el generador más redundante que contiene a una palabra es su mcd con X¹⁵ + 1; y con n − k = 8 la distancia es 5, 5 o 3 según los factores.

Los dos generadores recíprocos y h(X) sin dividir, la palabra sistemática de 1 + X³ dividida a la vista, y el (20,9) acortado con su ρ(X).

La traza del codificador del (15,5) bit por bit, el síndrome de un error en X¹² como resto, y el ciclo de más que gira la palabra.

Con la misma t, el (15,5) captura 450 de 455 triples y el Golay 1035 de 1771: la captura pide posiciones limpias seguidas en el anillo. Y las ráfagas que un cíclico no ve.

Un BCH garantiza la tira más larga de raíces consecutivas, no la t pedida. En largo 255, 31 de los 64 valores dan más: pedís 32 y el (255,47) corrige 42.

Con t + 1 errores, la fracción que sale equivocada en silencio es A₂ₜ₊₁·C(2t+1, t+1)/C(n, t+1): 38,5 % en el (15,5) y 17,2 % en el (31,16), con la misma t.

El mensaje 11001, tres errores en 2, 7 y 13, y el decodificador entero: los seis síndromes, el algoritmo iterativo binario, Chien y la corrección.

Un subespacio de Vₙ: la palabra nula, la suma cerrada, la tasa, la matriz G, la forma sistemática [I P] y las 16 palabras del (7,4), con su codificador en SystemVerilog.

H describe el código desde afuera: G·Hᵀ = 0, sus columnas, el dual (7,3), la paridad simple y la repetición como par dual, y el (8,4), que es su propio dual.

s = rHᵀ depende sólo del patrón de error: es la suma de las columnas de H donde hubo error, y cada síndrome lo comparten 2ᵏ patrones. Con el calculador del RTL.

Peso y distancia, d_min como el menor peso y como la menor cantidad de columnas de H que suman cero, la distribución de pesos, t, las esferas y los modos de operación.

Máxima verosimilitud sobre el BSC, el arreglo con sus líderes, la tabla de síndromes y su case en RTL, los empates del (8,4), y lo que la decodificación incompleta avisa y lo que no.

Cuánta distancia compran n − k bits de paridad: Singleton y los MDS, Hamming y el empaquetamiento de esferas, los códigos perfectos, y el (90,78), que cumple la igualdad y no existe.

Todas las columnas no nulas: d_min = 3, perfectos, el síndrome como dirección del bit erróneo, el símplex dual, y una ganancia que deja de crecer con el largo.

Acortar es sacar columnas de H: (n − ℓ, k − ℓ), una d_min que no baja, síndromes que quedan libres, y el (128,119) del OIF-400ZR.

Un bit de paridad global lleva d_min de 3 a 4 y parte el síndrome en paridad y posición: cuatro casos, y qué pasa con cada peso de error.

Columnas de peso impar: distancia 4 sin fila de paridad global, y el (72,64) de las memorias con 216 unos y 27 por fila, contra 258 y una fila de 72.

RM(r, m) como tablas de verdad de grado ≤ r, la construcción (u, u + v), la dualidad, la equivalencia con el (8,4) extendido y el algoritmo de Reed por votos disjuntos.

El (23,12,7) perfecto, su extendido auto-dual (24,12,8), las 759 octadas del S(5,8,24), y por qué cuatro errores se detectan pero no se corrigen.

El arreglo con filas en C1 y columnas en C2: d_min = d1·d2, la decodificación por etapas y su garantía (t1+1)(t2+1) − 1, y los patrones que ninguna pasada arregla.

El intercalador de bloque y su ⌈b/λ⌉, lo que cuesta en memoria y latencia, el convolucional y cuándo cuesta la mitad, y la cadena del OIF-400ZR.

El giro como X·v(X) módulo Xⁿ + 1, las órbitas, y el (7,4) del curso, que ya era cíclico.

Las palabras de un cíclico son los múltiplos de un solo polinomio, que divide a Xⁿ + 1. Construir es factorizar, y el dual lo genera el recíproco de h(X), no h(X).

Codificar en forma sistemática es una sola división. La hace un registro de n − k etapas, y el de k etapas por h(X) da la misma palabra.

El síndrome como resto de dividir por g(X), el mismo registro que codifica, y el teorema 5: un ciclo más del registro es el síndrome de la palabra girada.

Una sola pregunta sobre el síndrome, hecha n veces: en el (7,4) se reduce a una compuerta AND, y en el (15,5) a 106 síndromes en vez de 576, a cambio de n ciclos.

Si los errores caben en las n − k posiciones de paridad, el síndrome es el error. El (15,5) captura todo menos 5 triples; el Golay necesita Kasami o la búsqueda sistemática.

Toda ráfaga de hasta n − k, las que se escapan después, acortar sin cambiar el circuito, y lo que garantiza cada CRC normalizado.

El LFSR multiplica su estado por X módulo g(X): las órbitas miden el orden de g, y sólo un primitivo da la m-secuencia.

Dos cíclicos de largos coprimos dan un producto cíclico si el arreglo se lee en diagonal; leído por filas, sólo es quasi-cíclico, como el (9,3).

El orden y las longitudes que habilita, el cuadrado como operación lineal, las clases conjugadas, el polinomio mínimo como producto binario sobre la clase, y lo que cuesta cada operación.

Se piden 2t raíces consecutivas y sale el código: g(X) como MCM de los polinomios mínimos, los cuatro ejemplos, la tira más larga, el catálogo y n − k ≤ mt.

Por qué 2t raíces consecutivas garantizan distancia 2t + 1: la prueba por la Vandermonde, la igualdad, la desigualdad, y por qué la familia no aguanta bloques largos.

El dual del (31,21) y MacWilliams, la binomial como primer término, y P_u(E) con sus dos cotas.

Sᵢ = r(βⁱ), los pares como cuadrados, σ(X), las identidades de Newton y el registro que genera los síndromes.

Las identidades de Newton como sistema lineal: el primer determinante no nulo da cuántos errores hubo, y hasta t = 3 hay fórmula cerrada.

El localizador como el registro más corto que genera los síndromes: la discrepancia, la elección de ρ, la versión binaria de t iteraciones y la versión sin inversiones.

Las raíces de σ(X) por prueba exhaustiva encadenada por constantes, el orden de las posiciones, el circuito, y qué atrapa cada comprobación de falla.

Un borrado cuesta medio error: la cota, las dos pasadas y por qué el criterio elige bien.

La aritmética de GF(2ᵐ) hecha compuertas, el iterativo sin inversiones, Chien en paralelo y la cascada segmentada, con el (255,239) dimensionado.

En tiempo discreto, cos(1,5π·n) oscila más lento que cos(0,9π·n): no es una analogía del aliasing, es el mecanismo, y es anterior.

Cada muestra que el promediador móvil suaviza la devuelve más tarde, y el orden de una cascada de promediadores no cambia ni un bit.

Un sistema LTI jamás mueve una frecuencia de lugar; x² sobre el mismo coseno sí crea frecuencias nuevas, y por eso no es LTI.

Ningún Nfft separa lo que las muestras reales no resuelven: el relleno con ceros interpola la curva que ya hay, no agrega información.

Hay cuatro transformadas de Fourier que se llaman casi igual. La regla que las ordena a todas es una sola: discreto en un dominio, periódico en el otro.

El cociente de órdenes FIR/IIR va de 3,5× a 19,2× según el ancho de transición: el «10×» que se cita no es un extremo, es un punto del medio.

El sobrepico de Gibbs al truncar una ventana sin suavizar converge a un 9%: no baja agregando más taps, sólo se corre.

El retardo de grupo de un filtro elíptico se dispara justo en el borde de banda: la zona de fase no lineal cae exactamente donde te importa.

Un tono de 300 kHz y uno de 17,3 MHz muestreados a 1 MHz producen la misma lista de números. No hay filtro que separe lo que ya se sumó.

El mismo h[n] es un filtro analógico distinto según el reloj que le pongas, y una no linealidad adentro del sándwich genera su propio aliasing.

Truncar el sinc del retardo fraccionario mejora siempre el peor error de toda la banda, pero en una frecuencia fija el error ondula: más taps puede empeorarlo justo ahí.

Diezmar sin filtrar mete el alias con amplitud idéntica a la banda base; insertar ceros crea réplicas de esa misma magnitud, no un eco débil.

La descomposición polifásica da una salida idéntica bit a bit mientras el costo de cómputo cae linealmente con M.

El canal sólo sirve en una meseta de priors de ancho 1 − 2ε. Fuera de ella el receptor óptimo ignora el canal por completo: con π₀ = 0,99 el canal da vuelta uno de cada diez bits y el que no lo escucha falla uno de cada cien.

Está en cero sólo mientras los dos símbolos sean igual de probables. Si no, se corre hacia el MENOS probable, y con π₀ = 0,99 eso divide los errores por 6,585 — mientras el mismo umbral del otro lado los multiplica por 61.

Una corrida de cada tres dice que el canal no se equivoca nunca. Y la que sí cuenta errores sólo puede estar 0,87 · 1,74 · 2,62… veces alta: la estimación está cuantizada.

La recta 6,02b + 1,76 no es del cuantizador: es de una senoidal que llena exacto la escala. Con una gaussiana la SNR satura en 52 dB, y a 14 bits la fórmula promete 34 dB que no existen.

El promedio de ensamble recorre de −1 a 1 y el de tiempo se queda en cero: lo único que ese mide es su propio error de estimación. Ergodicidad es cuándo se puede hacer trampa.

Cien veces más datos y la dispersión se queda donde estaba. Lo que la baja es promediar tramos, y la baja exactamente como 1/√K.

Un pasatodo deja el espectro de potencia intacto y devuelve otra señal. Por eso de una PSD no se vuelve, y por eso un canal que sólo distorsiona la fase no se ve en un analizador de espectro.

Cambiar el orden de dos etapas, sin tocar un componente, cuesta 6,41 dB de figura de ruido. Y hay un orden mejor que el de fábrica que igual no se usa.

El transmisor manda la raíz del coseno realzado, y esa raíz deja 9,3 % de interferencia entre símbolos. El cero aparece recién cuando el receptor pone la otra mitad.

El mismo coseno realzado, con el reloj corrido una muestra, pasa de 0 % a 31,51 % de rizado en el espectro plegado: no tener ISI es del pulso y del instante en que lo mirás.

El filtro adaptado maximiza la relación señal a ruido y por eso mismo deja de ser de Nyquist: 41 dB de ISI en cuanto el canal no es ideal.

PAM-2, PAM-4 y PAM-8 ocupan el mismo ancho: 0,40 % de diferencia entre ellas, contra 0,72 % entre dos corridas de la misma. Más bits por símbolo no cuestan hertz, cuestan potencia.

Una señal real gasta la mitad de su espectro en repetirse. La envolvente compleja usa las dos mitades: lo único que separa los dos flujos es la fase, y a noventa grados de error la constelación se ve idéntica con el 50 % de los bits cambiados.

El canal ve N veces menos SNR que el slicer, y las filminas lo escriben de las dos formas. Equivocar la dirección no rompe la simulación: la mejora, que es la forma más peligrosa de estar equivocado.

La razón SER/BER es log₂M, pero sólo asintóticamente: 64-QAM va de 3,846 a 0 dB a 6,000 a 20 dB. Confundirlas parece una penalidad física que crece con la constelación.

El término de energía que casi todos tiran cambia la decisión en 3 de cada 4 símbolos de 16-QAM y en 15 de cada 16 de 64-QAM. En PSK no cambia ninguna, y por eso la regla equivocada sobrevive.

Un canal no cuesta «X dB»: la penalidad crece con la exigencia. El mismo pasabajos cuesta 0,33 dB a BER 10⁻¹ y 4,14 dB a 10⁻⁴ en 64-QAM.

Con interferencia entre símbolos, decidir cada muestra por su cuenta desperdicia lo que las vecinas ya dicen. Mismas muestras, mismo filtro, otra regla: 960 veces menos errores a 10 dB.

Con Ki = Kp/100 el lazo de la clase tiene ζ = 0,354, la mitad del 0,707 de libro, y el mismo ancho de banda de ruido: 60 MHz los dos. Lo que cambia es todo lo que B_n no mide.

Sin latencia, el lazo de la clase aguanta cualquier ganancia. Con latencia, el ancho de banda máximo por el retardo en segundos da 0,095 sin importar la tasa de símbolo: el lazo de la clase se cae con 86 ciclos, 5,4 ns.

Duplicar el ancho de banda del PLL engancha 8,0 veces más rápido mientras el error de fase da cientos de vueltas, y entre 2 y 3 veces cuando ya no da ninguna. La varianza se duplica en los dos casos.

La ecuación sin realimentación, por qué es siempre estable, la fase lineal que sale de la simetría, los cuatro tipos y el diseño por ventanas.

La línea de retardos que implementa un FIR, muestra a muestra: su costo, la forma transpuesta y el plegado que ahorra la mitad de los multiplicadores.

Su respuesta al impulso, su DTFT paso a paso, la sinc periódica que sale, cómo la mueve el largo de la ventana y cómo se analiza en MATLAB.

Truncar el pasabajos ideal es convolucionar con un núcleo de Dirichlet: de dónde sale el 8,95 %, por qué no baja con N y qué compran las ventanas.

La realimentación, el filtro de un polo derivado paso a paso, su estabilidad, la palabra finita y por qué se implementa en biquads.

H(z) factorizada, |H| leído como un cociente de distancias sobre el círculo, la estabilidad, y por qué un FIR tiene sólo ceros.

El alfabeto, el mapper con código Gray, la energía media, la distancia contra la energía, el espectro y cómo se genera sobremuestreando.

De bits a símbolos y de vuelta: cómo se construye el código Gray, por qué en la cruz no existe, y qué pasa si transmisor y receptor no etiquetan igual.

El criterio de Nyquist en el tiempo y en frecuencia, por qué el sinc no sirve, el coseno realzado, su raíz repartida y el diagrama de ojo.

Qué ISI evita y cuándo: el pulso derivado de su espectro, por qué cumple Nyquist con cualquier rolloff, y por qué deja de alcanzar si el canal no es plano.

Dos PAM en cuadratura: la envolvente compleja, por qué el coseno y el seno no se pisan, la constelación, el mapeo Gray y el demodulador.

El decisor de mínima distancia: regiones de decisión, umbrales en el punto medio, el slicer por ejes de QAM y lo que le hace una escala o una fase corrida.

Invertir el canal anula la ISI en los instantes de muestreo, pero pone polos donde el canal tiene ceros y levanta el ruido justo en su pozo.

Restar los poscursores con decisiones ya tomadas saca la ISI sin amplificar el ruido; el precio es que un error arrastra a los siguientes.

El MSE es un paraboloide en los taps: Wiener-Hopf da su fondo, el error óptimo es ortogonal a la entrada, y con SNR alta el MMSE es el ZF.

Bajar por el paraboloide sin invertir Φ: los modos, la condición 0 < β < 2/λmax y por qué la dispersión de autovalores fija la velocidad.

El gradiente de una sola muestra: sigue al MSEG en promedio, nunca se queda quieto en el mínimo, y el paso negocia velocidad contra desajuste.

El paso del LMS depende de la potencia que entra: sin AGC, un mismo β diverge con una señal fuerte y se arrastra con una débil.

De dónde saca el receptor el símbolo correcto: una secuencia conocida, o sus propias decisiones, que sólo sirven si el ojo ya está abierto.

Ecualizar a ciegas mirando sólo el módulo: abre el ojo sin conocer los símbolos y sin ver la fase, y deja la constelación girada para que la termine DD.

Taps a T/2: no pliega el espectro, así que no depende de la fase de muestreo, a cambio de una solución que no es única y pide leakage.

La cadena entera de los scripts de clase: qué señal hay en cada punto, qué criterio termina siguiendo el ecualizador y cuánto cuesta el ruido según dónde entra.

El PLL de punta a punta: por qué la cadena todavía no anda con el LO y el reloj corridos, el error de fase y el de frecuencia en la constelación, los tres bloques, qué es estar enganchado, el modelo equivalente de fase y las transferencias F(s) y E(s), y el script de la clase.

Cómo mide el lazo cuánto está corrido: la curva S, por qué es periódica y no es recta, la linealización y la ganancia K_PD, los detectores por producto, por parte imaginaria y por argumento, la amplitud que se cuela en la ganancia y la ambigüedad de 2π.

El oscilador del PLL: por qué el VCO integra el control, por qué un control constante es otra frecuencia, el NCO como acumulador de fase módulo 2π, la resolución de N bits, el desborde que hace el módulo gratis, la tabla del coseno y sus espurias, y el integrador que vuelve de tipo 2 al lazo.

El filtro de lazo de punta a punta: el error en régimen ante un escalón y una rampa de fase, la tabla de filtros de la filmina, por qué hace falta un integrador, el PI con su ζ y su ω_n, el transitorio y el análisis en MATLAB.

El ancho de banda del PLL de punta a punta: el de −3 dB y el equivalente de ruido derivado por integración, la varianza de la fase con ruido blanco, el enganche en frecuencia y en fase, el rango de captura, la receta de Kp y Ki, y todo cruzado con simulación en MATLAB.

El PLL que se implementa, el de phase_system.m: el PI y el NCO como acumuladores, la transferencia en z derivada a mano, sus polos, por qué es el lazo continuo pasado por Euler hacia atrás y cuándo deja de parecerse, y la latencia como z^−Lat.