La cátedra no escribió esto en una nota al pie: lo gritó en el nombre de un archivo. El script de la unidad se llama ejemplo_DE_QUE_LA_ESPERANZA_NOOOO_ES_PROMEDIAR_EN_TIEMPO.m, con mayúsculas y cuatro oes, y el que pone cuatro oes en el nombre de un archivo ya vio a demasiada gente hacer la cuenta equivocada. La esperanza de un proceso y el promedio de una señal en el tiempo son dos operaciones distintas, sobre el mismo objeto, y dan números distintos. No es una sutileza de notación: una recorre de a mientras la otra se queda pegada al cero.
Medido acá, con los parámetros del script: , muestreado a 100 kHz durante cinco períodos —250 muestras— y repetido 5000 veces. El promedio sobre las 5000 realizaciones, instante por instante, recorre de −1,026 a 1,019: es el coseno, con un error máximo de 0,046. El promedio en el tiempo, sobre las 250 muestras de una sola realización, da −0,00003 en promedio sobre las 5000, con un desvío de 0,063 entre ellas. Y la más desviada de esas 5000 llega a 0,241: 4,2 veces menos que el pico que alcanza la otra cuenta. Ninguna realización, por sí sola y promediada en el tiempo, delata jamás que adentro hay un coseno de amplitud 1.
Una señal se escribe y tiene un índice: el tiempo. Un proceso estocástico se escribe y tiene dos: , el tiempo, y , cuál de todas las señales posibles salió esta vez. Fijado queda una señal común y corriente, una realización: la que se mide, la que se grafica, la que entra al conversor. Fijado queda otra cosa: una variable aleatoria, la lista de todos los valores que el proceso podría tomar en ese instante. La colección entera es el ensamble.
Pensarlo como una tabla ayuda, porque es literalmente una tabla: una fila por realización, una columna por instante. Lo que el laboratorio entrega es una fila. Lo que la teoría define es una columna. Casi todo lo raro de esta unidad sale de esa asimetría, y no de ninguna dificultad de la probabilidad.
La esperanza —la media de ensamble, la que el apunte llama — es una integral sobre los valores posibles, pesada por la densidad del proceso en ese instante. El tiempo entra como parámetro, no como variable de integración:
El promedio en el tiempo es la otra integral: sobre , con una realización fija y ninguna densidad a la vista. Es la cuenta que hace todo el mundo, porque es la única que se puede hacer con lo que hay sobre la mesa:
Las dos son integrales, las dos se llaman «media» en castellano, y las dos producen un número. Ahí termina el parecido. La primera barre una columna de la tabla y devuelve una función del tiempo; la segunda barre una fila y devuelve una constante. No hay ninguna razón para que coincidan, y el resto de esta nota es el caso concreto donde no coinciden y el caso concreto donde sí.
Con 5000 realizaciones de 250 muestras, las dos cuentas de arriba se vuelven dos sumas finitas sobre la misma tabla, y lo único que las distingue es el índice por el que corre la suma. Hacia abajo, sobre las realizaciones, con el instante fijo:
Y hacia la derecha, sobre el tiempo, con la realización fija:
La primera devuelve 250 números que dibujan el coseno: van de −1,026 a 1,019, y se despegan del coseno verdadero a lo sumo 0,046. Ese recorrido no es ruido: promediar 5000 muestras independientes de desvío 1 deja un piso de estimación de , y el pico de 1,019 está 72 veces por encima de ese piso.
La segunda devuelve 5000 números que no dibujan nada: se amontonan alrededor de cero con un desvío medido de 0,0630. Ese número tampoco es libre: promediar 250 muestras de desvío 1 tiene que dar , y la medición cae a cuatro milésimas de ahí. O sea: lo único que el promedio en el tiempo mide es su propio error de estimación. Del coseno, nada.
Y no es que lo mida mal: es que no lo puede ver. Cinco períodos enteros de coseno promediados sobre el tiempo suman, muestra por muestra, — cero, hasta donde llega la coma flotante. Por eso el promedio en el tiempo de cada realización da exactamente lo mismo con el coseno adentro y sin él: la diferencia máxima entre las dos tandas de 5000 números es . La cátedra eligió cinco períodos justos y eso vuelve la ceguera exacta; con 4,7 períodos el coseno dejaría un residuo de 0,029, que sigue siendo 35 veces menor que el pico de la otra cuenta. La ceguera no depende del número redondo, sólo se vuelve literal.
El widget arranca por donde arranca todo el mundo: promediando hacia la derecha, adentro de una realización. Da un número cercano a cero, la línea azul se apoya sobre el eje, y no hay nada que llame la atención —el deslizador cambia de realización y el resultado sigue siendo cero—. Recién al cambiar el eje aparece el coseno, que estuvo ahí todo el tiempo y que la primera cuenta no podía ver. Las dos lecturas son el mismo promedio de los mismos números: lo único que cambia es por cuál de los dos índices de la tabla corre la suma.
El interruptor del widget saca el coseno y deja el mismo ruido: un solo cambio, todo lo demás igual. El proceso que queda es iid, y ahí las dos cuentas se reconcilian. La media de ensamble deja de recorrer nada y se queda entre −0,046 y 0,040 —unas tres veces su piso de estimación de 0,0141, o sea nada más que ruido de la propia estimación—, y el promedio en el tiempo sigue dando −0,00003. Las dos dicen cero, y esta vez dicen lo mismo.
Eso es la ergodicidad, y no es una tecnicalidad del apéndice: es el permiso. Un proceso es ergódico en la media cuando el promedio temporal de una realización converge a la esperanza del ensamble. Sin ese permiso, medir una señal y promediarla no dice nada sobre el proceso que la generó — y medir una señal es todo lo que se puede hacer, porque nadie tiene 5000 copias del canal.
Vale la pena marcar el borde, porque se confunde seguido: ser estacionario no alcanza. Un proceso cuyas realizaciones son constantes sorteadas al azar es perfectamente estacionario —su estadística no depende del tiempo— y sin embargo el promedio temporal de cada realización devuelve su propia constante, jamás la media del ensamble. La estacionariedad dice que la estadística no se mueve con el tiempo; la ergodicidad dice, además, que una sola realización alcanza para conocerla. Los dos scripts que la cátedra pone a continuación, ejemplo_1_proceso_no_estacionario.m y ejemplo_2_proceso_wss.m, son ese par de cuentas sobre un proceso que no es estacionario y sobre uno que sí.
Todo lo que viene después de este apunte está definido como una esperanza sobre el ensamble y calculado como un promedio en el tiempo sobre un solo registro. La autocorrelación es una esperanza; la que se calcula con una grabación es un promedio temporal. La PSD es la transformada de esa esperanza; el periodograma sale de una realización. La potencia de ruido que la Unidad 3 termina escribiendo como es una esperanza, y el número que sale del instrumento es un promedio en el tiempo. Cada vez que el curso cruza de la definición al cálculo pasa por este puente, casi siempre sin nombrarlo.
Por eso la unidad abre acá, y por eso el archivo lleva cuatro oes. No es que confundir las dos medias dé un número un poco peor: da un número que no responde la pregunta que se hizo.