Las imágenes no son un eco débil: son la copia exacta

La nota anterior mostró que dos tonos que aliasan producen las mismas muestras: no hay eco, hay una sola lista de números. Acá la misma idea aparece en otro punto del sistema. Diezmar sin filtrar mete el alias con una amplitud idéntica a la de la banda base, no atenuada; insertar ceros para interpolar crea réplicas de la misma magnitud que la señal original. En los dos casos, lo que vuelve no es una sombra débil del original: es la copia exacta.

Un tono en ${\omega }_0=\mathrm{0,8}\pi$ diezmado por $M=3$ aparece en $\mathrm{0,4000}\pi$ con una amplitud de $\mathrm{1,000000}$ — medido con un largo de señal múltiplo exacto del período del tono plegado, así que no hay fuga espectral que ensucie la lectura. No es una coincidencia de la medición: $\cos (\mathrm{0,8}\pi ·M·n)=\cos (\mathrm{2,4}\pi ·n)=\cos (\mathrm{0,4}\pi ·n)$ es el mismo coseno, escrito distinto. Lo que sigue es por qué eso es inevitable, y qué lo arregla.

01 · Diezmar estira el espectro y lo repite

Diezmar por $M$ es quedarse con una de cada $M$ muestras: $x_d[n]=x[nM]$. El nuevo período es $M$ veces más largo, y como $\omega =\Omega ·T$ (la nota anterior lo usa igual), un período más largo estira el eje $\omega$ por $M$: lo que ocupaba hasta ${\omega }_N$ ahora ocupa hasta $M·{\omega }_N$. Y aparece algo más: el espectro diezmado no es una sola copia estirada, son $M$ copias corridas cada $2\pi /M$ y promediadas:

$X_d(e^{j\omega })=(1/M)·\sum _{i}X(e^{j(\omega -2\pi i)/M})$

— con $i$ corriendo de $0$ a $M-1$. Si esas $M$ copias no se tocan, la del medio sale intacta. Si se tocan —hay contenido por encima de $\pi /M$— sus colas se suman, exactamente como en la nota anterior, y una suma no se deshace mirándola. El apunte de la cátedra lo resume en dos casos: una señal sobremuestreada al doble, diezmada por 2, cae justo en el borde crítico sin perder nada; la misma señal ya en el borde crítico, diezmada por 2, se pliega y pierde la mitad de arriba. La diferencia entre los dos casos es si $\pi /M$ alcanza para lo que hay adentro, y `diezmar` por sí sola no lo sabe ni lo pregunta: sólo tira muestras.

Con el filtro apagado, el número de la derecha no se mueve de $\mathrm{1,000000}$ en ningún lado del deslizador: `diezmar` no sabe qué hay arriba de $\pi /M$, así que no lo toca, y lo que había arriba baja intacto a ocupar el lugar de lo que había abajo. El «decimador completo» que pide el apunte —pasabajos con corte $\pi /M$ y ganancia 1, antes de tirar muestras— es lo que activa la casilla: mata lo que está por encima del corte con un filtro real, no con una pared ideal, y por eso la atenuación crece de forma gradual cruzando $\pi /M$ en vez de cortarse de un salto. Preferís perder esa banda, filtrada limpia, a que se pliegue encima de la que te importa.

02 · Insertar ceros comprime el espectro y lo repite

Insertar $L-1$ ceros entre cada muestra es la operación espejo: $x_e[n]=x[n/L]$ en los múltiplos de $L$, cero en todo lo demás. La DTFT de eso se escribe en tres líneas —es una sustitución directa, ningún truco de por medio— y da una identidad exacta:

$X_e(e^{j\omega })=X(e^{j{\omega }_L})$

El eje se comprime por $L$: lo que ocupaba $[0,\pi ]$ ahora ocupa $[0,\pi /L]$. Pero la DTFT es periódica en $2\pi$, así que adentro de $[0,2\pi )$ entran $L$ copias enteras del espectro original: las imágenes. No son aliasing —nada se mezcló, no se perdió información, la identidad de arriba es exacta— son copias espurias que hay que filtrar. Y son copias de verdad: la magnitud de una imagen en ${\omega }_L$ es la misma magnitud que la banda base en $\omega$, no una fracción de ella. Verificada contra la respuesta en frecuencia de referencia sobre una grilla de frecuencias, la identidad vale al piso de la precisión de la máquina: la diferencia máxima medida es $\mathrm{1,65}\times {10}^{-14}$. El «interpolador completo» —insertar ceros, después un pasabajos con corte $\pi /L$ y ganancia L, no 1— necesita esa ganancia justamente porque insertar ceros diluye la amplitud media por $L$: la energía útil quedó en 1 de cada $L$ muestras, y el filtro se la devuelve al mismo tiempo que borra las imágenes.