Ejemplo · Física 1

El gol con viento

Con viento se queda corta. Sin viento se va por arriba. Las dos cosas, con el mismo tiro.

Es el ejercicio adicional de la Guía 1, el 15, y fue el Problema 1 del Parcial 1 de 2025.

En un partido de fútbol femenino, que se juega sobre piso de arena, una jugadora se encuentra frente al arco y nota que éste está desguarnecido. Patea la pelota con una velocidad inicial de módulo igual a 24 m/s, formando un ángulo de 30° con la horizontal, intentando convertir el gol. Debido a que existe un fuerte viento, la pelota experimenta tanto la aceleración de la gravedad como una aceleración horizontal de 2 m/s² en sentido opuesto a su dirección de movimiento. Sabiendo que el arco tiene 2,44 m de altura y está ubicado a 45 m de donde parte la pelota, y que al impactar en la arena la pelota no se desplaza horizontalmente, ¿logra la jugadora convertir el gol? ¿Y si no hubiese existido la aceleración horizontal provocada por el viento? Considere que la aceleración de la gravedad es igual a 10 m/s².

El viento no empuja: frena. Apunta siempre en contra del movimiento, así que mientras la pelota sube y avanza le quita velocidad horizontal todo el tiempo, no sólo al principio. Eso alcanza para cambiar la respuesta dos veces: con el viento puesto la pelota se queda corta, y si a alguien se le ocurriera sacarlo del cálculo —«totalmente sin viento, más fácil»— la misma pelota pasaría por arriba del travesaño. Ninguna de las dos cuentas da gol, y por motivos que no tienen nada que ver entre sí.

Cómo se resuelve

(a) Origen en el punto de patada, x horizontal en el sentido del tiro, y vertical hacia arriba. El arco es el segmento vertical en x = 45 m, de y = 0 a y = 2,44 m.
(b) La aceleración es constante todo el vuelo: a = (−2, −10) m/s². Integrando una vez, v(t) = (v₀cos α − 2t, v₀sen α − 10t); integrando otra vez, r(t) = (v₀cos α · t − t², v₀sen α · t − 5t²). El signo del término en t² del eje x es del viento, no de la gravedad.
(c) El eje y nunca ve al viento —no aparece en esa ecuación—, así que la altura máxima se calcula como en cualquier tiro parabólico: t_máx = v₀sen α / g = 1,20 s y h_máx = 7,20 m. Por la misma razón el tiempo total de vuelo tampoco cambia con el viento: cae en t = 2,40 s, con o sin él.
(d) Con viento, en t = 2,40 s la pelota está en x = 44,12 m: le faltan 0,88 m para el arco. No convierte.
(e) Sin viento, cuando x llega a 45 m (en t = 2,165 s) la pelota está a y = 2,543 m, o sea 0,103 m por encima del travesaño. Tampoco convierte, esta vez por arriba.
(f) En el punto más alto, v = (18,38; 0) m/s —pura horizontal, por definición de «más alto»— y a = (−2, −10) m/s². El ángulo entre las dos es de unos 101°, no 90°: en el tiro parabólico común v y a son siempre perpendiculares en el vértice, porque ahí a es enteramente vertical. Acá no, porque a_x sigue frenando a la pelota incluso arriba.

El hallazgo no es «el viento le costó el gol»: es que la jugadora erra de las dos maneras posibles, con el viento puesto y con el viento sacado, y por razones que no comparten ni una línea de cuenta —una es el eje x quedándose corto, la otra es el eje y pasándose de largo. Y hay una pregunta que el enunciado no hace: manteniendo la misma v₀ y el mismo viento, ¿qué pasa con otro ángulo? Barriendo el control de arriba con el viento tildado no aparecen dos tramos sino cinco, alternando entre las mismas dos maneras de errar: por debajo de 31,45° se queda corta —el error del ítem (d), el de 30°—; entre 31,45° y 38,82° entra; entre 38,83° y 42,97° se va por encima del travesaño —el error del ítem (e), sólo que acá pasa con el viento soplando, sin necesidad de apagarlo (a 40° llega a 2,587 m, a 41° a 2,630 m, contra los 2,44 del arco)—; entre 42,98° y 47,24° vuelve a entrar; y por encima de 47,24° se queda corta otra vez. (Las fronteras exactas están en 31,4426° y 47,2475°; 31,45° y 47,24° son, de los ángulos con dos decimales, el primero y el último que de verdad convierten —no el redondeo más cercano, que en los dos casos cae del lado que no entra.) Los 30° del enunciado caen en el primero de esos dos tramos cortos —no en ninguna franja del medio—, así que con este viento y esta v₀ alcanzaba con apuntar un poco más arriba, a partir de unos 31,5°, para que entrara.