Ejemplo · Física 1

El golfista en la pendiente

La pelota no llega a y = 0: llega a la ladera, cinco grados más abajo del tee.

Es el Problema 1 del Parcial 1 del 26 de septiembre de 2024. A diferencia de otras notas del sitio, no viene de ningún práctico: el terreno inclinado es una vuelta de tuerca que el parcial agrega por su cuenta, sin ensayarla antes en ninguna guía.

Un golfista golpea una pelota con velocidad inicial de 48 m/s y ángulo de 25° con la horizontal. El terreno tiene una pendiente de 5°. Determinar: (a) vectores a(t), v(t), r(t); (b) tiempo hasta la altura máxima; (c) distancia entre el golfista y el punto donde la pelota toca el piso; (d) velocidad con que la pelota toca el piso; (e) graficar x(t), y(t), y dibujar velocidad y aceleración en el punto más alto y justo antes de chocar. g = 10 m/s².

El enunciado da la pendiente pero no dice para qué lado: si el golfista pega desde arriba de una loma, cuesta abajo, o si el green está más alto que el tee, cuesta arriba. Elijo cuesta abajo — el tee sobre una elevación y la pelota cayendo hacia un terreno que sigue bajando —, la lectura más común de un golpe de salida. El widget deja probar la otra dirección con la casilla, y el álgebra de abajo se resuelve para las dos a la vez: sólo cambia un signo.

Cómo se resuelve

(a) Origen en el punto donde el golfista golpea la pelota, x horizontal en el sentido del tiro, y vertical hacia arriba. Acá no hay ninguna otra aceleración que sumar — a diferencia de un tiro con viento, la aceleración es sólo la de la gravedad, y es constante durante todo el vuelo: $a (t) = (0, - g)$ Integrando una vez sale v(t), y otra vez r(t): $v (t) = (v_{0} \cos α, v_{0} sen α - g t)$ $r (t) = (v_{0} \cos α \cdot t, v_{0} sen α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2})$
(b) El eje y no ve al terreno — la pendiente no aparece en ninguna de las dos ecuaciones de arriba —, así que la altura máxima se alcanza cuando se anula la componente vertical de la velocidad, exactamente como en cualquier tiro parabólico: $t_{máx} = \frac{v_{0} sen α}{g} = 2, 03 s$
(c) Acá está la trampa que este ejercicio existe para atacar. El piso no vale y = 0: el piso es la recta que baja desde los pies del golfista con pendiente β, y la pelota lo toca cuando r(t) cruza esa recta, no cuando su altura se anula. Cuesta abajo, la recta es y = −x·tan β. Igualando: $v_{0} sen α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2} = - \tan β \cdot v_{0} \cos α \cdot t$ Descartando la raíz t = 0 (el golfista está parado sobre esa misma recta) y despejando la otra: $t_{piso} = \frac{2 v_{0} (sen α + \tan β \cos α)}{g}$ Con los números del enunciado (v₀ = 48 m/s, α = 25°, β = 5°, g = 10 m/s²) sale t_piso = 4,82 s — 0,76 s más que los 4,06 s que daría la trampa, porque el piso real sigue bajando y la pelota tiene más aire debajo para caer. De ahí, x_piso = v₀cos α · t_piso = 209,61 m, e y_piso = −x_pisotan β = −18,34 m. La distancia que pide el enunciado no es x_piso: es la distancia en línea recta hasta ese punto, y como el punto está sobre la recta del terreno, $d = \frac{x_{piso}}{\cos β} = 210, 41 m$
(d) La velocidad de impacto sale de evaluar v(t) en t_piso, no en el tiempo de la trampa: $v (t_{piso}) = (43, 50; - 27, 90) m/s$ con módulo $| v | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = 51, 68 m/s$ y ángulo bajo la horizontal $φ = 32, 67 °$
(e) x(t) es una recta —pendiente constante v₀cos α— y y(t) es la misma parábola de siempre, con el vértice en t_máx. Lo único que cambia con el terreno es dónde se corta el dibujo: en t_piso = 4,82 s, no en los 4,06 s donde y valdría cero. En el punto más alto, v = (43,50; 0) es puramente horizontal y a = (0; −10) puramente vertical: ahí sí son perpendiculares, como en cualquier tiro sin aceleración horizontal. Justo antes de chocar, v ya tiene la componente vertical que le dio la caída, (43,50; −27,90), y el ángulo con a deja de ser noventa grados — no porque el terreno haga nada especial, sino porque ese instante ya no es el vértice.

Hay una simetría que sólo aparece si se resuelve así, con letras antes que números. El término que la pendiente agrega al tiempo de vuelo es 2v₀tan β cos α / g, y entra con el mismo signo con el que se elige la dirección: cuesta abajo se suma, cuesta arriba se resta, y en los dos casos por la misma cantidad. Con este golpe, subir o bajar el terreno estos 5° corre el punto de impacto 33,11 m respecto de lo que diría la trampa, para cualquiera de las dos direcciones — el widget lo muestra apretando la casilla sin tocar el deslizador. Y cuesta arriba hay un límite que la fórmula avisa sola: si la ladera subiera con los mismos 25° del tiro, t_piso da exactamente cero — la pelota saldría rasante a la ladera y nunca se despegaría de ella. Con una ladera más empinada que eso, t_piso sale negativo: el planteo deja de tener una solución física, porque el tiro ya apuntaría por debajo del propio terreno.