Ejemplo · Física 1

El péndulo balístico

El disparo conserva energía, la subida del péndulo también — pero el choque que los une en el medio sólo conserva momento. Tratar los tres tramos como uno solo es, dice Serway sobre este mismo problema, «un error conceptual grave».

Es el problema 3 del Parcial 1 (Recuperatorio) del 26 de noviembre de 2020, y es el contraste que le falta a «La bolita y el resorte»: ahí el choque es perfectamente elástico y la energía cinética se conserva; en éste es perfectamente inelástico y no se conserva.

El enunciado encadena tres tramos —el disparo y el vuelo, el choque, la subida del péndulo— y cada uno pide un modelo distinto: energía mecánica, después sólo momento lineal, después energía mecánica otra vez. Y hay una vuelta más: lo único que el enunciado mide es el ángulo final del péndulo, así que hay que resolver los tres tramos en el orden inverso al que los cuenta.

Con un cañón de resorte (compresión máxima 50 cm) se lanza un proyectil de 40 g con 30° respecto del horizonte; en su altura máxima impacta contra la masa esponjosa de 500 g de un péndulo balístico de 2 m y se le queda unido. El ángulo máximo del péndulo es 10°. (a) Dibujo esquemático. (b) Energía cinética del conjunto justo después del impacto. (c) Comparando antes y después del impacto, ¿se conserva el momento lineal? ¿se conserva la energía cinética? Justifique. (d) Velocidad del proyectil justo antes del impacto. (e) Velocidad con la que el proyectil abandonó el cañón. (f) Tiempo de vuelo. (g) Constante del resorte.

El dibujo del ítem (a) es, básicamente, la escena del widget de abajo: el cañón, la parábola hasta el vértice, y el péndulo colgado justo ahí. Lo que el widget agrega es el ángulo que se mide, convertido en deslizador —así se ve, en vivo, cuánto se amplifica hacia atrás un error de unos pocos grados en esa única medición.

Cómo se resuelve

Se empieza por el final: la subida del péndulo, después del choque. Ahí sólo trabaja el peso —la tensión del hilo es siempre perpendicular al movimiento—, así que la energía mecánica del conjunto (proyectil más masa esponjosa) se conserva entre el punto más bajo y el ángulo máximo, donde el péndulo se detiene un instante. La altura que sube es $h = L (1 - \cos θ)$ , y de ahí la velocidad justo después del choque y la energía cinética que pide el ítem (b): $V^{'} = \sqrt{2 g h}$ $K^{'} = (M + m) g h$ Con L = 2 m y θ = 10°: h ≈ 0,0304 m, V′ ≈ 0,7717 m/s, K′ ≈ 0,1608 J.
El choque mismo es perfectamente inelástico —las dos masas quedan unidas— y prácticamente instantáneo: durante ese instante las fuerzas impulsivas entre el proyectil y la masa esponjosa son muchísimo más grandes que el peso o la tensión del hilo, así que sólo ellas mandan y el momento lineal horizontal del sistema se conserva: $m v = (M + m) V^{'}$ de donde la velocidad del proyectil justo antes del choque —ítem (d)— es $v = \frac{(M + m) V^{'}}{m}$ ≈ 10,4181 m/s. Con ese dato, la energía cinética un instante antes era $K_{antes} = \frac{1}{2} m v^{2}$ ≈ 2,1707 J, contra los ≈0,1608 J de después: se perdió el 92,6% —siempre esa fracción, M∕(M+m), sin importar con qué velocidad venga el proyectil, porque K′∕K_antes se simplifica exactamente a eso—. Esa energía no se destruyó: se fue en deformar de manera permanente la masa esponjosa, en calor y en el trabajo de romper esa deformación, el mismo mecanismo por el que un choque real entre autos no se puede desandar. Ésa es la razón física del ítem (c) —no alcanza con decir «porque el choque es inelástico»—: el momento lineal se conserva porque nada externo actúa durante el instante del choque, y la energía cinética no porque una parte deja de ser mecánica.
Antes del choque, el proyectil viene en vuelo libre desde el cañón, y justo en el punto más alto de la parábola —donde ocurre el impacto— la componente vertical de su velocidad es exactamente cero: toda la velocidad recién calculada es horizontal. Y como nada acelera al proyectil en esa dirección durante el vuelo, esa misma componente horizontal es la que tenía desde que salió del cañón: $v = v_{0} \cos 30 °$ , de donde la velocidad de salida —ítem (e)— es $v_{0} = \frac{v}{\cos 30 °}$ ≈ 12,0298 m/s.
El tiempo que tardó en llegar —ítem (f)— es el que tarda en subir hasta que la componente vertical se anula: $v_{0} \sin 30 ° = g t$ , así que $t = \frac{v_{0} \sin 30 °}{g}$ ≈ 0,6138 s. En ese lapso sube 1,8459 m y avanza 6,3942 m: ahí, y no en otro lado, tiene que estar colgado el péndulo para que el enunciado cierre.
Y por último, el cañón. La energía elástica que el resorte le entrega al proyectil en su compresión máxima, x = 0,50 m, se convierte íntegra en energía cinética de salida —el disparo se trata como puntual, sin contar el pequeño cambio de altura mientras el proyectil todavía va apoyado en el resorte—: $\frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ de donde la constante del resorte —ítem (g)— es $k = \frac{m v_{0}^{2}}{x^{2}}$ ≈ 23,1544 N/m.

Los cinco pasos usan tres modelos distintos, en el orden inverso al que cuenta el enunciado: primero el péndulo (energía), después el choque (sólo momento), y recién al final el vuelo y el cañón (energía otra vez, dos veces). Cambiar de modelo en la línea equivocada —conservar energía mecánica desde el choque hasta la salida del cañón, tratando todo el proceso como un solo tramo— mezclaría un tramo donde la energía se destruye con dos donde no, y el resultado no significaría nada. Movés el deslizador de θ de arriba y las ocho lecturas cambian todas juntas —menos el 92,6%, que es la única que no depende de nada de lo que se mueve—: un péndulo que en vez de 10° marcara 7° (un 30% menos) deja la constante del resorte en menos de la mitad, de 23,15 N/m a 11,36 N/m. Resolver hacia atrás no es sólo despejar en el orden inverso: es que cualquier error en el dato medido se agranda a cada paso que se retrocede.