Ejemplo · Física 1

La bolita y el resorte

Un choque, un tramo con rozamiento y un resorte. La energía cambia de casillero tres veces y sólo una vez se pierde.

Es el problema 2 del Parcial 1 del 25 de septiembre de 2025, y a diferencia de las otras notas de ejemplo del sitio no está calcado de ningún práctico: no hay un ejercicio adicional que lo anticipe. Hay que armarlo encadenando tres ideas que hasta acá vivían en widgets separados.

Una bolita b₁, de masa m, está en reposo en lo alto de una loma, a una altura h. Al soltarla baja sin rozamiento hasta el punto A, donde choca en forma perfectamente elástica con una bolita b₂ idéntica, en reposo. Después del choque b₂ recorre sin rozamiento el tramo A–B y con rozamiento μ_d el tramo B–C, de longitud L_BC, hasta llegar a un resorte de constante k y longitud natural ℓ₀ que la detiene. La pista está construida de manera que $h = 4 μ_{d} L_{BC}$ . Se pide: (a) la velocidad de b₂ en B y qué le pasa a b₁ después del choque; (b) la longitud del resorte en el instante de máxima compresión, el trabajo que hace el resorte sobre la bolita, y una interpretación de ese resultado.

Lo que hace interesante a este problema no es ninguno de sus tres tramos por separado —el choque elástico ya tiene su propio widget en Cantidad de movimiento, y el tramo con rozamiento y el resorte comparten uno solo en Trabajo y energía—: es que hay que hacerlos hablar entre sí, pasándose la posta de la energía de un casillero al siguiente. Y hay una condición del enunciado, $h = 4 μ_{d} L_{BC}$ , que a primera vista parece un dato más y en realidad es la que hace que todo el álgebra cierre.

Cómo se resuelve

La bajada es conservación de energía, sin nada más: $m g h = \frac{1}{2} m v_{a}^{2}$ , así que $v_{a} = \sqrt{2 g h}$ . Con la atadura $h = 4 μ_{d} L_{BC}$ puesta adentro, $v_{a} = \sqrt{8 g μ_{d} L_{BC}}$ — la masa ya se canceló, y ni h ni k están a la vista.
El choque es elástico y las masas son iguales: eso es, exactamente, un intercambio de velocidades. b₁ queda quieta en A y b₂ sale con toda la velocidad que traía b₁. $v_{2, B} = v_{a} = \sqrt{8 g μ_{d} L_{BC}} = 6,2610 m/s$ . Ítem (a) resuelto.
El tramo B–C es el teorema trabajo-energía con el rozamiento como único agente: $\frac{1}{2} m v_{2, B}^{2} - μ_{d} m g L_{BC} = \frac{1}{2} m v_{2, C}^{2}$ . La masa vuelve a cancelarse y, usando otra vez la atadura, $v_{2, C} = \sqrt{6 g μ_{d} L_{BC}} = 5,4222 m/s$ .
Contra el resorte, toda la cinética que le queda a b₂ se guarda como elástica: $\frac{1}{2} m v_{2, C}^{2} = \frac{1}{2} k x^{2}$ , de donde $x = v_{2, C} \sqrt{\frac{m}{k}} = 0,2711 m$ . El resorte queda en $ℓ_{0} - x = 0,3289 m$ . Su trabajo es $W = - \frac{1}{2} k x^{2} = - 7,3500 J$ : negativo porque la fuerza que el resorte hace sobre la bolita apunta al revés del movimiento mientras la frena, y su módulo es exactamente la energía cinética que la bolita traía al tocarlo — el resorte no destruye esa energía, la guarda. Ítem (b) resuelto.

Ninguno de los dos resultados — $v_{2, B} = \sqrt{8 g μ_{d} L_{BC}}$ , $v_{2, C} = \sqrt{6 g μ_{d} L_{BC}}$ — lleva h ni k, y ninguno de los dos lleva la masa. Eso no es casualidad ni simplificación de último momento: es lo que produce la atadura $h = 4 μ_{d} L_{BC}$ , puesta ahí a propósito para que el álgebra cierre en símbolos. Movés el deslizador de μ_d de arriba y vas a notar algo que a primera vista parece un error de la simulación: la loma cambia de altura. No lo es —es la misma atadura, dibujada—: es literalmente el enunciado diciendo que esos dos números, μ_d y h, no son independientes.