La velocidad es la pendiente y el desplazamiento es el área: la misma relación leída en dos direcciones.
Un gráfico de posición contra tiempo parece decir una sola cosa: dónde está el móvil en cada instante. Dice dos más, y son las que los ejercicios piden: cuán rápido va, y cómo cambia esa rapidez. Las dos están ahí, en la forma de la curva, antes de que aparezca ninguna fórmula.
Este ensayo tiene un solo objetivo: que puedas mirar una curva y leerle la velocidad sin calcular nada, y mirar una curva de velocidad y leerle el desplazamiento del mismo modo.
Elegí dos instantes y marcá en el gráfico dónde está el móvil en cada uno. La velocidad media entre esos dos instantes no es otra cosa que la pendiente de la recta que une los dos puntos: cuánto cambió la posición dividido cuánto tardó en cambiar. Hasta ahí no hay nada que no sepas. Lo interesante empieza cuando el segundo punto se acerca al primero, porque la recta que los une va girando y su pendiente va a alguna parte. A esa parte adonde va la llamamos velocidad instantánea. Mové el slider hasta el fondo y mirá el número.
Mirá las dos últimas lecturas. La pendiente de PQ se acerca a 3,84 y la diferencia se hace cada vez más chica, pero nunca da cero: siempre queda algo. Y no es un defecto de la cuenta ni del redondeo. Con Δt = 0 los dos puntos serían el mismo punto, Δx también sería cero, y la división 0/0 no existe. Así que la velocidad instantánea no es «la pendiente cuando Δt vale cero» —ahí no hay ninguna pendiente que calcular— sino el número al que la pendiente se acerca mientras Δt se achica. Eso es un límite: el nombre del acercamiento, no el del punto final.
Ese acercamiento el apunte lo escribe v = dx/dt. La d no es un número chiquito que multiplica: es la marca de que la cuenta Δx/Δt ya se hizo con Δt yendo a cero. Y no es adorno teórico. El ejercicio 1 del práctico da exactamente esta curva, x(t) = −3 + 2t3, y pide velocidades instantáneas leídas del gráfico: en t = 0 la curva está horizontal, así que la velocidad es 0; en t = 0,8 s vale 3,84 m/s, que es el número al que viste llegar la pendiente.
Los tres gráficos de abajo describen un solo movimiento: uno en posición, uno en velocidad y uno en aceleración. Los tres comparten el eje horizontal, así que cada instante es una columna vertical que los atraviesa a los tres a la vez. Mirados por separado son tres dibujos sueltos; leídos juntos, siguiendo esa columna, son una sola historia.
Donde x tiene su máximo —t = 1,7 s, x = 17,45 m— la velocidad vale cero, porque ahí la curva de posición está horizontal: no hay pendiente que leer. Arrastrá el cursor hasta esa cima y mirá el punto azul del panel del medio: cae justo sobre el cero.
La aceleración, en cambio, no se entera de nada de eso: es constante y negativa, −10 m/s², en todo el recorrido. Se ve en que v es una recta que baja sin pausa y en que x es una parábola con la concavidad siempre hacia abajo. El ejercicio 4 cobra justo esta distinción: velocidad cero no es lo mismo que aceleración cero. En la cima de la curva, el móvil deja de avanzar un instante, pero nunca deja de frenar.
Trazá con el mouse cualquier historia de posición que se te ocurra: arrancá quieto y acelerá, andá y frená, volvé sobre tus pasos. Mirá qué les pasa a los dos gráficos de abajo mientras lo hacés. No hay una curva correcta —ni una incorrecta—: el punto es justamente ver, en el momento, qué le hace tu trazo a la velocidad y a la aceleración.
Lo que acabás de descubrir dibujando son las mismas tres lecturas que este ensayo viene mostrando con fórmulas: un tramo horizontal en x da velocidad cero, porque no hay pendiente que leer; un tramo recto e inclinado da velocidad constante y aceleración cero, porque la pendiente no cambia; y sólo cuando la curva se dobla —cuando pasa de una recta a otra— aparece una aceleración distinta de cero. Es exactamente la lectura que pide el ejercicio 2, con su x(t) definida a trozos: cada tramo recto es un tramo de velocidad constante, y los quiebres entre tramos son donde vive la aceleración.
Ahora dale la vuelta a todo lo que viste. Si la velocidad es la pendiente de la posición, la posición tiene que poder leerse de la velocidad, y lo que se lee ahí no es una pendiente: es un área. Pero el signo importa, y ahí se separan dos cosas que suenan iguales y no lo son —cuánto se desplazó el móvil y cuánto camino recorrió—.
Llevá el slider hasta t = 3,4 s y mirá las dos lecturas de abajo: el desplazamiento vuelve a 0,00 m, pero el camino recorrido llega a 28,90 m. No es una contradicción, es la respuesta a dos preguntas distintas. El móvil subió 14,45 m y después bajó esos mismos 14,45 m: como desplazamiento, la vuelta se cancela con la ida y por eso el área azul y el área roja se restan hasta dar cero; como camino recorrido, las dos partes del viaje se suman igual, sin importar de qué lado del eje quedaron.
Es el mismo ejercicio 4 de la sección 02, cerrando el círculo: la curva de posición que viste ahí y la curva de velocidad que acabás de integrar acá describen un solo movimiento, leído en las dos direcciones.
Apunte cap. 1, pp. 3–24 · práctico 1, ej. 1 a 4 · el auto y el camión (ej. 5) · código