El rozamiento no tiene un valor

Entre la fuerza que lo arranca y la que lo mantiene hay una banda donde el mismo empujón da dos resultados, y lo que decide no es una fuerza: es qué venía haciendo.

Un ropero de 50 kg en el living. Lo empujás con toda tu fuerza y no se mueve; insistís un poco más y de golpe arranca, casi se te escapa, y a partir de ahí lo movés con bastante menos esfuerzo del que te costó despegarlo. Esa experiencia —que cualquiera tuvo— contiene un hecho que las fórmulas esconden: «la fuerza de rozamiento» no es una cantidad. Son dos reglas distintas, con dos coeficientes distintos, y entre ellas queda un hueco donde las ecuaciones de fuerzas, solas, no alcanzan para contestar si el cuerpo se mueve o no.

Que el rozamiento estático valga lo que haga falta —y no ${\mu }_{e}N$— ya está contado en el ensayo del diagrama de cuerpo aislado, con el bloque apretado contra la pared. Esta nota empieza donde aquélla termina: si ${\mu }_e$ fija dónde arranca y ${\mu }_d$ manda una vez que se mueve, ¿qué pasa con las fuerzas que quedan entre los dos?

01 · Dos reglas, no una fórmula con dos valores

La diferencia entre los dos regímenes no es que cambie un número en la misma fórmula. Es que uno es una incógnita y el otro es un dato, y eso cambia cómo se plantea el problema entero.

Mientras el cuerpo no desliza, el rozamiento estático no tiene fórmula: sale de exigir equilibrio, igual que una tensión o una normal. Vale exactamente lo que haga falta para que el cuerpo no se mueva, y lo único que ${\mu }_e$ aporta es un techo:

$$f_e\le {\mu }_{e}N$$

Una vez que desliza, en cambio, el rozamiento dinámico deja de ser incógnita y pasa a ser dato, calculable antes de plantear nada:

$$f_d={\mu }_{d}N$$

Con el ropero de 50 kg sobre piso horizontal, ${\mu }_e=0,50$ y ${\mu }_d=0,30$, la normal vale $500\mathrm{N}$ y los dos números que importan son 250 N para arrancarlo y 150 N para mantenerlo andando. Empujarlo con 180 N y que no se mueva significa que el rozamiento vale 180 N, no 250: 250 es el techo disponible, no la fuerza que aparece.

02 · La banda donde las fuerzas no alcanzan

Si subiste el empujón hasta pasar los 250 N y después lo bajaste, ya viste lo que esta nota tiene para decir: el camino de vuelta no es el de ida. El ropero arrancó en 250 N pero no se detuvo ahí al volver — siguió moviéndose hasta que el empujón bajó de 150 N. Entre esos dos valores hay una banda de 100 N, un 67 % más ancha que su propio piso, donde la misma fuerza convive con dos comportamientos.

empujón	desde el reposo	ya moviéndose
140 N	no arranca	frena, $a=-0,20$ m/s²
150 N	no arranca	velocidad constante
200 N	no arranca	acelera a $+1,00$ m/s²
250 N	en el límite exacto	acelera a $+2,00$ m/s²
260 N	arranca	acelera a $+2,20$ m/s²

Leé la fila de 200 N con cuidado, porque es toda la nota en un renglón: con el mismo empujón, sobre el mismo ropero, el mismo piso y la misma gravedad, el resultado es «se queda quieto para siempre» o «acelera a un metro por segundo cada segundo». Las dos cosas son compatibles con las ecuaciones de Newton. Ninguna fuerza del problema distingue un caso del otro.

Lo que falta no es una fuerza: es el estado. Saber si el cuerpo venía quieto o venía moviéndose no es un dato accesorio del enunciado, es una variable de la que depende la respuesta. Por eso los problemas de rozamiento no se resuelven planteando ecuaciones y despejando: se resuelven con un procedimiento que decide primero en qué régimen está, y recién después escribe las ecuaciones de ese régimen.

La receta, que es la del práctico, tiene un paso que casi todo el mundo se saltea:

1. Suponer que no desliza, o sea $a=0$.
2. Despejar de las ecuaciones la $f$ que haría falta para ese equilibrio.
3. Calcular $N$ —que casi nunca vale $mg$— y comparar: ¿es $f\le {\mu }_{e}N$?
4. Si sí: no desliza, y el rozamiento vale la $f$ que despejaste, no ${\mu }_{e}N$.
5. Si no: desliza. Rehacer con $f={\mu }_{d}N$ y $a\ne 0$.

El paso 4 es el que se cobra. Escribir $f={\mu }_{e}N$ sin haber verificado que el cuerpo esté a punto de deslizar es usar una cota como si fuera un valor, y da un número que no es el del problema.

03 · Y cuando arranca, pega un tirón

Hay una segunda consecuencia, y se ve en el widget de arriba al cruzar el umbral: la aceleración no sale de cero. En el instante en que el ropero empieza a deslizar, el rozamiento cae de golpe de 250 N a 150 N —porque deja de mandar ${\mu }_e$ y pasa a mandar ${\mu }_d$—, y esos 100 N que se liberan aparecen íntegros como aceleración:

$$a=\frac{({\mu }_e-{\mu }_d)N}{m}=\frac{250-150}{50}=2,00\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$

Un cuerpo que apenas supera el umbral no empieza a reptar: al segundo ya va a dos metros por segundo. Es un salto, no una rampa — y es la razón física de que el ropero «se te escape» justo cuando cede, de que la tiza chille contra el pizarrón y de que un violín suene en lugar de zumbar. En todos esos casos el cuerpo se pega, acumula fuerza, salta, vuelve a pegarse, y el ciclo se repite decenas o miles de veces por segundo.

Tildá la casilla de ${\mu }_e={\mu }_d$ en el widget y el fenómeno entero desaparece: la banda mide cero, el salto vale cero, el camino de ida y el de vuelta se superponen, y la pregunta «¿se mueve?» vuelve a tener una sola respuesta. Todo lo de esta nota vive en la diferencia entre los dos coeficientes, no en el rozamiento.

04 · El mismo hecho, en un plano inclinado

La banda no es una rareza del piso horizontal. Poné el ropero en una rampa y levantala de a poco: no empieza a bajar hasta que la inclinación supera un ángulo, y una vez que baja sigue bajando aunque aflojes un poco. Son los mismos dos umbrales, medidos en grados en vez de en newtons:

$$\tan {\theta }_c={\mu }_e,\tan {\theta }_d={\mu }_d$$

Con nuestros coeficientes, 26,57° para que arranque y 16,70° para que se mantenga bajando. Y hay un detalle que conviene mirar dos veces: ninguno de los dos depende de la masa. En el ángulo crítico la condición de equilibrio es

$$mg\mathrm{sen}{\theta }_c={\mu }_{e}mg\cos {\theta }_c$$

y la masa se cancela de los dos lados. Un ropero y una moneda, sobre el mismo material, empiezan a deslizar exactamente en la misma inclinación. La intuición de que «lo pesado cuesta más de mover» es cierta en newtons y falsa en grados: el peso aumenta la fuerza que lo baja y la normal que lo frena en la misma proporción.

05 · En el parcial: el dato que sobra

Conviene saber cómo se evalúa esto, porque no es «¿sabés la diferencia?». En los enunciados aparecen, con frecuencia, los dos coeficientes cuando el problema sólo usa uno. En un ejercicio de movimiento circular vienen ${\mu }_e=0,80$ y ${\mu }_d=0,50$, y la solución anota al margen que el segundo es un distractor. En otro de dinámica pasa al revés.

O sea que la habilidad que se pone a prueba es decidir cuál de los dos pide la situación, y darse cuenta de que el número que sobra está puesto ahí para que lo uses sin pensar. La pregunta que lo resuelve es siempre la misma, y es la del paso 3: ¿esto desliza o no desliza? Un cuerpo que no desliza no tiene nada que ver con ${\mu }_d$, por más que el enunciado te lo haya dado.

Los dos errores gemelos, tal como se cobran: usar ${\mu }_e$ cuando el cuerpo ya desliza, y usar ${\mu }_d$ para decidir si arranca. El segundo es más grave porque da un umbral más bajo que el verdadero: te hace concluir que el sistema se mueve cuando en realidad se queda quieto, y a partir de ahí todo el problema está resuelto en el régimen equivocado.

Lo que queda de esta nota es una costumbre, no una fórmula: antes de escribir un rozamiento, decidir en qué régimen está el cuerpo, y aceptar que a veces esa decisión no sale de las fuerzas. El diagrama de cuerpo aislado muestra que la normal casi nunca vale $mg$ y que de ella cuelga todo lo demás; los sistemas acoplados, que el umbral de arranque decide si el conjunto entero se mueve o no. Las tres notas apuntan al mismo lugar: la parte difícil de la dinámica no es resolver el sistema de ecuaciones, es decidir cuál es.