El 4 y la raíz de 5, sin suma y sin cero

El enunciado, textual: «Sea

τ = ({un}, {P}, {Nat, Moi}, {(P, 2), (Nat, 1), (Moi, 2)})

Sea $A = (ℝ, i)$ , con $i (un) = 1$ , $i (P)$ = operación producto de $ℝ$ , $i (Nat) = ℕ$ y $i (Moi) = {(x, y) \in ℝ^{2} : x \leq y}$ . (a) Dé una fórmula $φ$ elemental pura de tipo $τ$ la cual tenga como su única variable libre a $x$ y la cual sea verdadera en $A$ cuando asignamos a $x$ el valor $r \in ℝ$ si y sólo si $r = 4$ . (b) Dé una fórmula $φ$ elemental pura de tipo $τ$ la cual tenga como su única variable libre a $z$ y la cual sea verdadera en $A$ cuando asignamos a $z$ el valor $r \in ℝ$ si y sólo si $r = \sqrt{5}$ ».

01 · Antes de resolver: con los términos sólo se llega al 1

El tipo trae una constante, $un$ ; una operación binaria, $P$ ; y dos relaciones, $Nat$ unaria y $Moi$ binaria. Los términos puros son $un$ , las variables y lo que se arma con $P$ . Un término sin variables, entonces, es algo como $P (un, P (un, un))$ , y vale $1 \cdot (1 \cdot 1) = 1$ . Todo término cerrado vale 1. No hay suma, no hay un símbolo para el $0$ , y el $2$ no se puede escribir.

Entonces el $4$ no se nombra: se describe. Hay que encontrar una propiedad que el $4$ cumpla y ningún otro real cumpla, y escribirla con $un$ , $P$ , $Nat$ , $Moi$ y el $=$ . Lo mismo con $\sqrt{5}$ . Usar $un$ está permitido: «pura» prohíbe los nombres de elementos fijos, no los símbolos del tipo.

Dos trampas en el enunciado. Una: $ℕ$ es, en esta materia, ${1,2, 3, \dots}$ ; el conjunto que empieza en $0$ se llama $ω$ . Otra: $z \cdot z = 5$ tiene dos soluciones reales, y el enunciado pide una sola.

02 · Las herramientas

La definición de verdad de la Guía 8, leída en esta estructura. Con una asignación de reales a las variables:

$un$ vale $1$ , y $P (t, s)$ vale el producto de los valores de $t$ y $s$ .
$Nat (t)$ es verdadera cuando el valor de $t$ es natural; $Moi (t, s)$ , cuando el valor de $t$ es menor o igual que el de $s$ ; $(t = s)$ , cuando son iguales.
$\forall w ψ$ y $\exists w ψ$ recorren todos los reales como valores de $w$ .

Y tres hechos de los números, que no son de ninguna guía: entre un natural $n$ y $n + 1$ no hay otro natural; el $1$ es natural; y $r \cdot r = 5$ si y sólo si $r = \sqrt{5}$ o $r = - \sqrt{5}$ .

03 · La mariposa: caminar por los naturales

De atrás para adelante. ¿Qué es el $4$ , si no se puede escribir? Con lo que hay, dos respuestas: es $2 \cdot 2$ , que usa el producto; o es el tercer natural después del $1$ , que usa el orden. Las dos llevan a la misma pregunta: ¿cómo se dice «el natural que sigue»?

Sin suma no hay «más uno», pero hay orden. El natural que sigue a $t$ es el menor de los naturales que están estrictamente arriba de $t$ : es natural, es mayor que $t$ , y queda debajo de todo natural mayor que $t$ . Eso se escribe:

\begin{array}{l} Sig (t, u) = Nat (u) \land Moi (t, u) \land u \neq t \land \\ \forall w ((Nat (w) \land Moi (t, w) \land w \neq t) \to Moi (u, w)) \end{array}

Con eso, el $2$ es el que sigue al $1$ : $Sig (un, y)$ . Y el $4$ es su cuadrado:

φ_{4} (x) = \exists y (Sig (un, y) \land x = P (y, y))

El otro camino, $Sig (un, v_{1}) \land Sig (v_{1}, v_{2}) \land Sig (v_{2}, v_{3}) \land x = v_{3}$ con las tres $v$ bajo un $\exists$ , también sirve: llega al $4$ de a un paso. Es más largo y no usa el producto; el producto ahorra un paso acá y se vuelve imprescindible en (b).

¿Y $\sqrt{5}$ ? Es un real cuyo cuadrado es $5$ , y el $5$ es el natural que sigue al $4$ . Lo que queda es el signo. Para decir «positivo» haría falta el $0$ , y no está. Pero no hace falta el $0$ : cualquier cosa que separe $\sqrt{5} \approx 2,24$ de $- \sqrt{5}$ sirve, y el $1$ las separa. Basta pedir $Moi (un, z)$ .

φ_{\sqrt{5}} (z) = Moi (un, z) \land \exists x (φ_{4} (x) \land Sig (x, P (z, z)))

El $5$ no aparece en ningún lado: aparece $P (z, z)$ , y la fórmula pide que sea el natural que sigue al $4$ . Un detalle de $Sig$ que vale la pena mirar: pide $Moi (un, w)$ y $w \neq un$ , «mayor que el $1$ », y no sólo $w \neq un$ , «distinto del $1$ ». Con la convención de la materia las dos dan el $2$ . Con un $ℕ$ que tuviera al $0$ , la segunda daría el $0$ , y la fórmula del $4$ pasaría a definir al $0$ . El widget lo muestra.

La muestra tiene los enteros del $- 3$ al $9$ , algunas fracciones y varias raíces, entre ellas $\sqrt{5}$ y $- \sqrt{5}$ ; cada real se guarda exacto, como $\pm \sqrt{q}$ con $q$ racional, así que $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$ da $5$ y no $5,000000000000001$ . Sobre esa muestra, $φ_{4}$ es verdadera sólo en el $4$ y $φ_{\sqrt{5}}$ sólo en $\sqrt{5}$ ; sin $Moi (un, z)$ , también en $- \sqrt{5}$ . Con $ℕ$ con el $0$ , el atajo pasa a ser verdadero sólo en el $0$ .

El interruptor del $2$ muestra el límite de la muestra. Sin el $2$ , el menor natural mayor que $1$ de la muestra es el $3$ , y $φ_{4}$ pasa a señalar al $9$ . La fórmula no cambió: cambió el universo que recorren sus cuantificadores. Y $φ_{\sqrt{5}}$ se vuelve verdadera en ocho reales, de $\sqrt{10}$ a $9$ : en la muestra no hay ningún natural mayor que $9$ , así que el $\forall$ de $Sig (x, P (z, z))$ se cumple sin nada que mirar, y cualquier natural mayor que $9$ pasa por «el que sigue». Por eso una muestra puede encontrar un error, pero no probar que una fórmula sirve en $ℝ$ . Eso lo hace el escarabajo.

04 · El escarabajo: las dos fórmulas y por qué funcionan

La abreviatura. Para términos $t$ y $u$ en los que no ocurre $w$ , $Sig (t, u)$ abrevia

\begin{array}{l} Nat (u) \land Moi (t, u) \land u \neq t \land \\ \forall w ((Nat (w) \land Moi (t, w) \land w \neq t) \to Moi (u, w)) \end{array}

Lectura de $Sig$ . Si el valor de $t$ es un natural $n$ , entonces $Sig (t, u)$ es verdadera si y sólo si el valor de $u$ es $n + 1$ .

Prueba. Sea $β$ el valor de $u$ . Si $β = n + 1$ : es natural, es mayor o igual que $n$ y distinto de $n$ , así que los tres primeros conjuntos valen; y para cualquier valor $γ$ de $w$ natural con $n \leq γ$ y $γ \neq n$ , como entre $n$ y $n + 1$ no hay naturales, $n + 1 \leq γ$ : vale el cuarto. Recíprocamente, si $Sig (t, u)$ es verdadera, $β$ es natural y mayor que $n$ , así que $n + 1 \leq β$ ; y tomando $w$ como $n + 1$ , que es natural, mayor o igual que $n$ y distinto de $n$ , el cuarto conjunto da $β \leq n + 1$ . Luego $β = n + 1$ . ∎

(a) La fórmula, escrita entera:

\begin{array}{l} \exists y (Nat (y) \land Moi (un, y) \land y \neq un \land \\ \forall w ((Nat (w) \land Moi (un, w) \land w \neq un) \to Moi (y, w)) \land x = P (y, y)) \end{array}

Es $\exists y (Sig (un, y) \land x = P (y, y))$ . Su única variable libre es $x$ : $y$ y $w$ están ligadas. Sea $r$ el valor de $x$ .

Si $r = 4$ , tomando $y$ como $2$ : por la lectura de $Sig$ con $t$ como $un$ , que vale $1$ , $Sig (un, y)$ es verdadera porque $2 = 1 + 1$ ; y $P (y, y)$ vale $2 \cdot 2 = 4 = r$ . La fórmula es verdadera.

Si la fórmula es verdadera, hay un valor $β$ de $y$ con $Sig (un, y)$ verdadera y $r = β \cdot β$ . Por la lectura de $Sig$ , $β = 1 + 1 = 2$ , y entonces $r = 4$ . ∎

(b) La fórmula, escrita entera:

\begin{array}{l} Moi (un, z) \land \exists x (\exists y (Nat (y) \land Moi (un, y) \land y \neq un \land \\ \forall w ((Nat (w) \land Moi (un, w) \land w \neq un) \to Moi (y, w)) \land x = P (y, y)) \land \\ Nat (P (z, z)) \land Moi (x, P (z, z)) \land P (z, z) \neq x \land \\ \forall u ((Nat (u) \land Moi (x, u) \land u \neq x) \to Moi (P (z, z), u))) \end{array}

Es $Moi (un, z) \land \exists x (φ_{4} (x) \land Sig (x, P (z, z)))$ , con $u$ como variable del $\forall$ de $Sig$ para no chocar con la $w$ de $φ_{4}$ . Su única variable libre es $z$ : $x$ , $y$ , $w$ y $u$ están ligadas. Sea $r$ el valor de $z$ .

Si $r = \sqrt{5}$ : como $1 \cdot 1 = 1 < 5$ y los dos son positivos, $1 \leq \sqrt{5}$ , y vale $Moi (un, z)$ . Tomando $x$ como $4$ , $φ_{4} (x)$ es verdadera por (a); y $P (z, z)$ vale $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 = 4 + 1$ , así que $Sig (x, P (z, z))$ es verdadera por la lectura de $Sig$ con $n = 4$ . La fórmula es verdadera.

Si la fórmula es verdadera: por el primer conjunto, $1 \leq r$ . Por el segundo hay un valor $α$ de $x$ con $φ_{4} (x)$ verdadera, y por (a) $α = 4$ ; con ese valor, $Sig (x, P (z, z))$ es verdadera y la lectura de $Sig$ da $r \cdot r = 5$ . Entonces $r = \sqrt{5}$ o $r = - \sqrt{5}$ , y como $- \sqrt{5} < 0 < 1 \leq r$ , queda $r = \sqrt{5}$ . ∎

05 · Lo que se lleva a otros ejercicios

Definir no es nombrar. $\sqrt{5}$ es irracional y ningún término de $τ$ lo vale, pero es el único real que cumple cierta condición escrita con los símbolos que hay. Ésa es la jugada de todo el bloque: cuando no se puede escribir el elemento, se escribe algo que sólo él cumple. Es lo mismo que en el Ejercicio 20, con un universo infinito.

El sucesor con orden. «El menor de los que están estrictamente arriba» es la forma de decir «el siguiente» en cualquier tipo que tenga un orden y un conjunto bien ordenado adentro. Y una fórmula ya escrita se reusa como pieza: $φ_{4}$ entra entera en $φ_{\sqrt{5}}$ .

Lo que hace perder puntos. Escribir $4$ , $2$ , $5$ o $0$ como si fueran términos: no lo son. Escribir una suma, que el tipo no tiene. Olvidarse la cota y dejar $P (z, z)$ igual al $5$ solo, que es verdadera también en $- \sqrt{5}$ . Dejar $x$ libre en (b), donde la única libre tiene que ser $z$ . Usar la misma variable para dos cuantificadores anidados que tienen que ser independientes. Y la regla de la cátedra: si se usa un resultado de alguna guía, hay que enunciarlo y probarlo; acá sólo se usan la definición de verdad y hechos de los números, y la lectura de $Sig$ está probada aparte.

Para tener a mano

Todo término cerrado de este tipo vale $1$ : el $4$ y $\sqrt{5}$ se describen, no se escriben.
«El siguiente natural» es el menor natural estrictamente arriba: $Sig (t, u)$ .
$2$ es $Sig (un, y)$ , $4$ es su cuadrado, $5$ es el que sigue al $4$ .
$z \cdot z = 5$ tiene dos raíces; sin $0$ en el lenguaje, $Moi (un, z)$ elige la positiva.
Pedir «mayor que $un$ » y no sólo «distinto de $un$ » deja la fórmula a salvo de la convención sobre el $0$ .
Una muestra encuentra errores; el «si y sólo si» en $ℝ$ se prueba.