Bitácora · Lógica

Lógica

Computabilidad y Lógica, Licenciatura en Ciencias de la Computación. Órdenes, reticulados y el lenguaje elemental.

Los diagramas van con el mayor arriba, y una línea entre dos nodos es una relación de cobertura, no una comparación cualquiera.

Relaciones y órdenes

Ensayo 1 Cambiar de representante guía 1 — Una ecuación define una función en el cociente sólo si la respuesta no cambia al elegir otro representante.
Ensayo 2 Un homomorfismo no refleja el orden guías 2 y 4 — Preservar el orden hacia adelante no dice nada de lo que pasa hacia atrás.
Ensayo 3 Producir la prueba guía 3 — Las tres reglas no sirven para entender el lema: sirven para partir la meta hasta que cada pedazo sea un axioma.

Reticulados

Ensayo 4 Complementar es elegir guía 5 — El 0, el 1 y el complemento no se leen del dibujo: los trae la estructura.
Ensayo 5 Cuando las siete identidades se cumplen, aparece un orden guía 4 — El orden y las ecuaciones son dos lecturas del mismo objeto, y Dedekind dice que cada una determina a la otra.
Ensayo 6 El colapso en cascada guía 4 — En un diamante no hay términos medios: juntar dos elementos cualesquiera arrastra a todos los demás.
Ensayo 7 Un subuniverso no es una subestructura guía 5 — El mismo conjunto es subuniverso de una estructura y no de la de al lado: lo que cambia no es el conjunto, es qué le pide el tipo.
Ensayo 8 Cada capa le pide más al homomorfismo guía 5 — La misma función es homomorfismo de ternas, deja de serlo de acotados, o lo es de acotados y no de complementados.

El lenguaje elemental

Ensayo 9 Un término es una palabra, no un valor guía 6 — Un término es una PALABRA. `(x i y)` e `(y i x)` son distintas y valen siempre lo mismo: la palabra no se mueve cuando cambiás de estructura, el valor sí.
Ensayo 10 Decilo con una fórmula guías 6 y 7 — Una fórmula no es verdadera ni falsa: lo es en una estructura, con una asignación. Escribir la que «dice» una propiedad es acertarle a una columna de verdades.
Ensayo 11 El triángulo no es el problema guía 7 — Un 3-ciclo impide el bicoloreo, y el ejercicio termina ahí. Pero el pentágono tampoco se pinta, y no tiene ningún triángulo.
Ensayo 12 Las tres reglas eran axiomas guía 6 — Las tres reglas que usaste a mano en la Guía 3 eran tres de los siete axiomas. Una regla es un movimiento permitido; un axioma, una oración que podés citar.
Ensayo 13 La misma prueba, y depende del tipo guías 7 y 8 — La misma sentencia, el mismo texto de prueba, y deja de ser una prueba al cambiar el tipo: los axiomas de terna y los de cuaterna son conjuntos disjuntos.
Ensayo 14 Dos pruebas elementales, y qué axioma hace la fuerza guía 7 — La primera cita un solo axioma tres veces y nada más; la segunda, dos axiomas, una vez cada uno.
Ensayo 15 Maximal no es máximo, salvo que todo par tenga cota guía 7 — Una prueba elemental que no cita ningún axioma de poset, con el paseo intuitivo al lado: elegís el poset y el testigo aparece, o el paseo se corta.
Ensayo 16 La mariposa y el escarabajo guías 6 a 8 — El método de la cátedra y el formato de la prueba, con el paso que parece legal y hace fallar el Teorema de Corrección.
Ensayo 17 Dos puntos distintos no pueden mirarse los dos guía 7 — De los tres axiomas de poset la prueba cita uno solo, y sobre las 512 relaciones de tres elementos la sentencia falla en exactamente una.
Ensayo 18 Un color obliga al de al lado guía 7 — El bicoloreo ofrece dos alternativas y saber un vértice tacha una. Es el lema que usa la prueba del triángulo.
Ensayo 19 Si no sale ninguna flecha, entra una guía 8 — El axioma y la tesis son la misma sentencia: las nueve líneas reescriben una disyunción como implicación sin tener la equivalencia.
Ensayo 20 El testigo lo construís vos guía 8 — Probar que algo existe sin salir a buscarlo: el testigo se escribe con lo que ya había, y la prueba entera son cuatro líneas.
Ensayo 21 Una distributiva te da la otra guía 7 — Parecen dos propiedades y son una sola. Ocho pasos de absorción y conmutatividad, sin un solo cuantificador en el medio.
Ensayo 22 Un corte equivocado rompe las dos piezas guía 9 — De las 103 482 maneras de cortar por una coma los términos de reticulado terna de hasta 30 símbolos, una por término deja dos términos, y ninguna deja uno solo. Por eso alcanza con saber que una pieza es término.
Ensayo 23 El primer símbolo ya dice qué forma tiene guía 9 — ¬, ∀, ∃, un nombre de relación o un paréntesis: el primer símbolo de una fórmula decide cómo se lee el resto, y por eso decidir si una palabra es fórmula es un procedimiento.

Lista del parcial 2

Ejercicio 1 La hipótesis elige el puente guía 6 — Ejercicio 1 de la lista del parcial 2: si x ≤ z e y ≤ w, entonces x s y ≤ z s w. La hipótesis es la que dice por qué intermedio pasar con A≤T, y la prueba elemental escrita entera.
Ejercicio 2 La distributiva que vale en todo reticulado guía 6 — Ejercicio 2 de la lista del parcial 2: x s (y i z) ≤ (x s y) i (x s z). Por qué es ≤ y no =, cómo se piensa de atrás para adelante, y la prueba elemental escrita entera.
Ejercicio 3 Cada dirección tiene su axioma guía 6 — Ejercicio 3 de la lista del parcial 2: x ≤ y ↔ x i y = x. Un bicondicional son dos pruebas: la vuelta la hace AiesC sola; la ida pide Ai≥C, la hipótesis y A≤A. Las dos escritas enteras.
Ejercicio 4 En un reticulado, maximal ya es máximo guía 6 — Ejercicio 4 de la lista del parcial 2: leer ∀x(¬∃z(x≤z∧¬(z=x))→∀z(z≤x)) como «todo maximal es máximo», ver por qué el supremo lo hace verdadero y escribir la prueba elemental con un solo axioma.
Ejercicio 5 Minimal es mínimo: el dual, escrito entero guía 6 — Ejercicio 5 de la lista del parcial 2: ∀x(¬∃z(z≤x∧¬(z=x))→∀z(x≤z)) es el Ejercicio 4 dado vuelta. Cómo se obtiene la prueba dualizando línea por línea, y por qué igual hay que escribirla entera.
Ejercicio 6 El cuantificador de tapar se queda adentro guía 6 — Ejercicio 6 de la lista del parcial 2: «y tapa a x» se escribe con un ∀z que vive dentro del antecedente; sacado al frente, la sentencia falla. La traducción medida en los 25 reticulados de hasta seis elementos y la prueba elemental entera, sin citar la monotonía.
Ejercicio 7 Distributivo, sin s ni i guía 7 — Ejercicio 7 de la lista del parcial 2: una sentencia pura de posets verdadera exactamente en los reticulados distributivos. Sin operaciones en el lenguaje, cada supremo y cada ínfimo se nombra con una variable, y un ∀ sobre nombres que no existen pasa en vacío.
Ejercicio 8 Lo que sólo tiene el 14 guía 7 — Ejercicio 8 de la lista del parcial 2: una fórmula pura de posets, con x libre, verdadera en ({1,2,3,9,10,14,20}, |) sólo cuando x vale 14. Ser maximal deja tres candidatos; lo que separa al 14 es que no tiene nada propio debajo.
Ejercicio 9 Cinco elementos con dos variables guía 7 — Ejercicio 9 de la lista del parcial 2: una sentencia pura de reticulados acotados que dice «({1,3,5,15,30}, mcm, mcd, 1, 30) es isomorfo a un subreticulado acotado». El 0 y el 1 ya tienen nombre, el 15 es x s y, y de las diez distinciones sólo una hay que pedirla.
Ejercicio 10 El tercero no puede ser el primero guía 7 — Ejercicio 10 de la lista del parcial 2: si todo elemento tiene otro distinto arriba, hay al menos tres. Testigos encadenados, por qué el tercero no puede ser el primero, y la prueba elemental de posets escrita entera.
Ejercicio 11 Alcanza con una cota, no hace falta el supremo guía 7 — Ejercicio 11 de la lista del parcial 2: en un poset donde todo par tiene una cota superior, todo maximal es máximo. Es la prueba del Ejercicio 4 sin el supremo: la cota la da la hipótesis, y se la elige.
Ejercicio 12 La dual se escribe entera guía 7 — Ejercicio 12 de la lista del parcial 2: (Dis2 → Dis1) en reticulados terna. Es la cadena de la otra dirección con cada supremo cambiado por un ínfimo, y aun así se escribe línea por línea: «por dualidad» no es un paso.
Ejercicio 13 Dos complementos de lo mismo son uno solo guía 5 y 7 — Ejercicio 13 de la lista del parcial 2: en un reticulado acotado distributivo, cada elemento tiene a lo sumo un complemento. La idea es escribir el 1 con el otro complemento; la distributiva entra en un solo paso, y en el diamante M3 ése es el paso que se rompe.
Ejercicio 14 Todo complemento es el que eligió c guía 7 — Ejercicio 14 de la lista del parcial 2: con Dis1, cualquier complemento de x es c(x). Dos cuentas que se cruzan, dónde entra la distributividad, cómo se respeta la regla de citar el Ejercicio 13, y la prueba elemental entera.
Ejercicio 15 De Morgan sale por unicidad guía 7 — Ejercicio 15 de la lista del parcial 2: con Dis1, c(x i y) = c(x) s c(y). No se calcula ningún complemento: se muestra que c(x) s c(y) es complemento de x i y y se cierra con la unicidad que la consigna autoriza. Cómo se usan esos teoremas, y dónde falla sin distributividad.
Ejercicio 16 Los demás quedan del mismo color guía 7 — Ejercicio 16 de la lista del parcial 2: si un vértice toca a todos, los demás no se tocan entre sí. La prueba elemental de grafos bicoloreados, con un solo axioma, y el triángulo que muestra que no puede haber una prueba elemental de grafos.
Ejercicio 17 Ninguna estructura es un poset guía 8 — Ejercicio 17 de la lista del parcial 2: las 2^81 estructuras del tipo de los posets sobre {1,…,9}, por qué ninguna es un poset, y la biyección que arma y desarma la interpretación. Con el Lema 1 de la Guía 8 enunciado y probado.
Ejercicio 18 Una relación unaria es un subconjunto guía 8 — Ejercicio 18 de la lista del parcial 2: en el tipo de los grafos bicoloreados, R es unaria y aporta 2^9, no 2^81, así que hay 2^90 estructuras sobre {1,…,9}. Cuáles son esencialmente grafos bicoloreados, cuántas son, y la biyección.
Ejercicio 19 Contar operaciones cambia la base guía 8 — Ejercicio 19 de la lista del parcial 2: en el tipo de los reticulados terna, s e i son nombres de función, así que cada uno aporta 9^81 y no 2^81: hay 9^162 estructuras sobre {1,…,9}. Cuáles son esencialmente reticulados terna y la biyección.
Ejercicio 20 Al 3 lo delata el 6 guía 8 — Ejercicio 20 de la lista del parcial 2: cinco fórmulas que señalan cada elemento de ({1,3,5,6,30}, divide). El 3 y el 5 parecen gemelos en el dibujo, pero el 6 está arriba de uno solo, y eso alcanza para separarlos.
Ejercicio 21 El 4 y la raíz de 5, sin suma y sin cero guía 8 — Ejercicio 21 de la lista del parcial 2: en (ℝ, 1, producto, ℕ, ≤) todo término cerrado vale 1, así que el 4 y √5 no se escriben: se describen. El 2 es el natural que sigue al 1, el 4 su cuadrado, el 5 el natural que sigue al 4, y la raíz positiva se elige con el 1.
Ejercicio 22 Lo que se deshace no junta a dos guía 8 — Ejercicio 22 de la lista del parcial 2: si Op aplicada dos veces vuelve al punto de partida, Op es inyectiva y sobreyectiva. La mariposa de la inyectividad, las dos pruebas elementales escritas enteras y la versión formal.
Ejercicio 23 La simetría cubre el casillero que falta guía 8 — Ejercicio 23 de la lista del parcial 2: dos axiomas que miran cada uno una coordenada dejan un casillero sin cubrir, y la conmutatividad lo da vuelta. La división por casos, la prueba elemental entera y la versión formal.
Ejercicio 24 El átomo no se parte en un supremo guía 8 — Ejercicio 24 de la lista del parcial 2: los modelos son reticulados con mínimo y un átomo señalado, y la prueba elemental de que ato no es supremo de dos más chicos usa uno solo de los tres axiomas nuevos.
Ejercicio 25 Con un átomo debajo de todo, sólo 0 y 1 tienen complemento guía 8 — Ejercicio 25 de la lista del parcial 2: los modelos son un reticulado acotado cualquiera con un cero nuevo pegado abajo, y como dos elementos no nulos se cruzan siempre en mono, nadie más que 0 y 1 tiene complemento.

Guía 9

Ejercicios 1 y 2 Antes de decidir, preguntá qué clase de objeto es guía 9 — Los VoFoI de variables y términos: casi todos se deciden por la categoría de cada lado. Una infinitupla no es un conjunto, una palabra no es un número, y Dom(t) no denota.
Ejercicios 3 a 8 Para probar que no es término, contá o leé de afuera guía 9 — Tres inducciones con el mismo molde, dos resultados que salen del menú sin inducción, y cinco palabras que no son términos: dos se delatan contando, tres leyéndolas de afuera.
Ejercicios 10 a 12 Se compara por el lado de lo que ya se sabe guía 9 — La cancelación de términos, el Ejercicio 11 comparando por atrás porque el término conocido está atrás, y las partes del lema de ocurrencias que la guía deja para completar.
Ejercicios 13 a 15 Contar paréntesis no alcanza guía 9 — Una palabra con seis paréntesis de cada lado que no es fórmula: la delata la coma seguida de un ∀. Y las cinco propiedades del Ejercicio 14, todas por inducción.
Ejercicios 16 a 20 Una fórmula puede ser el final de otra, nunca el principio guía 9 — Por adelante, la lectura única sale en una línea; por atrás, hace falta saber qué puede sobrar, y sólo pueden sobrar negaciones y cuantificadores.
Ejercicio 21 Libre o acotada no agota los casos guía 9 — Los tres ítems son falsos y cada uno cae con un contraejemplo de una línea: una variable puede no ocurrir donde se mira.

Lista del parcial 3

Ejercicio 1 El reemplazo entra por un solo argumento guía 9 — Ejercicio 1 de la lista del parcial 3: si r, s, t ∈ Tτ, reemplazar una ocurrencia de s en t por r da un término. Inducción en el nivel de t: la ocurrencia es t entera o vive adentro de un único argumento.
Ejercicio 2 El menú ya dice el primer símbolo guía 9 — Ejercicio 2 de la lista del parcial 3: el primer símbolo de una fórmula es (, ¬, ∀, ∃ o el primero de un nombre de relación. Sale del menú de fórmulas, sin inducción.
Ejercicio 3 La coma delata un argumento guía 9 — Ejercicio 3 de la lista del parcial 3: reemplazar algunas ocurrencias de ,X1 por ,X2 en un término da un término. Después de una coma de afuera empieza un argumento, y un argumento que empieza con X es una variable entera.
Ejercicio 4 Los cuantificadores se dan vuelta sin romper la fórmula guía 9 — Ejercicio 4 de la lista del parcial 3: reemplazar cada ∀X1∃ por ∃X1∀ da una fórmula. La palabra sólo aparece como el comienzo de ∀x1∃wψ, y la inducción se aplica dos pisos más abajo.
Ejercicio 5 Renombrar por una variable que no estaba guía 10 — Ejercicio 5 de la lista del parcial 3: cambiar x_i por una x_l que no ocurre en t, y darle a x_l el valor que tenía x_i, no cambia el valor del término. Inducción en el nivel, con la asignación cuantificada adentro.
Ejercicio 6 Si P no hace nada, sacarlo no cambia el valor guía 10 — Ejercicio 6 de la lista del parcial 3: sacar algunas P(x1) da un término (a) y, si P se interpreta como la identidad, el mismo valor (b). Las dos inducciones, con su Enu_k.
Ejercicio 7 Lo que vale lo mismo se puede cambiar guía 10 — Ejercicio 7 de la lista del parcial 3: si s1 y s2 valen lo mismo en a, reemplazar ocurrencias de s1 por s2 no cambia el valor de t. Es la herramienta que después usa el Ejercicio 13.
Ejercicio 8 Dos nombres para la misma función guía 10 — Ejercicio 8 de la lista del parcial 3: cambiar F1 por F2 en un término da un término (a), y el mismo valor si las dos se interpretan igual (b).
Ejercicio 9 Reemplazar por una equivalente da una equivalente guía 10 — Ejercicio 9 de la lista del parcial 3: el Lema 5 de la Guía 10 con todos los casos escritos. Necesita el Lema 4(b), que la guía deja al lector: se enuncia y se prueba.
Ejercicio 10 La implicación que rompe la intuición guía 10 — Ejercicio 10 de la lista del parcial 3: (((P1(c)∧P2(c))→R(c))→((P1(c)→R(c))∨(P2(c)→R(c)))) es universalmente válida. Por el absurdo: si fallara, c cumpliría P1 y P2 sin cumplir R.
Ejercicio 11 Un ∀ es una conjunción larga guía 10 — Ejercicio 11 de la lista del parcial 3: ((∀x1P1(x1)→P2(c))→∃x1(P1(x1)→P2(c))) es universalmente válida. Por el absurdo, y por qué es el mismo fenómeno que el Ejercicio 10.
Ejercicio 12 Equivalentes en una sola estructura alcanza guía 10 — Ejercicio 12 de la lista del parcial 3: si φ1 y φ2 dicen lo mismo en A, reemplazar una ocurrencia no cambia la verdad en A. El Enu_k cuantifica la asignación adentro por el caso del cuantificador.
Ejercicio 13 El término que cambia vive en una atómica guía 10 — Ejercicio 13 de la lista del parcial 3: reemplazar una ocurrencia no contigua de t por s, con tᴬ = sᴬ, no cambia la verdad. La ocurrencia no puede ser la variable de un cuantificador, así que cae adentro de una atómica, donde trabaja el Ejercicio 7.
Ejercicio 14 ∀ es ¬∃¬ guía 10 — Ejercicio 14 de la lista del parcial 3: reemplazar cada ∀x1 por ¬∃x1¬ da una fórmula equivalente. Inducción en el nivel, con el Lema 4(b) enunciado y probado.
Ejercicio 15 Dos ∀ seguidos conmutan guía 10 — Ejercicio 15 de la lista del parcial 3: reemplazar cada ∀x1∀x2∃ por ∀x2∀x1∃ da una fórmula equivalente. Cambiar dos lugares distintos de la asignación da lo mismo en cualquier orden.
Ejercicio 16 Sin relaciones, biyectivo alcanza guía 10 — Ejercicio 16 de la lista del parcial 3: si R = ∅, un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo: la inversa conserva constantes y operaciones. Con relaciones, falla.
Ejercicio 17 Sobre y sin negación, la verdad viaja de A a B guía 10 — Ejercicio 17 de la lista del parcial 3: un homomorfismo sobre lleva la verdad de A a B en las fórmulas sin ¬, → ni ↔. Inducción en el nivel, sin notación declaratoria: el ∀ es el único caso que pide sobre.
Ejercicio 18 El 5 y el 7 no se distinguen guía 11 — Ejercicio 18 de la lista del parcial 3: con la divisibilidad estricta y iz = 2, el único isomorfismo que mueve algo cambia 5 con 7, así que esos dos no son definibles; 2, 70, 140 y 280 sí, con su fórmula.
Ejercicio 19 Con la divisibilidad, todos tienen nombre guía 11 — Ejercicio 19 de la lista del parcial 3: en {1, 3, 5, 6, 30} con «divide a», cada elemento se define por su lugar en el orden: los extremos, las cadenas que tiene arriba y abajo, y con quién no se compara.
Ejercicio 20 f y g no son intercambiables guía 11 — Ejercicio 20 de la lista del parcial 3: el diagrama parece simétrico pero cambiar 2 con 3 no es un isomorfismo, porque f y g no se pueden cambiar entre sí. Los cuatro elementos son definibles.
Ejercicio 21 Dos variables, cuatro valores guía 11 — Ejercicio 21 de la lista del parcial 3: un término de reticulado en dos variables vale a, b, a s b o a i b. Inducción en notación declaratoria: los cuatro valores son cerrados por s e i.
Ejercicio 22 En una cadena, el término elige un argumento guía 11 — Ejercicio 22 de la lista del parcial 3: si el orden es total, s e i son máximo y mínimo, y un término en tres variables vale una de ellas.
Ejercicio 23 Un subuniverso es cerrado por términos guía 11 — Ejercicio 23 de la lista del parcial 3: si los argumentos están en S, el valor del término también. Las constantes 0 y 1 son el caso base que no hay que olvidar.
Ejercicio 24 Los términos de reticulado son monótonos guía 11 — Ejercicio 24 de la lista del parcial 3: si a1 ≤ b1 y a2 ≤ b2, entonces t[a1, a2] ≤ t[b1, b2]. El paso inductivo es la monotonía de s e i.
Ejercicio 25 El cero absorbe todo el término guía 11 — Ejercicio 25 de la lista del parcial 3: si fu(x, cero) = fu(cero, x) = cero y v1 ocurre en t, entonces t vale cero cuando v1 vale cero. La hipótesis «v1 ocurre» entra en el Enu_k.
Ejercicio 26 Dos nombres para la misma relación guía 11 — Ejercicio 26 de la lista del parcial 3: cambiar R1 por R2 en una fórmula no cambia su verdad si las dos se interpretan igual. Inducción en notación declaratoria, con los cuantificadores del Lema 6.
Ejercicio 27 Lo que los dos tipos comparten dice lo mismo guía 11 — Ejercicio 27 de la lista del parcial 3: dos modelos que coinciden en un, do, + y Her dan el mismo valor a los términos y la misma verdad a las fórmulas de τ∩.
Ejercicio 28 Un homomorfismo conmuta con los términos guía 11 — Ejercicio 28 de la lista del parcial 3: F(tᴬ[a1,…,an]) = tᴮ[F(a1),…,F(an)]: el Lema 6 de la Guía 10, rehecho en notación declaratoria con el Lema 3 de la Guía 11.
Ejercicio 29 Un isomorfismo no cambia ninguna verdad guía 11 — Ejercicio 29 de la lista del parcial 3: A ⊨ φ[a1,…,an] sii B ⊨ φ[F(a1),…,F(an)]: el Lema 7 de la Guía 10 en notación declaratoria, con el Ejercicio 28 para las atómicas.
Ejercicio 30 Dónde se rompe el transporte de la verdad guía 11 — Ejercicio 30 de la lista del parcial 3: el Ejercicio 17 en notación declaratoria, y los dos contraejemplos medidos: sin sobre falla el ∀, con sobre pero con ¬ falla la negación.

Conceptos

Concepto Cubrir y tapar guía 2 — Cubrir es estar inmediatamente arriba; tapar es estar debajo de todo lo que está arriba. Tapar implica cubrir, al revés no, y en un poset finito tapar es ser el único que cubre.
Concepto La prueba elemental guías 6 a 8 — Una prueba que parte de una estructura de la que sólo se saben los axiomas, avanza en pasos obvios y escribe todo con sentencias elementales, y por eso vale en toda estructura del tipo. El esqueleto, los errores que la invalidan y la versión con justificaciones.
Concepto Reticulado par, terna y cuaterna guías 3 a 6 — Tres definiciones del mismo objeto: un orden con supremos e ínfimos, dos operaciones con siete identidades, o las dos cosas a la vez con siete axiomas. Cómo se pasa de una a otra, por qué es lo mismo, y qué cambia al escribir una prueba elemental.
Concepto Fórmulas y sentencias elementales guías 7 y 8 — El tipo τ = (C, F, R, a) dice qué símbolos hay; una estructura los interpreta; términos y fórmulas son palabras hechas con ellos, y una fórmula es verdadera o falsa en una estructura con una asignación a sus variables libres. Cómo se lee y cómo se traduce.
Concepto Teorías elementales y sus modelos guía 8 — Una teoría es un tipo y un conjunto de sentencias; un modelo, una estructura donde valen todas. Lo que se prueba vale en todo modelo, y por eso un solo modelo donde algo falla demuestra que no hay prueba.
Concepto El complemento guías 5 y 7 — Un complemento de x es un u con x s u = 1 y x i u = 0. Puede no haber ninguno o haber varios; en un reticulado distributivo hay a lo sumo uno, y por eso en un álgebra de Boole la operación c queda bien definida y valen las leyes de De Morgan.
Concepto Variables y términos de tipo τ guía 9 — Las variables son palabras concretas, X con sus numerales, y los términos se arman por niveles: T₀ son las variables y las constantes, y cada nivel aplica una función a términos del anterior.
Concepto Inducción en la construcción guía 9 — Para probar algo de todos los términos o todas las fórmulas se prueba nivel por nivel: el molde Enuₖ, el menú que dice de qué forma es cada uno, y cuándo no hace falta inducción.
Concepto Probar que una palabra no es término ni fórmula guía 9 — Dos estrategias: encontrar una propiedad que todo término cumple y la palabra no, o suponer que lo es y leerla de afuera hasta el absurdo.
Concepto Mordisqueo y lectura única de términos guía 9 — Un término nunca es tramo inicial ni final propio de otro, y de ahí sale que cada término se descompone de una sola manera. Es lo que permite definir funciones sobre términos por recursión.
Concepto Fórmulas de tipo τ y su lectura única guía 9 — Las cinco formas de una fórmula, cómo el primer símbolo las separa, y por qué una fórmula sí puede ser tramo final de otra pero nunca tramo inicial.
Concepto Ocurrencias y reemplazos guía 9 — Ocurrir a partir de una posición, ocurrencias disjuntas o una dentro de otra, y por qué reemplazar un subtérmino o una subfórmula por otro da otra vez un término o una fórmula.
Concepto Variables libres guía 9 — Una ocurrencia es libre o acotada según su posición, por una definición recursiva; Li(φ) junta las variables con alguna ocurrencia libre, y una sentencia es una fórmula sin ninguna.
Concepto El valor de un término en una estructura guía 10 — Asignaciones como infinituplas, tᴬ[a⃗] por recursión, ↓ᵢᵃ(a⃗), y el Lema 1: el valor sólo depende de las variables que ocurren.
Concepto La relación ⊨ y la validez universal guía 10 — Las nueve cláusulas de A ⊨ φ[a⃗], el Lema 2, sentencias verdaderas en A, universalmente válidas, y cómo se prueba por el absurdo.
Concepto Fórmulas equivalentes y reemplazo guía 10 — Φ ∼ ψ, el Lema 4 y el Lema 5: reemplazar una subfórmula por una equivalente da una equivalente.
Concepto Homomorfismos e isomorfismos de estructuras guía 10 — Las tres condiciones, el isomorfismo con su inversa, el Lema 6 (conmuta con los términos) y el Lema 7 (un isomorfismo no cambia la verdad).
Concepto La notación declaratoria guía 11 — T =d t(v1,…,vn) y φ =d φ(v1,…,vn), las seis convenciones, los lemas de lectura única y carácter recursivo, y cómo se escribe una inducción en esta notación.
Concepto Elementos definibles guía 11 — Qué es que φ defina a un elemento, cómo se arma la fórmula por lo que lo distingue, y el criterio NoDefinible con isomorfismos de A en A.

Las guías, las resoluciones y los resúmenes teóricos viven en el repo de la materia, no acá. Estas notas son para cuando el tema no cierra, no para consultar la definición.