Guía 4, Ejercicios 1 a 6
Hasta acá un reticulado fue un orden: un conjunto, una relación, y las operaciones s e i definidas como supremo e ínfimo de ese orden. La Guía 4 propone olvidarse del orden por un rato y quedarse con dos operaciones binarias cualesquiera sobre un conjunto — una terna (L, s, i), sin ningún ≤ a la vista.
De todas las propiedades que esas dos operaciones podrían tener, la guía distingue siete. Son las de abajo, y ninguna menciona el orden.
El teorema de Dedekind dice que esas siete alcanzan para recuperar el orden entero: si se cumplen, la relación x ≤ y sii x s y = y es un orden parcial, y s e i son su supremo y su ínfimo. Las dos miradas son la misma.
Lo que el teorema no dice —y es lo que vale la pena averiguar moviendo algo— es qué hace cada una de las siete. No son siete requisitos intercambiables: unas construyen el orden y otras hacen otra cosa. Abajo lo ves.
El widget arranca en la cadena, donde las siete se cumplen y el diagrama está dibujado. Rompelo: cambiá una celda de cualquiera de las dos tablas y mirá qué identidad se cae, y hasta dónde llega lo que queda.
Volvé al preset la cadena y probá esto antes de seguir leyendo: cambiá una celda de la tabla de i, la de abajo, y mirá el diagrama. Volvé al preset y cambiá una de s. Hacelo unas cuantas veces, con celdas distintas.
Lo que pasa es que el diagrama sobrevive a los cambios de i y no sobrevive a ninguno de s. Y no es un puñado de casos afortunados: dieciséis celdas por los tres valores que no tienen son cuarenta y ocho cambios posibles en cada tabla, y la partición es perfecta — cuarenta y ocho a cero de un lado, cero a cuarenta y ocho del otro.
Esa partición limpia es el asunto de la nota: el orden lo hace s sola. Con que s sea idempotente, conmutativa (I2) y asociativa (I4) ya alcanza para que x s y = y sea un orden parcial y para que s sea su supremo. La tabla de i no tiene voto: puede decir cualquier disparate y el dibujo ni se entera.
Entonces I3, I5, I6 e I7 no construyen el orden — ése ya está. Su trabajo es otro y cuesta más verlo: hacer que i sea el ínfimo de ese mismo orden, el que definió s. Por eso existe una etapa entera donde el diagrama está dibujado, se ve impecable, y la terna igual está rota — es la que encontraste tocando i.
¿Y I1? Acá la respuesta depende de qué más tengas a mano, y por eso es la más interesante de las siete. Mirando sólo la tabla de s, su idempotencia es imprescindible: sin ella x s y = y ni siquiera es reflexiva y no hay orden que valga. Pero teniendo las otras seis, I1 sobra: sus dos mitades salen de las absorciones — por I6, x s (x i x) = x; sustituyendo eso adentro de I7, x i x = x i (x s (x i x)) = x. Es decir que I6 e I7, que no construyen el orden, alcanzan igual para reponer el ingrediente con el que se construye. La guía la lista aparte y hace bien: se usa a cada paso y nadie quiere derivarla cada vez.
El preset máx y mcd es esa etapa, y es el ejemplo E3 de la guía. No es una rareza construida a propósito: cargá los tres primeros presets seguidos y compará las tablas. Su s es idéntica a la de la cadena, y su i es idéntica a la del diamante. Es el supremo de un reticulado pegado al ínfimo de otro — dos mitades impecables, cada una de su propio orden.
Ésa es la forma concreta de «las dos operaciones hablan de órdenes distintos», y es exactamente lo que las siete identidades existen para prohibir. El teorema de Dedekind no pide que s e i sean buenas por separado: pide que sean el supremo y el ínfimo del mismo orden. I7 es la que se da cuenta.
Todo lo de arriba empezó con dos tablas y preguntó qué orden salía de ellas. Ahora al revés: primero el orden, y s e i definidas como el supremo y el ínfimo de ese orden — que es la definición vieja de reticulado, la que la Guía 4 propone olvidar. La pregunta simétrica es cuántas de las siete se cumplen ahora.
Abajo el orden lo armás vos: tocás un nodo y después otro, y la arista entre los dos aparece o desaparece. El primero queda abajo. Las tablas no se tocan — las llena el orden, celda por celda. Arranca roto: falta una arista. Ponela, después ensuciá el orden todo lo que quieras, y mirá el contador de identidades.
El contador no muestra nunca un número entre uno y seis. O se cumplen las siete, o no hay tablas que mirar. Y no es suerte: acá s e i salen del orden, así que las siete identidades son propiedades del supremo y del ínfimo, y se demuestran desde la definición. Mover una arista cambia las tablas, y las tablas nuevas vuelven a cumplirlas.
Lo único que se rompe es otra cosa: que todo par tenga supremo e ínfimo. Y cuando eso falla, lo que falta no es una identidad — es una celda. El hueco de la tabla no dice «acá da algo distinto»: dice que no hay nada que escribir. Ésta es la dirección gratis del teorema. La otra, la de las dos tablas sueltas del principio, es el teorema de verdad: ahí no hay ningún orden de dónde sacar nada, y las siete tienen que construirlo.
¿Y por qué cuatro elementos y no tres? Porque sobre tres no hay nada que mirar: las únicas ternas posibles son seis, y las seis son cadenas — los seis modos de poner tres elementos en fila. Sobre cuatro hay treinta y seis. Veinticuatro siguen siendo cadenas, y las doce que quedan son todas el mismo dibujo, uno que no existía: el diamante. Cuatro es el primer tamaño donde un reticulado puede no ser una fila, y ese diamante es el objeto de la nota que sigue.
Sirve para los ejercicios 1 a 6 de la Guía 4. Las resoluciones están en parcial-1/soluciones/practico-4-reticulados-terna.pdf del repo de Lógica.