Una ecuación define una función en el cociente sólo si la respuesta no cambia al elegir otro representante.
Cuando escribís f(a/R) = … estás haciendo algo raro sin darte cuenta: del lado izquierdo hay una clase, y del derecho una fórmula que habla de un elemento. Para evaluarla hay que elegir a alguien de la clase. Y la clase no viene con nadie señalado.
Así que la ecuación es una promesa: que da lo mismo a quién elijas. Si la promesa falla, no escribiste una función mal — no escribiste ninguna función. Eso es lo que los Ejercicios 13 a 16 de la Guía 1 preguntan una y otra vez, y es lo que abajo podés romper con la mano.
Abajo está {1, …, 12} partido por la congruencia módulo 4: cuatro clases de tres elementos. Elegí una ecuación y después tocá los elementos de una misma caja. Si el número grande se mueve, la ecuación no define nada.
Arrancá con f(x/R) = x². Tocá el 1, mirá el número grande, y después tocá el 5 — que está en la misma clase, porque 5 menos 1 es 4.
No elegiste mal el representante: la ecuación no define nada, porque la respuesta depende de a quién señalaste. El 1 y el 5 nombran la misma clase y x² les da 1 y 25.
Fijate que el problema no es la clase ni la relación: las cuatro cajas están igual de bien armadas con cualquiera de las cuatro ecuaciones. El problema es que x² distingue cosas que la relación había decidido no distinguir.
Y eso sugiere la salida. Si la relación la fabricamos a partir de la función, en vez de elegirla aparte, el choque no puede pasar: juntamos exactamente lo que la función no distingue, y listo. Esa relación tiene nombre — es el núcleo de F, ker F — y es todo el contenido del Ejercicio 16.
Abajo armás F vos: cada elemento de {1, …, 12} elige a dónde va. El widget calcula ker F y la ecuación f(a/ker F) = F(a). Movés lo que quieras: nunca vas a lograr que discrepe.
Por más que muevas, el aviso se queda en verde. No es suerte ni es que el widget haga trampa: dos elementos caen en la misma clase de ker F precisamente cuando F les da lo mismo, así que pedirle a f que devuelva F(a) nunca le pide nada que las clases no hayan garantizado antes.
Escrito como lo pide el Ejercicio 16: si a/ker F = a'/ker F, entonces a' ∈ a/ker F — porque a' está en su propia clase por reflexividad, y las clases son iguales — o sea (a, a') ∈ ker F, o sea F(a) = F(a'). Tres renglones, sin citar nada más.
Y ahí está el par que conviene llevarse. Una relación cualquiera y una fórmula cualquiera no tienen por qué llevarse bien, y cuando no se llevan bien lo que no existe es la función. El núcleo es el caso en que se llevan bien por construcción, porque una se fabricó a partir de la otra.
Sirve para los ejercicios 13, 14, 15 y 16 de la Guía 1. Las resoluciones están en parcial-1/soluciones/practico-1-relaciones-de-equivalencia.pdf del repo de Lógica, y la versión corta y autocontenida del 16 está en la bitácora de parcial-1/preparacion/plan-de-estudio.pdf.