En un diamante no hay términos medios: juntar dos elementos cualesquiera arrastra a todos los demás.
Una congruencia es una relación de equivalencia que además respeta las operaciones. Escrita entera: si a θ b, entonces (a s c) θ (b s c) y (a i c) θ (b i c), para todo c del reticulado. Es la condición que hace que el cociente siga siendo un reticulado — la pregunta de la primera nota de este bloque, ahora con dos operaciones encima.
Así escrita parece una condición de las que se chequean al final, cuando ya tenés la partición armada. Los Ejercicios 20 a 27 de la Guía 4 la usan al revés, como una máquina de deducir: ponés un par, a θ b, y la condición te obliga a poner otro, y ese otro te obliga a poner un tercero. Nadie decide nada después de la primera línea.
La pregunta es hasta dónde llega eso. En el diamante —el reticulado {1, 2, 3, 5, 30} con la divisibilidad, tres elementos incomparables entre un piso y un techo— la respuesta es incómoda, y no se cree leyéndola. Hay que desarrollarla a mano.
Abajo está el diamante. Tocá dos nodos: eso los identifica, y es la única decisión que vas a tomar en todo el widget. De ahí en adelante el botón desarrolla lo que la definición obliga, un paso por vez, y cada paso lo das vos — no se mueve solo, y conviene que no lo apures: cada línea de la traza es una cuenta que podés rehacer en la cabeza en cuatro segundos.
Empezá por el par más inofensivo que se te ocurra. Dos elementos comparables y pegados, uno arriba del otro: el 1 y el 2. Después mirá dónde termina.
Lo que acabás de desarrollar no fue una construcción: fue una lectura. Después de la primera línea no elegiste nada. El lema dice «si a θ b entonces (a s c) θ (b s c), para todo c», y c recorre los cinco elementos del diamante: cada línea de la traza es esa misma cuenta hecha sobre un c concreto, y el botón lo único que hizo fue mostrarte la siguiente que todavía juntaba algo.
Mirá de cerca el par 1 y 2, que es el más tímido de todos. Subir con 3 manda el 1 al 3 y el 2 al 30, así que 3 θ 30. Subir con 5 manda el 1 al 5 y el 2 al 30, así que 5 θ 30 — y con eso el 3 y el 5 ya están juntos, aunque nadie los tocó. Ahora bajar con 3 manda el 3 al 3 y el 5 al 1: 3 θ 1. Cuatro líneas, contando la que pusiste vos, y el mínimo terminó identificado con el máximo.
Y en ningún momento hubo dónde frenar. No es que el resultado sea grande: es que cada paso intermedio no es una partición legal. Juntar el 1 con el 2 y nada más no es una congruencia — le falta 3 θ 30, y el lema lo dice a la cara. La única partición que contiene al par y sobrevive a la definición es la que se comió todo.
Ahora volvé arriba y probá con otro par. Con dos incomparables, 2 y 3. Con el mínimo y el máximo, 1 y 30. Con el que te parezca más inocente de los diez. Y mirá las dos lecturas de abajo del widget mientras lo hacés: en cuántas clases termina, y en cuántas líneas.
El diamante es un reticulado cerrado sobre sí mismo: los cinco elementos se alcanzan unos a otros con s e i, y por eso la cascada no tuvo por dónde escaparse. Casi ningún reticulado de los que hay que contar viene tan limpio. Lo habitual es que traiga colas: un elemento colgado arriba, otro colgado abajo, un pedazo que no participa. La pregunta es qué hace la cascada cuando se topa con uno.
Abajo está el mismo diamante con un elemento más, el 60, colgado del 30. Elegí un par igual que antes — pero esta vez, cuando la cascada se pare, mirá la lista de congruencias que el widget te ofrece. No es una lectura: es una decisión que te quedó por tomar.
Con un par de adentro del diamante la cascada hizo exactamente lo de antes —los cinco se fueron a una sola clase— y ahí se paró. El 60 no aparece en ninguna línea de ese desarrollo, y no es un descuido: subir o bajar con él no produce ningún par nuevo que el lema obligue a juntar. Forzó cinco elementos y del sexto no dijo una palabra.
Entonces el sexto elige. Puede irse con la clase del 30 o quedarse solo, y las dos cosas son congruencias: la lista te deja pararte en cada una y mirar el diagrama. Y esa elección es independiente de la otra. El diamante decide si colapsa; la hoja decide si se suma; ninguna de las dos condiciona a la otra.
Dos por dos. El diamante tiene 2 congruencias; con la hoja encima son 4. La hoja no agregó casos raros: agregó un interruptor, y un interruptor duplica. Ese es el truco de los ejercicios con cola, y ahorra contar particiones a mano.
Con una excepción que conviene ver, porque marca dónde termina «lo que cuelga». De los quince pares, hay cuatro que no dejan nada por elegir: los que juntan el 60 con algo que está por debajo del 30. Ahí el 60 deja de colgar y entra en la cuenta — la cascada se lo lleva puesto, y tarda un paso más. Probalos.
Hasta acá la cascada parece una propiedad de las congruencias: ponés un par y la definición se desboca sola. No lo es. Es una propiedad de esta forma, y la manera de verlo es sacarle la forma.
Abajo hay una cadena: {1, 2, 4, 8}, cada uno dividiendo al siguiente, sin un solo par de incomparables. Juntá dos elementos y leé la traza. El lema se aplica igual, con las mismas líneas y la misma forma — y aun así se queda corto.
El lema hizo su trabajo: de 1 θ 4 y 2 θ 2, tomando supremo, sale 2 θ 4. Es la misma línea de antes, con la misma forma. Lo que cambió es a dónde puede ir. En el diamante, subir con el 3 y subir con el 5 daban resultados distintos, y esa diferencia era el paso siguiente. En una cadena, c está siempre arriba o siempre abajo de los dos, así que a s c y b s c o son el mismo elemento —y entonces el paso no junta nada— o son a y b otra vez. El desarrollo no encuentra por dónde salirse del intervalo.
Por eso la cuenta de la cadena da lo que uno esperaría y la del diamante no. Las tres aristas de {1, 2, 4, 8} deciden una por una —cada una junta o no junta— y eso da 8 congruencias. Con cinco elementos, cuatro aristas, son 16. La fórmula es 2ⁿ⁻¹ y no hay que recordarla: es un interruptor por arista, que es el mismo interruptor de la hoja del widget anterior.
Y de los seis pares de la cadena, uno solo colapsa todo: el 1 con el 8, los dos extremos, que es el único par cuyo intervalo es el reticulado entero. En el diamante colapsaban los diez.
Volvé un momento a la primera simulación y agotala. Los diez pares del diamante están ahí y los podés recorrer todos: los diez colapsan, y los diez lo hacen en cuatro pasos. No hay un par tímido y un par peligroso, porque no hay dónde poner la diferencia. De ahí sale que el diamante tiene exactamente dos congruencias —la que no junta nada y la que junta todo—, y ese dos no es un dato para memorizar: es lo que queda cuando se acabaron las opciones. Es un corolario del lema, y se deduce en diez clicks.
Lo que arrastra, además, tiene nombre. En la cadena no hay un solo par de incomparables y no hay cascada: cada congruencia fusiona un pedazo y se queda ahí. En el diamante hay tres —el 2, el 3 y el 5— y alcanza con juntar dos elementos cualesquiera, aun dos que ya estaban comparados, para que los tres se choquen entre sí y se lleven puesto el reticulado. La hoja del segundo widget lo dice desde el otro lado: colgada del diamante, sin incomparables propios, no participa — y por eso conserva su decisión.
Y la frase con la que empezó esta nota se termina de leer recién acá. Una congruencia es una relación de equivalencia que además respeta las operaciones: dos mitades, y las dos las traías puestas. La equivalencia es la que te obligaba a comprobar que cambiar de representante no cambiaba la respuesta. Las operaciones son las que aparecían cuando las siete identidades se cumplían. En las cuatro guías de este bloque las venías usando por separado; acá se tocan por primera vez, y lo que sale de que se toquen es una cadena de tres pasos que no te deja parar — del tipo que aprendiste a armar a mano partiendo una meta en submetas, sólo que esta vez no la armaste vos. La escribió la definición, y vos la leíste.
Sirve para los ejercicios 20 a 27 de la Guía 4. Las resoluciones están en parcial-1/soluciones/practico-4-reticulados-terna.pdf del repo de Lógica.