El 0, el 1 y el complemento no se leen del dibujo: los trae la estructura.
Un diagrama de Hasse es un dibujo del orden, y nada más que del orden. Muestra quién está abajo de quién. Todo lo demás —cuál es el 0, cuál es el 1, cuál es el complemento de cada elemento— no está en el dibujo: viene con la upla, como un dato aparte.
Eso suena a tecnicismo hasta que te lo toman. La Guía 5 pregunta cuántas operaciones ᶜ distintas admite un mismo reticulado (Ejercicio 6), o pide un elemento con más de un complemento (Ejercicio 4), o si (L, s, i, 1, 0) sigue siendo acotado cuando das vuelta el 0 y el 1 (Ejercicio 2b). Las tres preguntas son la misma: qué parte de esto es dibujo y qué parte es elección.
Un reticulado acotado es una 5-upla (L, s, i, 0, 1). Los dos últimos son elementos de L que la estructura señala con el dedo, y los axiomas piden que se porten como piso y techo: (I8) 0 s x = x y (I9) x s 1 = 1, para todo x. Las dos están escritas con s a propósito — las versiones con i son teoremas, no axiomas.
Abajo podés señalar vos. Clickeá un nodo para nombrarlo 0, clickeá otro para nombrarlo 1, y mirá si los axiomas sobreviven. Arrancá con el tercer ejemplo, el del conjunto {0, 1, 56}: ahí los elementos se llaman 0 y 1, y es la trampa entera.
Con el mínimo y el máximo de verdad, los dos axiomas se cumplen solos y la estructura es acotada. Con cualquier otro par, alguno se rompe y el widget te muestra el elemento que lo rompe. Eso es todo lo que dice «acotado»: no que el dibujo tenga punta arriba y punta abajo, sino que los dos elementos que elegiste sean esas puntas.
De paso queda contestado el Ejercicio 2b. Dar vuelta el 0 y el 1 dejando las operaciones donde estaban casi nunca funciona: (I9) pasaría a pedir x s 0 = 0, que es falso apenas haya un elemento arriba del 0. Probalo: señalá el máximo como 0 y el mínimo como 1. El dual correcto también da vuelta las operaciones.
Ahora sí, el complemento. Que b sea complemento de a quiere decir dos cosas al mismo tiempo:
a s b = 1 y a i b = 0
La intuición traiciona acá, porque uno lee «complemento» y piensa «el de enfrente», «el opuesto», «el que le falta». No es eso. Es un elemento que cumple las dos ecuaciones juntas, y esa conjunción es mucho más exigente de lo que parece: lo normal es que un candidato cumpla una y falle la otra.
Abajo, elegí un a y mirá la tabla. Cada fila es un candidato con sus dos columnas. Vas a ver muchísimos que llegan al 1 por arriba pero no bajan al 0, y al revés. En los divisores de 12, el 2 no tiene ninguno: por eso ese reticulado es acotado y distributivo pero no complementado.
Fijate en la columna de la derecha mientras vas cambiando de a. La cantidad de candidatos que llegan al techo y la cantidad que bajan al piso suelen ser grandes; la intersección casi siempre es chica, a veces vacía, y de vez en cuando tiene más de uno. Ese «más de uno» es el resto del ensayo.
Pasá la simulación de arriba al diamante {1, 2, 3, 5, 30} y tocá el 2. Vas a encontrar dos complementos: el 3 y el 5. Los dos suben al 30 y los dos bajan al 1. No hay ningún criterio dentro del reticulado que prefiera uno.
Y sin embargo, un reticulado complementado es una 6-upla (L, s, i, ᶜ, 0, 1) donde ᶜ es una operación: a cada elemento le devuelve uno, y uno solo. Así que si el 2 tiene dos complementos, la operación tiene que elegir. Y cada elección distinta es una estructura distinta sobre el mismo dibujo.
Eso es exactamente lo que pide el Ejercicio 6: contar cuántas operaciones ᶜ hacen del diamante un reticulado complementado. Armala vos abajo, elemento por elemento.
Ocho. Ese es el número del Ejercicio 6, y ahora no es un resultado que hay que creer: es el producto de las elecciones que acabás de hacer. El 1 y el 30 tienen un complemento cada uno y no admiten elección; el 2, el 3 y el 5 tienen dos cada uno. 1 × 2 × 2 × 2 × 1 = 8.
Y de acá sale, sin cuentas nuevas, la trampa que más se cobra en la tómbola: de a s b = 1 y a i b = 0 no se deduce b = aᶜ. Lo único que se deduce es que b es un complemento de a. Cuál sea aᶜ depende de cuál de las ocho uplas estés mirando, y eso el dibujo no te lo puede decir.
Cambiá la simulación de arriba a los divisores de 30. Es el mismo tipo de objeto, con más elementos, y sin embargo los selectores desaparecen: cada elemento tiene exactamente un complemento, el total de operaciones ᶜ cae a una, y con ella no hay nada que decidir.
La diferencia entre los dos no es el tamaño: es que los divisores de 30 son distributivos y el diamante no. Y ese es el contenido del Lema 10, el del Ejercicio 9: en un acotado distributivo, cada elemento tiene a lo sumo un complemento. La prueba es de tres renglones y conviene verla una vez, porque explica el ensayo entero. Si b y b' son los dos complementos de a, entonces
b = b i 1 = b i (a s b') = (b i a) s (b i b') = 0 s (b i b') = b i b'
o sea b ≤ b'; por simetría b' ≤ b; y por antisimetría b = b'. El único paso que hace trabajo ahí es el tercero, y es justamente Dis₁. Sacale la distributividad y la cadena se corta en el medio — que es literalmente lo que pasa en el diamante.
Así que la torre terna → acotada → complementada → Boole no es una lista de nombres que hay que memorizar. Es una historia sobre cuánta libertad le queda a la estructura: la terna no señala nada, la acotada señala dos elementos, la complementada tiene que señalar un complemento por elemento — y el álgebra de Boole es el caso en que ya no queda ninguna elección por hacer, porque la distributividad las fijó todas.
Sirve para los ejercicios 2, 4, 5, 6, 7 y 9 de la Guía 5. La teoría formal está en parcial-2/preparacion/resumen-guia-5.pdf del repo de Lógica, y las resoluciones en parcial-2/soluciones/practico-5-reticulados-acotados.pdf.