El , el y el complemento no se leen del dibujo: los trae la estructura.
Un diagrama de Hasse es un dibujo del orden, y nada más que del orden. Muestra quién está abajo de quién. Todo lo demás —cuál es el , cuál es el , cuál es el complemento de cada elemento— no está en el dibujo: viene con la upla, como un dato aparte.
Eso suena a tecnicismo hasta que te lo toman. La Guía 5 pregunta cuántas operaciones distintas admite un mismo reticulado (Ejercicio 6), o pide un elemento con más de un complemento (Ejercicio 4), o si sigue siendo acotado cuando das vuelta el y el (Ejercicio 2b). Las tres preguntas son la misma: qué parte de esto es dibujo y qué parte es elección.
Un reticulado acotado es una 5-upla . Los dos últimos son elementos de que la estructura señala con el dedo, y los axiomas piden que se porten como piso y techo: (I8) y (I9) , para todo . Las dos están escritas con a propósito — las versiones con son teoremas, no axiomas.
Abajo podés señalar vos. Clickeá un nodo para nombrarlo , clickeá otro para nombrarlo , y mirá si los axiomas sobreviven. Arrancá con el tercer ejemplo, el del conjunto : ahí los elementos se llaman 0 y 1, y es la trampa entera.
Con el mínimo y el máximo de verdad, los dos axiomas se cumplen solos y la estructura es acotada. Con cualquier otro par, alguno se rompe y el widget te muestra el elemento que lo rompe. Eso es todo lo que dice «acotado»: no que el dibujo tenga punta arriba y punta abajo, sino que los dos elementos que elegiste sean esas puntas.
De paso queda contestado el Ejercicio 2b. Dar vuelta el y el dejando las operaciones donde estaban casi nunca funciona: (I9) pasaría a pedir , que es falso apenas haya un elemento arriba del . Probalo: señalá el máximo como y el mínimo como . El dual correcto también da vuelta las operaciones.
Ahora sí, el complemento. Que sea complemento de quiere decir dos cosas al mismo tiempo:
y
La intuición traiciona acá, porque uno lee «complemento» y piensa «el de enfrente», «el opuesto», «el que le falta». No es eso. Es un elemento que cumple las dos ecuaciones juntas, y esa conjunción es mucho más exigente de lo que parece: lo normal es que un candidato cumpla una y falle la otra.
Abajo, elegí un y mirá la tabla. Cada fila es un candidato con sus dos columnas. Vas a ver muchísimos que llegan al por arriba pero no bajan al , y al revés. En los divisores de 12, el no tiene ninguno: por eso ese reticulado es acotado y distributivo pero no complementado.
Fijate en la columna de la derecha mientras vas cambiando de . La cantidad de candidatos que llegan al techo y la cantidad que bajan al piso suelen ser grandes; la intersección casi siempre es chica, a veces vacía, y de vez en cuando tiene más de uno. Ese «más de uno» es el resto del ensayo.
Pasá la simulación de arriba al diamante y tocá el . Vas a encontrar dos complementos: el y el . Los dos suben al y los dos bajan al . No hay ningún criterio dentro del reticulado que prefiera uno.
Y sin embargo, un reticulado complementado es una 6-upla donde es una operación: a cada elemento le devuelve uno, y uno solo. Así que si el tiene dos complementos, la operación tiene que elegir. Y cada elección distinta es una estructura distinta sobre el mismo dibujo.
Eso es exactamente lo que pide el Ejercicio 6: contar cuántas operaciones hacen del diamante un reticulado complementado. Armala vos abajo, elemento por elemento.
Ocho. Ese es el número del Ejercicio 6, y ahora no es un resultado que hay que creer: es el producto de las elecciones que acabás de hacer. El y el tienen un complemento cada uno y no admiten elección; el , el y el tienen dos cada uno. .
Y de acá sale, sin cuentas nuevas, la trampa que más se cobra en la tómbola: de y no se deduce . Lo único que se deduce es que es un complemento de . Cuál sea depende de cuál de las ocho uplas estés mirando, y eso el dibujo no te lo puede decir.
Cambiá la simulación de arriba a los divisores de 30. Es el mismo tipo de objeto, con más elementos, y sin embargo los selectores desaparecen: cada elemento tiene exactamente un complemento, el total de operaciones cae a una, y con ella no hay nada que decidir.
La diferencia entre los dos no es el tamaño: es que los divisores de 30 son distributivos y el diamante no. Y ese es el contenido del Lema 10, el del Ejercicio 9: en un acotado distributivo, cada elemento tiene a lo sumo un complemento. La prueba es de tres renglones y conviene verla una vez, porque explica el ensayo entero. Si y son los dos complementos de , entonces
o sea ; por simetría ; y por antisimetría . El único paso que hace trabajo ahí es el tercero, y es justamente Dis₁. Sacale la distributividad y la cadena se corta en el medio — que es literalmente lo que pasa en el diamante.
Así que la torre terna → acotada → complementada → Boole no es una lista de nombres que hay que memorizar. Es una historia sobre cuánta libertad le queda a la estructura: la terna no señala nada, la acotada señala dos elementos, la complementada tiene que señalar un complemento por elemento — y el álgebra de Boole es el caso en que ya no queda ninguna elección por hacer, porque la distributividad las fijó todas.
Sirve para los ejercicios 2, 4, 5, 6, 7 y 9 de la Guía 5. La teoría formal está en parcial-2/preparacion/resumen-guia-5.pdf del repo de Lógica, y las resoluciones en parcial-2/soluciones/practico-5-reticulados-acotados.pdf.