Preservar el orden hacia adelante no dice nada de lo que pasa hacia atrás.
Un homomorfismo de posets pide una cosa sola: que si , entonces . Una implicación, en una dirección. Y la trampa está justamente ahí, porque al leerla uno completa mentalmente la otra mitad — que si entonces — y esa mitad no está pedida.
Lo que sigue es una demostración de cuán poco pide. Vas a poder armar homomorfismos que no te dicen absolutamente nada del orden de llegada, y uno que además es biyectivo y sigue sin ser isomorfismo.
Abajo hay dos posets y una flecha por cada elemento del izquierdo. Vos decidís a dónde va cada una. El widget chequea la condición de homomorfismo y, cuando se rompe, te muestra el par concreto que la rompe.
Empezá por el atajo: mandá todo al de la derecha. Vas a ver que no se rompe nada — y que la segunda condición, la que el homomorfismo no pide, se rompe entera.
La constante es el caso extremo y por eso es tan útil: cumple la condición de homomorfismo sin llevarse nada de información del orden. Todo lo que había a la izquierda se aplasta en un punto, y la condición ni se entera.
Uno podría pensar que el problema es el aplastamiento, y que pedirle a que sea biyectiva alcanza para arreglarlo. No alcanza.
Abajo, una anticadena de tres elementos hacia una cadena de tres. Hay exactamente seis biyecciones posibles entre los dos, y todas son homomorfismos. Probalas: reasigná a dónde va cada elemento y buscá una que refleje el orden.
No hay ninguna. Las seis fallan, y fallan por la misma razón: es biyectiva, es homomorfismo, y sin embargo destruyó el orden — en la anticadena no había ninguna comparación y en la cadena hay tres. La función inventó comparaciones que del lado izquierdo no existían, y la condición de homomorfismo no tiene forma de quejarse, porque sólo mira las que ya estaban.
Por eso el isomorfismo pide el si y sólo si, y esa segunda mitad es la que hace todo el trabajo. Un isomorfismo de posets es una biyección que preserva y refleja.
Hasta acá hablamos de posets, donde lo único que hay es . En un reticulado terna hay además dos operaciones, y un homomorfismo de ternas pide algo distinto: que y lo mismo con el ínfimo.
Esa condición es más fuerte que ser monótona, y el widget lo muestra: hay funciones que preservan el orden y aun así rompen el supremo. Eso es el Ejercicio 14 de la Guía 4 y su recíproco falso.
La primera de la lista preserva el orden y rompe el supremo, y el widget te dice exactamente dónde: junta al y al en el , así que del supremo de los dos cae en el , mientras el supremo de las imágenes se queda en el . La función es monótona y aun así no respeta la estructura.
Ese es el contenido del Ejercicio 14 de la Guía 4: todo homomorfismo de ternas es monótono, pero no al revés. La implicación va en una sola dirección, igual que la de la primera sección — la materia repite esa misma forma una y otra vez.
Y el Ejercicio 15 cierra el círculo con el único caso en que las dos nociones coinciden: si es biyectiva y es isomorfismo de posets, entonces es isomorfismo de ternas. Probá la identidad en la simulación de arriba y vas a ver las tres condiciones con su ✓ a la vez. Cuando no hay aplastamiento ni comparaciones inventadas, preservar el orden en las dos direcciones alcanza para preservar todo.
Y queda una cuarta para probar: «da vuelta el y el ». Ésa ni siquiera es monótona — divide a , pero su imagen no divide a — así que se cae la primera de las tres condiciones, la única que hasta acá se había cumplido siempre. Sirve para ver que las tres son independientes de verdad, y no una cadena donde la primera arrastra a las otras.
Sirve para los ejercicios de homomorfismos e isomorfismos de la Guía 2 y para los ejercicios 14 a 18 de la Guía 4. Las resoluciones están en parcial-1/soluciones/practico-2-posets.pdf y practico-4-reticulados-terna.pdf del repo de Lógica.