La prueba no cita reflexividad, antisimetría ni transitividad: vale en cualquier relación con un , sea o no un orden.
La Guía 2, pág. 4, define las dos por separado: «a es un elemento máximo si b ≤ a para todo b»; «a es un elemento maximal si no existe un b tal que a < b». En Decilo con una fórmula ya vimos que se separan: en la anticadena de tres elementos los tres son maximales y ninguno es el máximo. Lo que faltaba era la otra mitad — bajo qué hipótesis eso deja de poder pasar —, y es el Ejercicio 17 (e) de la Guía 7, pág. 12.
La sentencia, textual: . En castellano: si todo par de elementos tiene una cota superior, entonces todo maximal es máximo. Adentro del paréntesis, dice que es maximal y dice que es máximo — las mismas dos frases de la Guía 2, ahora en el lenguaje.
La hipótesis no es decorativa. Sin ella la implicación es falsa — la anticadena de la nota anterior es el contraejemplo—, y la última sección de ésta lo mide sobre todas las relaciones de tres y de cuatro elementos, no sólo sobre esa.
Sin ningún paso que no sea una cita o un modus ponens. Supongamos . Sea fijo pero arbitrario y supongamos que es maximal, o sea . Sea fijo pero arbitrario.
La hipótesis, instanciada en , nos dice que . Sea uno de esos, o sea que se da .
Ser maximal, instanciado en , nos dice que no se da . Pero sí se da , por lo cual obtenemos que se da .
Ya que se da y , obtenemos que se da .
Ya que era fijo pero arbitrario, : es máximo. Y ya que era fijo pero arbitrario, vale toda la implicación.
Abajo, el mismo argumento caminado a mano: elegís el poset y elegís , y avanzás paso a paso.
Con los divisores de 12 o con la cadena, aparece y se colapsa sin sobresaltos: en las dos hay un único maximal, y es porque la hipótesis vale que ese maximal termina arriba de todo. Con la anticadena, en cambio, el paso 2 no encuentra ningún — y no tienen ninguna cota superior común — y ahí el paseo se corta. No es que el widget se rompa: es la hipótesis fallando, que es exactamente lo que hace falla también en la prueba de arriba si se la saca.
La prueba no usa ningún axioma de poset — ni reflexividad, ni antisimetría, ni transitividad: sólo cita la hipótesis y la definición de maximal. Evaluando la sentencia sobre todas las relaciones binarias de tres elementos — las 512 que salen de decidir, casilla por casilla, cada uno de los nueve pares ordenados — no falla en ninguna. Y de esas 512, apenas 19 son posets de verdad: la sentencia vale igual en las 512. Repetido sobre las 65 536 relaciones de cuatro elementos, la misma cuenta: 0 fallan.
Es el mismo tipo de hallazgo que Dos pruebas elementales: allá la prueba del triángulo usaba uno de los tres axiomas de bicoloreado, y la de usaba dos de los siete de cuaterna. Acá son cero de tres. Que el ejercicio viva en el apartado de posets no significa que la prueba use lo que un poset tiene de más.
Y la hipótesis sí hace falta. El consecuente solo — «todo maximal es máximo», sin el antecedente — no es válido: falla en 248 de las 512 relaciones de tres elementos y en 25 072 de las 65 536 de cuatro. Pero nunca falla junto con el antecedente, que es exactamente lo que la implicación afirma.
Sirve para el Ejercicio 17 (e) de la Guía 7, pág. 12. Las resoluciones están en parcial-2/soluciones/practico-7-lenguaje-elemental.pdf del repo de Lógica.