Dos palabras distintas pueden asumir siempre el mismo valor. Eso no las vuelve la misma palabra.
Hasta la Guía 5 la materia estudia reticulados. Desde la Guía 6 estudia el lenguaje con el que se habla de reticulados, y eso es otro objeto. El primer movimiento de ese cambio es una definición que parece un tecnicismo y no lo es: un término elemental es una palabra. Una sucesión de símbolos, escrita, con longitud. La guía lo dice tres veces en tres lugares distintos, lo cual es una pista de qué tan fácil es olvidarlo.
Es fácil de olvidar porque casi nunca miramos un término: lo usamos para calcular. Escribimos (x i y) pensando «el ínfimo de esos dos», que es un elemento del reticulado. Pero el ínfimo de esos dos no es el término: es lo que el término vale, y para saberlo hacen falta dos cosas más que la palabra no trae — una estructura donde interpretar s e i, y una asignación que le dé un elemento a cada variable.
Abajo el término se arma desde una paleta, pieza por pieza, y nunca se escribe. Esa es la única forma honesta de mostrarlo: si lo escribieras con el teclado, los paréntesis los pondrías vos. Armándolo, los paréntesis aparecen porque la forma del árbol los pide, y ahí se ve que son parte de la palabra y no puntuación.
Al costado del árbol están las dos cosas del término entero: la palabra, con su longitud, y el valor. Y adentro del árbol están las dos de cada pedazo — a la izquierda de cada fila, la palabra de ese pedazo; a la derecha, su valor. Cambiá la estructura y mirá cuál de las dos columnas se mueve.
Las tres estructuras del selector tienen el mismo conjunto de elementos, y eso no es una comodidad: es lo que hace válida la comparación. La asignación que elegiste sigue siendo legal en las tres, así que lo único que cambia al pasar de una a otra son las dos operaciones. Si además cambiaran los elementos, habría que remapear la asignación y ya no sabrías cuál de los dos cambios movió el valor.
Con eso puesto, el experimento es limpio. Armá cualquier término y andá pasando por las tres: el árbol no se toca, la palabra de arriba no cambia ni un símbolo, y la columna de valores se rehace entera. La lectura valores distintos con esta palabra va contando cuántos le viste a la misma palabra, y se pone en cero sola apenas la palabra cambia. Es el contador de la diferencia entre las dos cosas.
La longitud es de la palabra, y sólo de la palabra. La guía la usa para hacer inducción sobre términos, y su cuenta central es la que el widget desglosa: |(t s s)| = |t| + |s| + 3. Los tres de más son los dos paréntesis y el símbolo de la operación, que son símbolos como cualquier otro. Comprobalo: armá (x s y), que mide 5; después tocá el nodo de arriba de todo, ponele un (· s ·) y volvé a armar (x s y) en cada hueco. Te queda 13, que es 5 + 5 + 3.
Y ahora mirá el número de abajo. Ese número no tiene longitud: no es una palabra, es un elemento del reticulado. Preguntarle cuántos símbolos tiene no significa nada — la pregunta es de la palabra, y la palabra es la de arriba.
Una pieza de la paleta no es una variable: a es un nombre de elemento fijo. En el widget saca su valor de la misma tabla que x, y y z, y la guía hace lo mismo — su ejemplo es (x i b), que con x = 200 y b = 300 vale 100. La diferencia entre las dos clases de pieza no aparece todavía: aparece cuando llegan los cuantificadores, que pueden ligar una x y nunca un a. Ésa es la nota que sigue.
El ejemplo con el que la guía cierra el asunto es éste: (x i y) e (y i x) son términos distintos y sin embargo asumen siempre el mismo valor. Son las mismas piezas en otro orden, y alcanza con eso para que sean dos palabras.
«Siempre» es una palabra grande, y abajo es una tabla. Una celda por asignación, y en cada celda los dos valores. La primera palabra la elegís de una lista; la segunda la armás vos, igual que arriba. El objetivo es concreto: encontrar una segunda palabra que no deje ninguna celda en rojo. Una celda roja es una asignación donde los dos valores se separan, y con una sola alcanza para que el «siempre» sea falso.
Con (y i x) la tabla queda sin una sola celda roja, y sobre los divisores de 30 eso son 64 asignaciones. Tampoco es una casualidad de esa estructura en particular: pasá por las otras del selector y el rojo no aparece en ninguna.
Y mientras tanto la lectura misma palabra sigue diciendo que no. Ése es el punto entero de la nota. Coincidir en todas las asignaciones de todas las estructuras que quieras probar no vuelve iguales a las dos palabras: las vuelve dos palabras que asumen el mismo valor, que es otra cosa y tiene otro nombre. La única forma de que esa lectura diga que sí es armar, símbolo por símbolo, la palabra de arriba.
Hay más para encontrar en esa tabla, y vale la pena buscarlas antes de seguir. Probá la primera palabra (x i (x s y)) contra una segunda palabra de una sola pieza. O ((x i y) s (y i x)) contra algo bastante más corto. Cuando dos palabras de longitudes muy distintas no dejan una celda roja, la separación entre «la palabra» y «el valor» deja de ser una advertencia de la cátedra y se vuelve algo que estás viendo.
Porque todo lo que viene después de esta página habla de las palabras y no de los valores. La longitud, la inducción sobre términos, las variables que ocurren libres, qué pedazo de la palabra queda bajo el alcance de un cuantificador, la sustitución de una variable por un término: ninguna de esas cosas es una pregunta sobre un elemento del reticulado. Son preguntas sobre una sucesión de símbolos, y se contestan mirándola.
El valor entra recién cuando hay una estructura y una asignación, y entonces la pregunta cambia de tipo: ya no es «cómo está escrita» sino «cuánto da acá». Las dos preguntas conviven en la misma línea de la hoja, y ésa es la razón por la que confundirlas es tan barato. La nota que sigue hace el mismo corte con fórmulas, donde el valor no es un elemento sino un valor de verdad — y donde una fórmula no es verdadera ni falsa, sino verdadera o falsa en una estructura.
Sirve para la primera parte de la Guía 6: términos elementales, su longitud y el valor que asumen en un reticulado cuaterna. Las resoluciones están en parcial-2/soluciones/practico-6-reticulados-cuaterna.pdf del repo de Lógica.