Polos y ceros

Un filtro LTI con ecuación en diferencias tiene una función de transferencia que es un cociente de dos polinomios. Las raíces de arriba son los ceros; las de abajo, los polos. Con esa lista de puntos en el plano complejo, más una ganancia, está todo el filtro: el módulo de su respuesta en frecuencia se lee como un cociente de distancias, la fase como una suma de ángulos, y la estabilidad como una sola pregunta sobre los polos.

01 · La definición

La ecuación en diferencias, pasada a $z$, convierte cada retardo en un factor $z^{-1}$ y deja un cociente:

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{\sum _{k=0}^Q{b}_k{z}^{-k}}{1+\sum _{k=1}^P{a}_k{z}^{-k}}$$

Los $b_k$ son la parte no recursiva y los $a_k$ la recursiva, como en filter(b, a, x) y en los scripts de la clase. La filmina los nombra al revés —$a_k$ arriba, $b_k$ abajo—; la cuenta es la misma.

Todo polinomio se factoriza por sus raíces. Hacerlo arriba y abajo da la forma en polos y ceros:

$$H(z)=b_0·\frac{\prod _{i=1}^Q(1-c_i{z}^{-1})}{\prod _{i=1}^P(1-p_i{z}^{-1})}$$

Los $c_i$ son los ceros: donde $H(z)=0$. Los $p_i$ son los polos: donde $H(z)$ se va a infinito. Con coeficientes reales, los que no son reales vienen de a pares conjugados. Los ceros salen de los coeficientes que multiplican a la entrada; los polos, de los que multiplican a la salida realimentada. Sin realimentación no hay de dónde sacar un polo, salvo el caso trivial del origen, que tiene su propia sección más abajo.

02 · Cómo se obtienen

El ejemplo es el IIR del script Clase.m, con b = [1 1] y a = [1 -sqrt(2)/2]:

$$H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}{z}^{-1}}$$

Paso 1: pasar a potencias positivas. Las raíces de un polinomio en $z^{-1}$ se buscan mejor en $z$. Se multiplica arriba y abajo por $z^L$, con $L$ la mayor de las dos potencias negativas, que acá es 1:

$$H(z)=\frac{z+1}{z-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Paso 2: las raíces. Arriba, $z=-1$: un cero. Abajo, $z=\sqrt{2}/2\approx \mathrm{0,7071}$: un polo. Es lo que devuelven roots(b) y roots(a).

Paso 3: contar. En potencias positivas, el numerador y el denominador quedan del mismo grado $L$, así que siempre hay tantos polos como ceros. Si $Q$ y $P$ son distintos, el que tiene menos recibe $|Q-P|$ raíces en $z=0$. Esas raíces en el origen no se ven en roots, que sólo mira un polinomio por vez, y son el origen de la confusión de la sección 06.

Un ejemplo con pares conjugados, el del apunte: b = [1 0 1] y a = [1 -1.6 0.8], o sea $H(z)=(1+z^{-2})/(1-\mathrm{1,6}{z}^{-1}+\mathrm{0,8}{z}^{-2})$. Los ceros son $\pm j$, sobre el círculo unitario. Los polos son $\mathrm{0,8}\pm \mathrm{0,4}j$, de módulo $\sqrt{\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{0,8944}$ y ángulo $\pm \arctan (\mathrm{0,5})\approx \pm \mathrm{0,1476}\pi$. tf2zpk los devuelve así, con ganancia 1.

03 · La lectura geométrica

La respuesta en frecuencia es $H(z)$ evaluada sobre el círculo unitario, en $z=e^{j\omega }$. Recorrer las frecuencias de 0 a $\pi$ es recorrer la mitad de arriba del círculo, de $z=1$ a $z=-1$.

Paso 1: sacar $z$ de cada factor. Como $1-c{z}^{-1}=z^{-1}(z-c)$, la forma factorizada queda

$$H(z)=b_0{z}^{P-Q}·\frac{\prod _i(z-c_i)}{\prod _i(z-p_i)}$$

Paso 2: tomar módulo en $z=e^{j\omega }$. El módulo de un producto es el producto de los módulos, y $|e^{j\omega (P-Q)}|=1$. Cada factor $|e^{j\omega }-c|$ es la distancia entre el punto del círculo y la raíz:

$$|H(e^{j\omega })|=|b_0|·\frac{\prod _i|e^{j\omega }-c_i|}{\prod _i|e^{j\omega }-p_i|}=|b_0|·\frac{\text{producto de distancias a los ceros}}{\text{producto de distancias a los polos}}$$

Paso 3: tomar ángulo. El ángulo de un producto es la suma de los ángulos, y el de un cociente, la resta. Cada factor aporta el ángulo del segmento que va de la raíz al punto $e^{j\omega }$:

$$\angle H(e^{j\omega })=\angle b_0+(P-Q)\omega +\sum _i\angle (e^{j\omega }-c_i)-\sum _i\angle (e^{j\omega }-p_i)$$

Con el ejemplo de los ceros en $\pm j$ y los polos en $\mathrm{0,8}\pm \mathrm{0,4}j$, en $\omega =\mathrm{0,15}\pi$: las distancias a los ceros son 1,0450 y 1,7053, y a los polos, 0,1058 y 0,8588. El cociente da 19,61, y freqz da 19,6088. Sobre 200 001 frecuencias entre 0 y $\pi$, el cociente de distancias y freqz difieren en 4,3×10⁻¹⁴ como máximo en el módulo y en 1,2×10⁻¹² en la fase. Es la misma función, calculada por otro camino.

De la fórmula salen tres lecturas que se usan todo el tiempo:

• Un cero sobre el círculo anula esa frecuencia. Cuando $e^{j\omega }$ pasa por encima de él, una distancia del numerador vale cero. En el ejemplo, el cero en $j$ mata $\omega =\pi /2$: freqz da 7,6×10⁻¹⁷ ahí. En Clase.m, el cero en $-1$ mata $\omega =\pi$. Un cero cerca del círculo, sin tocarlo, hace un valle.
• Un polo cerca del círculo hace un pico. Cuando $e^{j\omega }$ pasa al lado, una distancia del denominador se hace chica. En el ejemplo, la distancia 0,1058 al polo de arriba es la que hace el 19,61. El máximo de $|H|$ es 20,16 (26,09 dB), en $\omega =\mathrm{0,1415}\pi$, cerca del ángulo del polo, 0,1476π, pero no encima: el polo conjugado y los ceros también tiran.
• Un polo y un cero pegados se cancelan desde lejos. Visto desde un punto lejano, las dos distancias son casi iguales y el cociente es casi 1. Es el principio del notch: ceros sobre el círculo en $e^{\pm j{\omega }_0}$ y polos justo detrás, a radio $r\lesssim 1$. Anula ${\omega }_0$ y deja el resto casi intacto.

04 · Cómo cambia con el radio del polo

Un par de polos en $r{e}^{\pm j\pi /3}$, con numerador 1. En $\omega =\pi /3$ la distancia al polo de arriba es exactamente $1-r$, y la del de abajo tiende a $2\mathrm{sen}(\pi /3)=\sqrt{3}$:

$$|H(e^{j\theta })|=\frac{1}{(1-r)|1-r{e}^{-j2\theta }|}\approx \frac{1}{(1-r)2\mathrm{sen}\theta }$$

Medido con freqz sobre 2 000 001 frecuencias entre 0 y $\pi$, con el ancho a −3 dB medido respecto del pico:

Cada vez que la distancia $1-r$ se parte a la mitad, el pico sube casi 6 dB —que es un factor 2 en el denominador— y el ancho se parte a la mitad. El ancho tiende a $2(1-r)$ radianes. Con $r=\mathrm{0,5}$ no hay ancho que medir: $|H(e^{j0})|$ está apenas 1,25 dB debajo del pico, y el pico mismo se corre hasta 0,285π, porque el polo de abajo pesa casi lo mismo que el de arriba. Con $r$ chico el máximo no está en el ángulo del polo; con $r$ cerca de 1, sí. Así consigue un IIR una transición angosta con dos coeficientes, casi gratis contra un FIR.

05 · La estabilidad

Un sistema LTI causal con $H(z)$ racional, sin polos y ceros que se cancelen, es estable BIBO si y sólo si todos sus polos están adentro del círculo unitario: $|p_i|<1$ para todo $i$.

Paso 1: fracciones parciales. Con polos simples y $Q<P$, el cociente se abre en una suma de términos de un solo polo:

$$H(z)=\sum _{i=1}^P\frac{A_i}{1-p_i{z}^{-1}}$$

Paso 2: antitransformar cada término. $1/(1-p{z}^{-1})={\sum }_{n\ge 0}{p}^n{z}^{-n}$ es una serie geométrica, así que la parte causal de cada término es una exponencial:

$$h[n]=\sum _{i=1}^P{A}_i{p}_i^{n}u[n]$$

Paso 3: sumar los módulos. Estable BIBO es ${\sum }_n|h[n]|<\infty$, y ${\sum }_n|p{|}^n$ converge a $1/(1-|p|)$ sólo si $|p|<1$. Un solo polo afuera alcanza para que la suma diverja. Con polos repetidos aparecen factores $n^m{p}^n$, que con $|p|<1$ también se apagan: la condición es la misma.

Con un polo real, $h[n]=p^n$. Con $p=\mathrm{0,95}$ la suma de módulos es $1/\mathrm{0,05}=20$. Con $p=1$ es el acumulador: $h[n]=1$ para siempre, marginal y no estable. Con $p=\mathrm{1,05}$, $h[60]={\mathrm{1,05}}^{60}\approx \mathrm{18,68}$, y sigue creciendo.

$|H|$ no avisa. Reflejar un polo del otro lado del círculo, $p\to 1/p^{*}$, cambia cada distancia por el mismo factor para todo $\omega$:

$$|e^{j\omega }-1/p^{*}|=\frac{|e^{j\omega }-p|}{|p|}$$

Así que la forma de $|H|$ no cambia: sólo la escala. Con el par $\mathrm{0,8}{e}^{\pm j\mathrm{0,3}\pi }$ y su reflejo en $\mathrm{1,25}{e}^{\pm j\mathrm{0,3}\pi }$, el cociente de los dos módulos de freqz vale 1,5625 en las 4096 frecuencias, igual hasta el decimal doce: es $1/{\mathrm{0,8}}^2$. Pero en las primeras 60 muestras, la $h[n]$ del original nunca pasa de 1 y la del reflejado llega a 4,18×10⁵. La estabilidad se lee en el plano $z$ o en $h[n]$, no en el módulo.

06 · Un FIR tiene sólo ceros

Es al revés de lo que parece a veces: un FIR es un filtro todo ceros. No tiene denominador, $A(z)=1$, y sin realimentación no hay de dónde salgan polos. Lo que sí tiene son polos en el origen, y vale la pena ver de dónde vienen.

Paso 1: el FIR en potencias negativas. Con $N$ coeficientes:

$$H(z)=\sum _{k=0}^{N-1}{b}_k{z}^{-k}$$

Paso 2: pasarlo a potencias positivas. Es el paso 1 de la sección 02: se multiplica arriba y abajo por $z^{N-1}$. Arriba queda un polinomio en $z$; abajo, lo que era un 1 pasa a ser $z^{N-1}$:

$$H(z)=\frac{b_0{z}^{N-1}+b_1{z}^{N-2}+\cdots +b_{N-1}}{z^{N-1}}$$

Paso 3: leer las raíces. Arriba hay $N-1$ ceros, donde caigan. Abajo, $z^{N-1}=0$ tiene una sola raíz, $z=0$, con multiplicidad $N-1$. Esos son todos los polos de un FIR, y los tres hechos que importan salen de la lectura geométrica:

• No tocan el módulo. La distancia del origen a cualquier punto del círculo unitario es 1, así que cada polo en el origen divide por 1. El módulo de un FIR es sólo el producto de las distancias a sus ceros, por $|b_0|$.
• Sólo aportan retardo. El ángulo de $e^{j\omega }-0$ es $\omega$, así que los $N-1$ polos restan $(N-1)\omega$ a la fase: un retardo puro de $N-1$ muestras, el precio de escribir el filtro en forma causal.
• Nunca comprometen la estabilidad. $|0|<1$ siempre. Es el «un FIR es estable con cualquier coeficiente», dicho en polos.

La media móvil, en polos y ceros. Con $M$ coeficientes iguales a $1/M$, el numerador en potencias positivas es una serie geométrica:

$$H(z)=\frac{1}{M}·\frac{z^{M-1}+z^{M-2}+\cdots +1}{z^{M-1}}=\frac{1}{M}·\frac{z^M-1}{z^{M-1}(z-1)}$$

Las raíces de $z^M=1$ son las $M$ raíces de la unidad, $e^{j2\pi k/M}$, repartidas parejo sobre el círculo. La de $k=0$, $z=1$, se cancela con el $(z-1)$ de abajo. Quedan $M-1$ ceros sobre el círculo en los ángulos $2\pi k/M$, $k=1,\dots ,M-1$: son exactamente los ceros de la sinc periódica de la media móvil, vistos desde el plano $z$. Y $M-1$ polos en el origen. Con $M=8$, tf2zpk da 7 ceros cuyos ángulos difieren de $2\pi k/8$ en 8,9×10⁻¹⁶ como máximo, y 7 polos en exactamente 0. Y el módulo de freqz contra $(1/8){\prod }_k|e^{j\omega }-c_k|$, sin ningún polo, difiere en 1,2×10⁻¹⁵ sobre 4096 frecuencias.

El contraste: el IIR todo polos. Es el caso espejo, con el numerador constante. El IIR de Ejemplo_filtros.m tiene b = 0.1 y a = [1 -0.9]:

$$H(z)=\frac{\mathrm{0,1}}{1-\mathrm{0,9}{z}^{-1}}=\frac{\mathrm{0,1}z}{z-\mathrm{0,9}}$$

Un polo en 0,9, que es el que hace todo el trabajo, y un cero trivial en el origen, que aparece por la misma cuenta y tampoco toca el módulo. El FIR tiene sus ceros donde quiera y los polos amontonados en 0; el IIR todo polos, al revés.

De dónde sale la confusión. Hay tres lugares donde un FIR parece tener polos:

• zplane los dibuja. zplane(h, 1) con la media móvil de 8 pone siete círculos sobre el círculo unitario y una cruz en el origen con un 7 al lado: son los siete polos triviales, apilados. La cruz es lo que se ve primero, y es la que no importa.
• La forma recursiva de la media móvil tiene un polo en $z=1$. $H(z)=\frac{1}{M}·\frac{1-z^{-M}}{1-z^{-1}}$ se computa con realimentación, y tf2zpk reporta un polo en 1. Pero el numerador tiene un cero justo ahí —a 4,4×10⁻¹⁶— y se cancelan: filter da la misma $h[n]$ que el FIR, con diferencia 0. Es un FIR escrito con un polo que no está.
• Se espera un polo en la banda de paso. En la lectura de la sección 03, un filtro sin polos fuera del origen no puede levantar una frecuencia acercándole un polo: sus únicas herramientas son los valles. Un FIR selectivo arma la banda de paso hundiendo la suprimida. El fir1(10, 0.3) de más abajo pone sus cuatro ceros sobre el círculo en ±0,674π y ±0,899π, los dos ángulos arriba del corte en 0,3π.

Los ceros de un FIR de fase lineal vienen en pares recíprocos. Si $h[n]=h[N-1-n]$, invertir el orden de los coeficientes no cambia nada, y eso dice $H(z)=z^{-(N-1)}H(z^{-1})$. Entonces si $c$ es cero, $1/c$ también; y con coeficientes reales, sus conjugados. Cada cero $c_0$ fuera del círculo viene con su espejo $1/c_0^{*}$, al mismo ángulo y a radio inverso; los que están sobre el círculo son su propio espejo. Con fir1(10, 0.3), 11 coeficientes simétricos, los 10 ceros son: 4 sobre el círculo (en ±0,899π y ±0,674π), un par real en 3,2352 y 0,3091, y cuatro en ±0,654π de radios 1,7253 y 0,5796. Cada cero está a 9,3×10⁻¹⁵ o menos del recíproco conjugado de algún cero de la lista. El control: con 11 coeficientes al azar (rand, semilla 1), sin simetría, el peor cero queda a 0,382 del espejo más cercano.

El FIR de Ejemplo_filtros.m, h = [1 2 3 4 3 2 1]/16, es el caso extremo: los seis ceros están sobre el círculo, dobles, en $-1$ y en $\pm j$. Es que $h$ es la media móvil de 4 convolucionada consigo misma, $[1111]\ast [1111]/16$, así que tiene los ceros de $2\pi k/4$ dos veces cada uno. Y seis polos en el origen. Qué más hace un FIR como filtro, y cómo se diseña, está en el filtro FIR; lo mismo para el IIR en el filtro IIR.

Llevá el polo hacia el círculo y mirá cómo sale el pico en su ángulo: el punto azul, al pasarle cerca, divide por una distancia chica. Llevá el cero encima del círculo y el valle baja hasta el fondo del gráfico. Después prendé «FIR»: los polos se van al origen, la distancia a ellos se clava en 1 para todo $\omega$, y $|H|$ queda hecho sólo de ceros. Y con el polo cerca del círculo, reflejalo: la curva de $|H|$ sube o baja entera sin cambiar de forma, mientras $h[n]$, abajo, explota. El botón del ejemplo deja las raíces del apunte; en $\omega =\mathrm{0,15}\pi$ las lecturas dan el 19,6088 de freqz.

07 · El análisis en MATLAB

Un FIR y un IIR de los scripts de la clase, de punta a punta. Lo que figura como comentario es la salida real de correrlo en R2026a.

%% 1. Un FIR: el de Ejemplo_filtros.m
h = [1 2 3 4 3 2 1] / 16;
[z, p, k] = tf2zpk(h, 1);
disp(round(z.', 4))
disp(p.')
fprintf('k = %g\n', k)
fprintf('max ||z| - 1| = %.1e\n', max(abs(abs(z) - 1)))
% -1.0000 + 0.0000i  -1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 1.0000i   0.0000 - 1.0000i   0.0000 + 1.0000i   0.0000 - 1.0000i
%      0     0     0     0     0     0
% k = 0.0625
% max ||z| - 1| = 2.9e-08

%% 2. tf2zp no es para filtros digitales
try
    tf2zp(h, 1);
catch e
    disp(e.message)
end
[z2, p2] = tf2zp(h, [1 zeros(1, 6)]);   % mismo largo arriba y abajo: ahí sí
fprintf('%d ceros, %d polos\n', numel(z2), numel(p2))
% Transfer function not proper.
% 6 ceros, 6 polos

%% 3. La media móvil de 8: ceros en 2*pi*k/8, polos en el origen
M = 8;
[zm, pm] = tf2zpk(ones(1, M) / M, 1);
ang = sort(mod(angle(zm), 2*pi)).';
fprintf('max |arg - 2*pi*k/M| = %.1e\n', max(abs(ang - 2*pi*(1:M-1)/M)))
fprintf('%d polos, max |p| = %g\n', numel(pm), max(abs(pm)))
% max |arg - 2*pi*k/M| = 8.9e-16
% 7 polos, max |p| = 0

%% 4. Un IIR: el de Clase.m
b = [1 1];
a = [1 -sqrt(2)/2];
[zc, pc, kc] = tf2zpk(b, a);
fprintf('cero %g, polo %.4f, k = %g, estable: %d\n', zc, pc, kc, all(abs(pc) < 1))
% cero -1, polo 0.7071, k = 1, estable: 1

%% 5. Un IIR todo polos: el de Ejemplo_filtros.m
[zt, pt] = tf2zpk(0.1, [1 -0.9]);
fprintf('cero %g, polo %g\n', zt, pt)
% cero 0, polo 0.9

%% 6. zplane: fila o columna no es lo mismo
figure; [hz, hp] = zplane(h, 1);
fprintf('fila:    %d ceros, %d polos\n', numel(hz.XData), numel(hp.XData))
figure; [hz, hp] = zplane(h.', 1);
fprintf('columna: %d ceros, %d polos\n', numel(hz.XData), numel(hp.XData))
% fila:    6 ceros, 6 polos
% columna: 7 ceros, 1 polos

%% 7. freqz contra la lectura geométrica, con el IIR de Clase.m
w = [0 0.25 0.5 0.75 1] * pi;           % un vector, nunca un escalar
H = freqz(b, a, w);
E = exp(1j * w);
G = abs(kc) * abs(E - zc) ./ abs(E - pc);
disp(round(abs(H), 4))
fprintf('max | |H| - por distancias | = %.1e\n', max(abs(abs(H) - G)))
%     6.8284    2.6131    1.1547    0.4841         0
% max | |H| - por distancias | = 2.2e-16

%% 8. Los polos en el origen no tocan el módulo del FIR
w = linspace(0, 2*pi, 4096);
E = exp(1j * w);
G = abs(k) * prod(abs(E - z), 1);       % sólo los ceros
fprintf('max | |H| - desde los ceros | = %.1e\n', max(abs(abs(freqz(h, 1, w)) - G)))
% max | |H| - desde los ceros | = 2.8e-15

%% 9. Y de vuelta, con zp2tf
[b9, a9] = zp2tf(z, p, k);
disp(round(b9 * 16, 10)); disp(a9)
%      1     2     3     4     3     2     1
%      1     0     0     0     0     0     0

El $|H(e^{j0})|=\mathrm{6,8284}$ del bloque 7 tiene forma cerrada: la distancia de $z=1$ al cero es 2 y al polo es $1-\sqrt{2}/2$, y $2/(1-\sqrt{2}/2)=\mathrm{6,8284}$. Cinco detalles que muerden:

• tf2zp lee los vectores como polinomios en potencias positivas, como en tiempo continuo. Un FIR, con numerador más largo que el denominador, le parece impropio y da error (bloque 2). Y un IIR todo polos le parece sin ceros: tf2zp(1, [1 -1.6 0.8]) no devuelve ninguno, mientras tf2zpk devuelve los dos del origen. Para un filtro digital va tf2zpk, o tf2zp con los dos vectores rellenados al mismo largo.
• zplane cambia de significado con la forma del vector. Con vectores fila los toma como coeficientes; con vectores columna, como las raíces mismas. zplane(h.', 1) dibuja siete «ceros» en los valores de los coeficientes, 0,0625 a 0,25 sobre el eje real, y un polo: un dibujo que no es de nada (bloque 6).
• Las raíces múltiples salen partidas. Los ceros dobles en $\pm j$ vuelven de roots separados a una distancia del orden de sqrt(eps), 1,5×10⁻⁸: el módulo de alguno se aparta de 1 en 2,9×10⁻⁸ (bloque 1). Una raíz doble es numéricamente frágil; round lo esconde, zplane igual la marca con un 2.
• freqz no avisa de la inestabilidad. Evalúa $B/A$ sobre el círculo aunque un polo esté afuera, y devuelve una curva prolija. La estabilidad se mira en los polos, con abs(roots(a)) o con los de tf2zpk, como en el bloque 4.
• Un escalar en freqz no es una frecuencia. freqz(b, a, 0.3) lee el escalar como la cantidad de puntos. Para evaluar en frecuencias puntuales, un vector de al menos dos, como en el bloque 7.

Para tener a mano

1. Ceros: raíces de $B(z)$. Polos: raíces de $A(z)$. Se obtienen pasando a potencias positivas, y en MATLAB con roots o tf2zpk.
2. $|H(e^{j\omega })|$ es $|b_0|$ por el producto de distancias a los ceros sobre el producto de distancias a los polos, con $e^{j\omega }$ recorriendo el círculo. La fase es la suma de los ángulos a los ceros menos la de los ángulos a los polos.
3. Un cero sobre el círculo anula esa frecuencia. Un polo a distancia $1-r$ del círculo hace un pico de alto $\propto 1/(1-r)$ y ancho $\approx 2(1-r)$.
4. Causal y estable si y sólo si todos los polos cumplen $|p_i|<1$. El módulo no lo muestra: reflejar un polo a $1/p^{*}$ sólo cambia la escala de $|H|$.
5. Un FIR tiene sólo ceros: $N-1$ ceros y $N-1$ polos triviales en $z=0$, que no tocan el módulo, restan $(N-1)\omega$ de fase y nunca desestabilizan. El IIR todo polos es el espejo: ceros triviales en el origen.
6. La media móvil de $M$: ceros en $e^{j2\pi k/M}$, $k=1,\dots ,M-1$, y $M-1$ polos en el origen.
7. FIR de fase lineal: ceros en grupos $c_0,c_0^{*},1/c_0,1/c_0^{*}$; sobre el círculo, cada cero es su propio espejo.
8. En MATLAB: tf2zpk y no tf2zp; zplane con vectores fila; freqz con un vector de frecuencias.