El apunte lo dice en una tabla: el IIR consigue «gran atenuación y transiciones abruptas con poquísimos coeficientes»; el FIR necesita «muchos coeficientes para transiciones abruptas». La cátedra lo redondea en un número que corre de boca en boca — unas diez veces más barato. Medido con una sola máscara fija —Rp = 0,5 dB, Rs = 60 dB, corte en 0,3π— y variando sólo el ancho de la banda de transición, el cociente de costos va de 3,46× a 19,22×. Diez no es el promedio de esa curva ni un caso típico: es un punto cualquiera de un rango que se recorre entero con un solo deslizador, más abajo.
Filtrar es modificar selectivamente el contenido en frecuencia de una señal —módulo y fase— para dejar pasar una banda y frenar otra. En tiempo discreto esa idea se escribe con una sola ecuación, y todo LTI que existe es un caso particular de ella:
con la convención de MATLAB: son los coeficientes no recursivos (lo que multiplica entradas) y los recursivos (lo que multiplica salidas pasadas) — la filmina de la cátedra usa esas dos letras al revés, así que conviene tenerlo presente si se vuelve a leerla. La ecuación tiene dos linajes, según haya o no parte recursiva:
FIR (sin realimentación, ): son directamente los coeficientes, dura muestras y se apaga sola — el promediador móvil es el caso de manual. IIR (con realimentación): la salida depende de salidas anteriores, y aunque el filtro tenga dos coeficientes su nunca llega a cero del todo — decae geométricamente, si el filtro es estable. Esa diferencia de estructura es la raíz de todo lo que sigue: un FIR construye una transición angosta sumando muchos términos; un IIR la consigue con un polo cerca del círculo unitario, casi gratis.
Diseñar cualquier filtro —FIR o IIR— sigue el mismo flujo: especificar la máscara de tolerancias (banda de paso hasta wp con rizado δp, banda suprimida desde ws con desviación δs, y la tierra de nadie ws − wp en el medio), calcular los coeficientes, elegir una estructura de implementación y revisar los efectos de la palabra finita. El paso que cambia todo es el segundo. Un FIR se calcula con el método de ventanas (truncar el pasabajos ideal y suavizar el corte, la técnica de la nota anterior) o, mejor, con el óptimo equiripple de Parks-McClellan: la misma atenuación con menos taps que una ventana, pero igual muchos. Un IIR se diseña como filtro analógico clásico —Butterworth, Chebyshev, elíptico— y se digitaliza con la transformación bilineal: la parte recursiva hace en unas pocas multiplicaciones lo que al FIR le cuesta una suma larga.
Lo que sigue compara los dos métodos óptimos de cada lado —equiripple contra elíptico, el orden mínimo que cada familia puede dar para una máscara— y no una ventana contra cualquier IIR: es la comparación más favorable posible para el FIR, así que el cociente que sale abajo es el piso de la ventaja del IIR, nunca un techo inflado a su favor.
En los dos extremos de este mismo deslizador —Δω = 0,010π y Δω = 0,100π— el cociente da, exacto, 19,22× y 3,46×: más que quintuplicándose de un extremo al otro, sin dejar de ser la misma máscara, el mismo Rp, el mismo Rs, el mismo corte. El «~10×» que se repite en los scripts de la cátedra no es falso: en algún punto de esta curva —cerca de Δω = 0,025π, donde arranca el deslizador— es exactamente eso. Lo que no tiene es el título de constante: movés un solo parámetro, sin tocar ninguna de las exigencias del filtro, y el número que se cita como «el costo del FIR» cambia casi 6 veces.
Y ahí está el motivo por el que un script propio de la cátedra, con esta misma cuenta, escribe «~10×» en un comentario y con su propia máscara —Rp = 1 dB, Rs = 60 dB, banda de paso hasta 0,2π, suprimida desde 0,3π— el cociente que realmente da es 1,69×. No hay ningún error en ese script ni en la cátedra: la cuenta que hace es correcta, y «~10×» es una regla de bolsillo razonable para una transición de ancho medio. Lo que la regla no dice es la parte interesante: que el número depende, fuerte, de un ancho de banda que en ese comentario no queda nombrado. Un número que cambia 5,6 veces según un parámetro que no se ve no es una constante que se pueda citar suelta — es una curva, y el deslizador de arriba la muestra entera.