BER y SER no son la misma curva

Un simulador de M-QAM tiene dos contadores y hay que elegir cuál se mira. Uno cuenta símbolos decididos mal; el otro, bits. La regla de bolsillo dice que van juntos, con $\log_{2} M$ de por medio: un símbolo lleva $\log_{2} M$ bits y Gray hace que un error de símbolo arruine uno solo, así que la razón entre los dos contadores tendría que ser ésa.

Sobre la enumeración exacta, en 64-QAM, la razón vale 3,846 a 0 dB y 6,000 a 20 dB. No es ruido de la simulación ni una diferencia de tercer decimal: es un tercio de camino. Y no pasa lo mismo en todas las constelaciones — 4-QAM ya está clavada en 2,000 a 8 dB, mientras que 64-QAM necesita casi 17. Cuanto más grande la constelación, más tarda Gray en cumplir su promesa.

Eso solo sería una nota al pie. Lo que la vuelve una nota es cómo se manifiesta el error: confundir las dos curvas no da un número raro que salte a la vista, da una curva paralela y desplazada, con la misma pendiente y la misma forma, corrida un factor $\log_{2} M$ . Eso se parece muchísimo a una penalidad física. Y como el desplazamiento crece con $M$ , parece además que las constelaciones grandes arrastraran un defecto propio.

La perseguí como si fuera interferencia entre símbolos. Barrí los taps del filtro de 21 a 801 y el rolloff de 0,1 a 0,9 buscando de dónde salía, y la razón no se movió de 3,96 — menos, incluso, de lo que se mueve entre dos corridas de los mismos parámetros. Que un supuesto efecto físico sea inmune a todos los parámetros físicos es la pista de que no es físico, y ese método vale más que el número.

Hay un segundo filo, y es el que convierte esto en algo más que una anécdota de contadores: la aproximación $BER \approx SER / \log_{2} M$ es exactamente la que hace fallar a la fórmula cerrada de BER que aparece en casi todos los libros. Contra berawgn, esa fórmula da 15 % de menos en 16-QAM y 36 % de menos en 64-QAM a 0 dB. El error de lectura de esta nota está impreso.

01 · Dos contadores, y una identidad exacta entre ellos

Las definiciones no tienen vuelta. La tasa de error de símbolo es la fracción de símbolos en los que el decisor eligió un punto de la constelación que no era el que se mandó. La tasa de error de bit es la fracción de bits equivocados, contando sobre todos los bits transmitidos. Un símbolo transporta $k = \log_{2} M$ bits, así que si un error de símbolo arruinara los $k$ , las dos tasas serían iguales.

El etiquetado Gray existe para el otro extremo: se acomodan las etiquetas de manera que dos puntos vecinos difieran en un solo bit. Si el decisor se equivoca eligiendo el vecino de al lado, el daño es un bit de los $k$ , y ahí sí sale la regla de bolsillo. Pero «el vecino de al lado» es una hipótesis sobre el ruido, no una propiedad del código.

Escribiendo la relación sin esa hipótesis queda una identidad, y es exacta. Si $d$ es cuántos bits cuesta un error de símbolo —la distancia de Hamming entre la etiqueta mandada y la decidida—, entonces:

BER = SER \cdot \frac{E [d]}{k}, \frac{SER}{BER} = \frac{k}{E [d]}

con la esperanza tomada condicionada a que hubo error de símbolo. Ahí se ve todo de golpe. $d \geq 1$ siempre, porque un error de símbolo cambia al menos un bit de la etiqueta; entonces la razón nunca puede pasar de $k$ , y vale $k$ exactamente cuando todos los errores cuestan un bit. La razón no tiende a $\log_{2} M$ por una casualidad asintótica: la razón es $\log_{2} M$ dividido por el costo medio de un error, y ese costo medio es el que se mueve.

Medido sobre la cadena entera —transmisor con raíz de coseno realzado de rolloff 0,5 y 401 taps, dos muestras por símbolo, ruido inyectado en el canal con ${SNR}_{CH} = {SNR}_{SLC} / 2$ , filtro acoplado, escala del lazo por mínimos cuadrados y decisión por mínima distancia—, sobre un millón de símbolos por fila:

M	Eb/N0	berawgn	BER medida	SER medida	SER/BER	cerrado	errores de símbolo
4	8 dB	1,909·10⁻⁴	2,060·10⁻⁴	4,120·10⁻⁴	2,000	2,000	412
16	8 dB	9,247·10⁻³	9,245·10⁻³	3,663·10⁻²	3,962	3,963	36.627
16	10 dB	1,754·10⁻³	1,777·10⁻³	7,095·10⁻³	3,993	3,993	7.095
16	12 dB	1,387·10⁻⁴	1,425·10⁻⁴	5,700·10⁻⁴	4,000	3,999	570
64	8 dB	5,233·10⁻²	5,245·10⁻²	2,899·10⁻¹	5,528	5,528	289.945
64	10 dB	2,653·10⁻²	2,663·10⁻²	1,533·10⁻¹	5,759	5,761	153.345
64	12 dB	9,724·10⁻³	9,725·10⁻³	5,753·10⁻²	5,916	5,912	57.534

La tercera columna es el control que hace creíbles a las otras: la BER medida cae dentro del 1 % de berawgn en cuatro de las siete filas y dentro del 3 % en seis, así que la cadena está bien calibrada y lo que aparece en la sexta columna no es un artefacto de la simulación. La que más se aleja es 4-QAM a 8 dB, un 7,9 % por encima, y es también la que menos errores tiene para promediar: 412, sobre los que una Poisson ya da un 4,9 % de desvío relativo. La razón, en cambio, es estable aun donde la BER tiembla: esa misma fila, con la BER un 8 % fuera de lugar, da 2,000 exacto. Los dos contadores se alimentan de los mismos errores, y al dividirlos la varianza se cancela casi entera.

Y ahí está el hecho: en 64-QAM a 8 dB la razón vale 5,53 y no 6. Ocho decibeles no es una esquina rara del gráfico; es la zona de trabajo de esa constelación.

02 · La escalera, y quién la sube más despacio

Con la teoría enumerada punto por punto, en vez de simulada, se ve la escalera entera sin ruido de Monte Carlo encima:

Eb/N0	M = 4	M = 16	M = 64
0 dB	1,921	3,399	3,846
4 dB	1,987	3,765	4,843
8 dB	2,000	3,963	5,528
12 dB	2,000	3,999	5,912
16 dB	2,000	4,000	5,998
20 dB	2,000	4,000	6,000

Cada columna sube hacia su $\log_{2} M$ y ninguna lo pasa nunca, que es lo que la identidad de la sección anterior obliga. Lo interesante es a qué altura arranca y cuánto tarda. Poniendo el umbral en cinco diezmilésimas del límite, 4-QAM llega a los 7,4 dB, 16-QAM a los 12,1 y 64-QAM a los 16,9. La constelación grande necesita casi diez decibeles más que la chica para que la regla de bolsillo sea cierta.

El motivo se lee mejor abriendo el promedio. Un error de símbolo cuesta $d$ bits, y $d$ es una variable con su propia distribución. A 0 dB, enumerada exacta:

constelación	1 bit	2 bits	3 bits	4 bits	5 bits	costo medio	SER/BER
4-QAM	95,91 %	4,09 %	—	—	—	1,041	1,921
16-QAM	82,74 %	16,84 %	0,42 %	0,00 %	—	1,177	3,399
64-QAM	55,10 %	34,84 %	9,05 %	0,98 %	0,04 %	1,560	3,846

A 0 dB, en 64-QAM, apenas 55 de cada 100 errores de símbolo cuestan el bit que Gray promete. Un tercio cuesta dos, y casi uno de cada diez cuesta tres. El costo medio es 1,560 bits, y $6 / 1,560 = 3,846$ — la última columna es la anteúltima dada vuelta, no una medición aparte.

Y ahí está la razón de que la constelación grande tarde más. Gray garantiza un bit por vecino inmediato, y en 64-QAM cada punto interior tiene cuatro vecinos inmediatos entre sesenta y tres candidatos. Cuando el desvío del ruido se acerca a la distancia entre puntos, el decisor deja de equivocarse «al lado» y empieza a equivocarse dos o tres lugares más allá, donde la etiqueta ya casi no comparte nada. En 4-QAM no hay adónde saltar: el punto más lejano está a dos bits y nada más, y por eso su costo medio no pasa de 1,041 ni siquiera a 0 dB.

03 · Por qué esto parece una penalidad física

Supongamos que alguien confunde los contadores y publica la SER creyendo que es la BER. La curva que dibuja tiene la forma correcta, la pendiente correcta y el codo en el lugar correcto: está corrida hacia arriba un factor $\log_{2} M$ , que en un gráfico logarítmico es una traslación vertical rígida. Nada en la forma de la curva delata el error. Lo único que se ve es que hace falta más señal para llegar a la misma tasa, que es exactamente el aspecto que tiene una penalidad de implementación.

Cuánta, medido en decibeles de $E_{b} / N_{0}$ sobre la teoría exacta:

objetivo	M = 4	M = 16	M = 64
10⁻¹	2,101 dB	4,289 dB	5,928 dB
10⁻²	0,882 dB	1,754 dB	2,314 dB
10⁻³	0,545 dB	1,084 dB	1,416 dB
10⁻⁴	0,392 dB	0,779 dB	1,015 dB
10⁻⁶	0,249 dB	0,496 dB	0,644 dB

Leída como penalidad, la tabla cuenta una historia coherente y falsa: el castigo crece con la constelación —0,39 dB en 4-QAM contra 1,02 en 64-QAM a $10^{- 4}$ — y se alivia cuando se exige más, que es justo lo que uno esperaría de un efecto que se diluye a alta relación señal a ruido. Es una historia tan verosímil que no invita a mirarla de nuevo.

Lo que la desarma es que el supuesto efecto no responde a ningún parámetro físico. Sobre 16-QAM a 8 dB, con doscientos mil símbolos por corrida:

qué se movió	de	a	razón más chica	razón más grande	recorrido
taps del filtro	21	801	3,960	3,967	0,007
rolloff	0,1	0,9	3,963	3,970	0,007
nada: sólo la semilla	1	6	3,958	3,967	0,009

La tercera fila es la que hace que las dos primeras signifiquen algo. Multiplicar por cuarenta el largo del filtro mueve la razón 0,007; multiplicar por nueve el rolloff la mueve otros 0,007; y no tocar absolutamente nada, sólo volver a tirar el ruido, la mueve 0,009. El recorrido de los dos barridos es más chico que el de la propia medición repitiéndose a sí misma: no es que el efecto sea débil, es que no hay efecto que medir. Un empate necesita su control al lado o no dice nada.

Y las tres filas rodean el mismo valor, que es el que la teoría enumerada da para 16-QAM a 8 dB: 3,963. La razón la fijan la constelación y el $E_{b} / N_{0}$ , y nada más. El filtro no participa.

Mirarlo

El widget arranca en 4-QAM a 10 dB, que es la posición donde no hay nada que ver: las dos curvas corren paralelas, separadas por el factor 2 exacto, y la razón marca 2,000 sin moverse. Hay una tercera curva dibujada ahí, la de la aproximación, y está escondida abajo de la de la BER porque en esa posición las dos coinciden.

Bajá el $E_{b} / N_{0}$ o cambiá de constelación, y mirá dos cosas. Arriba, cuánto se despega la curva roja de la azul: apenas nada, y ése es el hallazgo desagradable de este panel. El 36 % de error de 64-QAM a 0 dB son 0,193 décadas sobre un eje de diez — dos milímetros de pantalla. La lectura del pie lo dice con un número porque el gráfico no puede decirlo con una forma, y eso es justamente por qué esta confusión sobrevive.

Abajo, el histograma de cuántos bits cuesta cada error de símbolo, que es lo que ni el texto ni la curva pueden mostrar de un vistazo: a relación señal a ruido alta es una sola barra azul en el 100 %, y a medida que baja se ensancha hacia la derecha, en rojo, que es Gray incumpliendo. Ahí el efecto sí es enorme y se ve de lejos — la misma cantidad de información, en la coordenada que corresponde.

La barra del «1 bit» es toda la nota en un panel. A relación señal a ruido alta ocupa el 100 % en las tres constelaciones y la razón vale $\log_{2} M$ clavado: Gray cumple. Al bajar, la barra se desmorona hacia la derecha, y se desmorona mucho antes en 64-QAM que en 4-QAM — a 0 dB la constelación grande ya repartió casi la mitad de su masa en errores de dos y tres bits, mientras que la chica conserva el 96 % en uno. La promesa de Gray no es falsa: es condicional, y la condición se cumple más tarde cuando hay más vecinos adonde saltar.

04 · El segundo filo: la fórmula que está impresa

La tasa de error de símbolo de una M-QAM cuadrada tiene forma cerrada, y no es difícil de justificar: la constelación son dos modulaciones de amplitud de $\sqrt{M}$ niveles que el ruido afecta de manera independiente, así que acertar el símbolo es acertar las dos. Con $γ$ el $E_{b} / N_{0}$ en veces:

SER = 1 - {(1 - 2 (1 - \frac{1}{\sqrt{M}}) Q (\sqrt{\frac{3 k γ}{M - 1}}))}^{2}

Y después viene el paso que la arruina, el que casi siempre aparece en el renglón siguiente sin más comentario que un «con Gray»:

BER \approx \frac{SER}{k}

Vale la pena separar las dos mitades antes de repartir culpas, porque no fallan las dos. Comparada contra la enumeración exacta sobre $M = 4$ , $16$ y $64$ de 0 a 20 dB, la fórmula cerrada de la SER tiene un error relativo peor de 2,9·10⁻¹²: es exacta hasta el ruido del punto flotante, como tiene que ser, porque su derivación no aproxima nada. Todo el desvío que sigue lo pone la división por $k$ , y nada más.

Eb/N0	M = 4	M = 16	M = 64
0 dB	−3,9 %	−15,0 %	−35,9 %
4 dB	−0,6 %	−5,9 %	−19,3 %
8 dB	−0,0 %	−0,9 %	−7,9 %
12 dB	−0,0 %	−0,0 %	−1,5 %

Los signos importan: la fórmula da siempre de menos. Predice menos errores de los que hay, que es la dirección incómoda — un diseño que cierre justo contra esa fórmula no cierra. Y el error crece con la constelación por la misma razón de siempre: el costo medio de un error de símbolo es 1,041 en 4-QAM y 1,560 en 64-QAM a 0 dB, así que dividir por $k$ en vez de por $k / E [d]$ se equivoca en ese factor.

De ahí sale la decisión de fondo de esta unidad: la BER teórica de M-QAM no se aproxima, se enumera. Son dos modulaciones de amplitud independientes; para cada par de símbolos se calcula la probabilidad de confundirlos y se la pesa por la distancia de Hamming de sus etiquetas Gray. No hay fórmula que recordar y no hay hipótesis escondida: la suma que la aproximación colapsa en un $k$ se escribe entera. Contra 287 puntos de berawgn, el peor error relativo es de 2,8·10⁻¹² %, en BER y en SER.

Lo que queda, más allá de los contadores, es la forma del error. Una fórmula que falla dando un número absurdo se descubre sola. Ésta falla dando la curva de al lado: bien formada, con la pendiente correcta, corrida un factor constante. No hay manera de agarrarla mirando el gráfico, y por eso hay que agarrarla en la derivación — preguntando qué hipótesis se usó para pasar de símbolos a bits, y a partir de qué relación señal a ruido esa hipótesis empieza a valer.

Para tener a mano

La identidad exacta es $BER = SER \cdot E [d] / k$ , con $d$ los bits que cuesta un error de símbolo. Como $d \geq 1$ , la razón $SER / BER$ nunca pasa de $\log_{2} M$ , y lo alcanza sólo si todos los errores cuestan un bit.
Sube con el $E_{b} / N_{0}$ y tarda más cuanto más grande la constelación: a 0 dB vale 1,921 · 3,399 · 3,846 para 4, 16 y 64-QAM, y llega a su límite a los 7,4 · 12,1 · 16,9 dB.
A 0 dB en 64-QAM sólo el 55,10 % de los errores de símbolo cuesta un bit; el costo medio es 1,560 bits, y $6 / 1,560$ es la razón.
Confundirlas no da un número raro: da una curva paralela y desplazada, que leída como penalidad da 0,39 · 0,78 · 1,02 dB a $10^{- 4}$ . Crece con $M$ , así que parece un defecto de las constelaciones grandes.
No lo es, y se demuestra barriendo: los taps de 21 a 801 mueven la razón 0,007, el rolloff de 0,1 a 0,9 la mueve 0,007, y cambiar sólo la semilla la mueve 0,009. Inmune a todo parámetro físico, entonces no es físico.
La fórmula cerrada de la SER es exacta (peor error relativo 2,9·10⁻¹²). La que falla es $BER \approx SER / k$ : −15,0 % en 16-QAM y −35,9 % en 64-QAM a 0 dB, y siempre de menos.
Por eso la BER teórica se enumera y no se aproxima: dos modulaciones de amplitud independientes, cada par de símbolos pesado por la distancia de Hamming de sus etiquetas Gray. Contra berawgn, 2,8·10⁻¹² % de error en 287 puntos.

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