Mínima distancia no es máxima correlación

El receptor de esta unidad se escribe en una línea: de todos los símbolos del alfabeto, quedate con el que esté más cerca de lo que recibiste.

$$\widehat{a}=\underset{a}{\text{arg min}}{|y-a·E_h|}^2$$

Desarrollar el cuadrado y tirar lo que no depende de $a$ deja una forma equivalente, que es la que se implementa: $\underset{a}{\text{arg max}}[2\text{Re}(a^{\ast }y)-{|a|}^2{E}_h]$. Y ahí es donde casi todo el mundo, al acordarse de la regla meses después, se queda con la mitad: «el símbolo que más correlaciona», o sea $\underset{a}{\text{arg max}}\text{Re}(a^{\ast }y)$, tirando el término de energía.

Eso no es una aproximación. Es otro criterio, y la diferencia no es de tercer decimal: en 16-QAM las dos reglas contestan distinto en 3 de cada 4 símbolos, y en 64-QAM en 15 de cada 16. No son fracciones redondeadas — valen exactamente $1-4/M$, y salen de una cuenta, no de una simulación.

Y en PSK las dos reglas coinciden siempre: en ningún símbolo, con ningún ruido, con ningún $M$. Ésa es la razón por la que la versión equivocada sobrevive tantos años. En PSK es correcta, y 4-QAM es QPSK, así que quien la aprendió ahí la puede usar una materia entera sin tropezarse una sola vez — hasta que la arrastra a una constelación con más de un módulo.

Lo que sigue tiene cuatro partes: de dónde sale el término que sobra y qué lleva adentro; qué hace exactamente la regla sin ese término, que resulta ser algo mucho más burdo de lo que su nombre sugiere; cuánto se separan las dos, en cerrado y medido; y por qué el error es invisible justo donde más se enseña.

01 · El término que sobra

El desarrollo entero cabe en un renglón. Con $y$ la muestra a la salida del filtro acoplado y $E_h$ la energía del pulso:

$${|y-a{E}_h|}^2={|y|}^2-2E_h\text{Re}(a^{\ast }y)+{|a|}^2{E}_h^2$$

El primer término no depende de $a$: se va. Los otros dos se dividen por $E_h$, que es positivo y por lo tanto no da vuelta ninguna comparación, y cambiando el signo el mínimo se vuelve máximo:

$$\widehat{a}=\underset{a}{\text{arg max}}[2\text{Re}(a^{\ast }y)-{|a|}^2{E}_h]$$

Dividiendo por $E_h^2$ en vez de por $E_h$ sale la otra forma que escriben las filminas, $\widehat{a}=\underset{a}{\text{arg min}}{|y/E_h-a|}^2$. Es la misma regla mirada desde el otro lado: en vez de estirar la constelación hasta donde llegó la señal, se encoge la señal hasta la constelación. Las tres formas son la misma decisión, símbolo por símbolo.

El término ${|a|}^2{E}_h$ es un castigo por módulo: cuanto más lejos del origen está el candidato, más tiene que correlacionar para ganar. Sin ese castigo, un candidato lejano gana por el solo hecho de ser lejano — el producto interno crece con el módulo del candidato, mire lo que mire.

Y hay un detalle que conviene mirar de frente, porque explica la mitad de la seducción de la regla equivocada: ese término es el único lugar donde aparece $E_h$. Al tirarlo, la regla deja de necesitar la ganancia del canal. No hay que estimarla, no hay que normalizar el lazo, no hay que medir la escala — la decisión es la misma si multiplicás todo por mil. Eso parece una virtud, y es exactamente lo que uno querría de un receptor robusto. Es el síntoma: una regla de decisión que no necesita saber cuán grande llegó la señal es una regla que no puede distinguir un símbolo interior de uno de borde.

02 · La regla sin castigo contesta siempre una esquina

«Máxima correlación» suena a algo fino. Escrito en componentes, sobre una M-QAM cuadrada, es otra cosa. El producto interno es una suma de dos términos y cada uno depende de una sola coordenada del candidato:

$$\underset{a}{\text{arg max}}(a_I{y}_I+a_Q{y}_Q)⟹{\widehat{a}}_I=(\sqrt{M}-1)·\text{signo}(y_I)$$

Como la suma se maximiza maximizando cada sumando por separado, y cada sumando es un nivel por un número fijo, el máximo se alcanza siempre en el nivel más grande con el signo que corresponde. Lo mismo en cuadratura. O sea:

La regla de máxima correlación tiene cuatro respuestas posibles, sea cual sea $M$. Las cuatro esquinas de la constelación. Un receptor de 64-QAM que la use nunca en su vida va a devolver uno de los otros sesenta símbolos. No es un criterio con peor rendimiento: es un criterio que ni siquiera puede nombrar la mayoría de las respuestas.

De ahí sale el primer número de la nota, y sale sin simular nada. Sin una sola muestra de ruido, alimentando la regla con la constelación limpia, acierta sólo cuando el símbolo mandado es una de las cuatro esquinas:

La última columna es la fracción de símbolos que la regla equivocada arruina en el canal ideal: sin ruido, sin ISI y sin nada. En 64-QAM son sesenta de cada sesenta y cuatro. Y es también, como se ve en la sección que sigue, casi exactamente la fracción de símbolos en la que las dos reglas discrepan cuando sí hay ruido: el ruido casi no interviene en este asunto.

La única constelación de la tabla donde no pasa nada es 4-QAM, y el motivo es que sus cuatro puntos son las cuatro esquinas. No hay ningún símbolo interior que perder.

03 · Cuánto se separan, exacto

La condición para que las dos reglas coincidan sobre una muestra concreta se escribe entera y es sorprendentemente simple. La de máxima correlación pide el nivel extremo con el signo de la coordenada; la de mínima distancia pide el nivel más cercano. Coinciden en una dimensión exactamente cuando la muestra cae más allá del último umbral, que es donde el nivel más cercano ya es el extremo. Y como la decisión de una M-QAM cuadrada se parte en dos PAM independientes, hacen falta las dos:

$$|\text{Re}(y)/E_h|>\sqrt{M}-2\text{y}|\text{Im}(y)/E_h|>\sqrt{M}-2$$

Con $M=4$ ese umbral vale cero, y la condición se cumple para toda muestra que no caiga justo sobre un eje. Ése es el sentido del cero de QPSK: no es un número chico, es una identidad. Con $M=16$ el umbral es 2 y con $M=64$ es 6, en las unidades donde los niveles son $\pm 1,\pm 3,\dots$

Con eso la probabilidad de que discrepen se integra sin simular. Si $\sigma$ es el desvío del ruido por dimensión y $L=\sqrt{M}$, la probabilidad de coincidir en una dimensión es un promedio sobre los $L$ niveles:

Y lo que devuelve esa cuenta es el hallazgo de la nota, más que el número en sí. Barriendo el Eb/N0 entero, con el desvío que le corresponde a cada constelación:

De 8 dB para arriba la columna no se mueve en la sexta cifra, y lo que vale es $1-4/M$ otra vez, o sea el resultado sin ruido de la sección anterior. Es la clase de tabla que en otra nota sería un defecto —una columna que no depende de la variable que encabeza las filas—, y acá es el resultado: la discrepancia entre las dos reglas no es un efecto del ruido, es una propiedad de la constelación. El ruido apenas la mueve, y la mueve para abajo: a 0 dB discrepan un poquito menos, porque el ruido empuja muestras hacia afuera del último umbral, que es justo donde las dos reglas vuelven a estar de acuerdo.

El control es Monte Carlo, que no comparte una sola línea con la cuenta de arriba: dos millones de símbolos por constelación, ruido gaussiano con desvío igual al 35 % de la raíz de la energía media del alfabeto, decidiendo con las dos reglas y contando en cuántos casos no coinciden.

Las dos primeras columnas coinciden dentro de un tercio del desvío del conteo, que es lo que tiene que pasar y no prueba nada por sí solo; lo que vale es que una salió de integrar una $Q$ y la otra de contar. Y los ceros tienen su control al lado: el mismo generador, la misma semilla y el mismo desvío dan 1.499.713 discrepancias en 16-QAM y ninguna en 8-PSK. Un cero que aparece con el mismo código que produce un millón y medio no es un cero de la simulación: es el criterio.

La última columna es la verificación de la sección 02, y es la que hay que leer con más cuidado porque es la única que podría estar midiéndose a sí misma. No lo está: el conteo pregunta qué índice devolvió $\underset{a}{\text{arg max}}\text{Re}(a^{\ast }y)$ recorriendo el alfabeto entero, sin saber nada del argumento de separabilidad. En dos millones de símbolos de 64-QAM, con ruido, el índice devuelto fue una de las cuatro esquinas todas las veces.

Dos advertencias sobre ese 35 %, porque son el tipo de cosa que después nadie puede reconstruir. Primero, es el desvío el que vale 0,35 veces la raíz de la energía media: la potencia del ruido es 0,35², o sea el 12,25 % de la energía media, no el 35 %. Segundo, ese desvío no es el mismo punto de operación para las tres constelaciones: escalado con la energía media, corresponde a Eb/N0 = 3,10 dB en 16-QAM y 1,34 dB en 64-QAM, con BER de 7,6·10⁻² y 1,7·10⁻¹. Nadie opera un enlace ahí. La tabla anterior existe justamente por eso: la fracción no depende del punto de operación, así que la elección desafortunada del desvío no arruina la conclusión — pero el número que hay que publicar es el cerrado, no el conteo.

04 · Por qué la regla equivocada sobrevive

Si el término de energía hiciera falta en todas partes, nadie lo olvidaría: el primer receptor que alguien escribiera sin él no funcionaría y el asunto terminaría ahí. Lo que hace que la confusión dure años es que hay una familia entera de constelaciones donde tirarlo es exactamente correcto.

Si todos los símbolos tienen el mismo módulo —que es la definición de PSK—, entonces ${|a|}^2{E}_h$ vale lo mismo para todos los candidatos. Es una constante sumada a todos los términos de un máximo, y una constante no mueve un $\text{arg max}$. Las dos reglas no es que den parecido: dan el mismo índice, para toda muestra, con cualquier ruido, para cualquier $M$. No hay nada que medir ahí, y por eso los ceros de la tabla van en gris y no en rojo: no falló nada.

El puente por el que el error cruza a QAM es 4-QAM, que es QPSK. Sus cuatro puntos están sobre una circunferencia, así que entra en el párrafo anterior. Una materia entera de BPSK y QPSK se puede cursar con la regla equivocada en la cabeza sin que aparezca un solo síntoma, y el día que la constelación pasa a tener dos módulos distintos —16-QAM es el primer caso— la decisión se derrumba de golpe, en tres de cada cuatro símbolos.

Vale la pena decir qué clase de falla es, porque no se parece a las otras de esta unidad. Calibrar mal el ruido corre una curva unos decibeles; confundir BER con SER la corre por un factor ${\log }_{2}M$; el canal con ISI la acuesta. Todas ésas son penalidades: el receptor funciona peor. Ésta no. Un receptor de 64-QAM con la regla equivocada tiene una tasa de error de símbolo que no puede bajar de 0,9375 por más potencia que le tires, porque hay sesenta símbolos que jamás va a contestar. No es una curva corrida: es una curva con un piso, y el piso lo pone la aritmética.

Y la geometría del asunto es lo que conviene llevarse, porque se acuerda solo: sin el castigo por módulo, el máximo siempre prefiere los puntos lejanos, y la decisión colapsa hacia las esquinas. El término que uno tira por parecer un detalle algebraico es justamente el que sostiene la constelación por adentro.

Mirarlo

El widget arranca en 4-QAM, que es la posición donde no hay nada que ver: las dos particiones del plano son la misma, la nube de recibidos no tiene un solo punto en desacuerdo y el contador está en cero. Subí la constelación y mirá dos cosas a la vez. La partición roja no cambia nunca — son los cuatro cuadrantes, siempre —, mientras la azul se va llenando de celdas. Y la zona sombreada, que es donde las dos reglas contestan distinto, deja de ser un par de líneas y se traga el interior entero de la constelación, hasta que lo único que queda afuera son las cuatro esquinas.

Después bajá el ruido a cero y mirá el contador: casi no se mueve. Ése es el hallazgo de la sección 03 puesto en un deslizador. Y pasá a 8-PSK para ver el otro extremo: la partición roja se superpone a la azul rayita por rayita, y el contador vuelve a cero.