Unidad 4 · PAM contra QAM
Una señal real gasta la mitad de su espectro en repetirse. Lo que hay en las frecuencias negativas es el espejo conjugado de lo que hay en las positivas, así que la mitad del ancho que el enlace paga no lleva ni un bit nuevo. La envolvente compleja de la filmina 4 es la manera de cobrarse esa mitad: en vez de una señal real se manda una compleja, cuyo espectro no tiene por qué ser simétrico, y ahí entran dos flujos independientes en la misma banda. Uno viaja en el coseno y el otro en el seno, y lo único que los mantiene separados es que el coseno y el seno son ortogonales.
Eso último es la parte frágil, y es la nota. La ortogonalidad se sostiene en la fase de la portadora que usa el receptor. Medido sobre QPSK con coseno realzado de rolloff 0,5, ocho muestras por símbolo y portadora en 2,5·BR: con la fase bien, las dos ramas llegan enteras —correlación 0,9877 y 0,9892 con lo que se mandó— y no se ven entre ellas. Con la fase corrida, la diafonía crece como . Y a noventa grados pasa lo que hace que valga la pena escribir esto: la constelación se ve exactamente igual de buena que a cero —15,276 % de distancia al punto ideal en las dos, dígito por dígito— y el 50,0 % de los bits sale mal, porque cada punto trae el bit del otro.
Que una señal real tenga el espectro simétrico no es un resultado experimental: es una identidad de la transformada. Si es real, cada exponencial de la suma aparece junto con su conjugada y sale
Vale la pena decir en voz alta qué pasa si uno se tienta con verificarlo en la máquina: da cero exacto, del orden de 10⁻¹⁴ relativo, que es el piso de la coma flotante. Y un cero exacto no es una medición: es la misma cuenta hecha de dos maneras y comparada contra sí misma. No dice nada sobre el enlace, porque no podía dar otra cosa. Lo mismo, con el mismo cuidado, vale para la fracción de energía que vive en las frecuencias negativas: sale 0,50000000 del total, y sale así porque es el espejo, no porque el canal haya hecho algo. Los dos números dicen cuánto cuesta la redundancia; ninguno dice que se la pueda aprovechar.
La evidencia de que esa mitad se puede aprovechar es de otra clase y hay que ir a buscarla: consiste en meter dos tiras de bits independientes, ocupar el mismo ancho de banda que ocupaba una sola, y sacar las dos del otro lado. Eso sí se mide, y es lo que sigue.
La envolvente compleja es el objeto que lo permite. Se arman dos señales de banda base —la rama en fase y la rama en cuadratura— y se las manda como parte real y parte imaginaria de una sola señal compleja, que sube a la portadora tomando la parte real del producto:
Que desarrollado es la forma en que se implementa, dos multiplicadores y una resta:
La señal que sale al aire vuelve a ser real —no hay otra cosa que se pueda poner en un cable— y por lo tanto vuelve a tener el espectro simétrico. La diferencia es qué se puso adentro: ahora las dos mitades no son el espejo de una sola rama, son el espejo de una combinación de dos, y separarlas pasa a ser un problema del receptor y no de la física.
Lo primero para medir es el ancho. La envolvente compleja ocupa una banda alrededor de continua; la señal real que sale al aire ocupa dos copias de esa banda, una a cada lado de la portadora. Midiendo el ancho ocupado como la fracción del eje de frecuencias que queda por encima de un umbral, con los mismos 512 símbolos y el mismo pulso para las dos:
| umbral | envolvente compleja | señal real | razón |
|---|---|---|---|
| −10 dB | 1,2734 · BR | 2,5469 · BR | 2,0000 |
| −20 dB | 1,4297 · BR | 2,8594 · BR | 2,0000 |
| −30 dB | 1,5044 · BR | 3,0088 · BR | 2,0000 |
La razón da 2,0000 en los tres umbrales, y no es casualidad que a −30 dB la envolvente mida 1,5044·BR: el coseno realzado de rolloff 0,5 ocupa , o sea 1,5·BR, y ahí está. La señal real paga el doble de eso por llevar lo mismo.
Lo segundo es cuánto se transmite en ese ancho. Si se apaga la rama en cuadratura y se manda una sola tira de bits —eso es BPSK— la señal de banda pasante mide 2,8564·BR a −20 dB, contra los 2,8594·BR de QPSK: 0,10 % de diferencia, y 0,13 % a −30 dB. Es el mismo ancho, con el doble de bits por símbolo. De ahí sale la eficiencia espectral: el ancho de banda lo fija el pulso, y meter un segundo flujo en la cuadratura no lo toca.
Dicho así suena gratis, y no lo es. Los dos flujos comparten la banda sin estorbarse por una sola razón, y es que el coseno y el seno de la misma frecuencia son ortogonales. Esa ortogonalidad no es una propiedad de la señal que viaja: es una propiedad de la señal que el receptor genera para bajarla.
El receptor recupera cada rama multiplicando por su propia portadora y filtrando. Si su fase está corrida un ángulo respecto de la del transmisor, la rama en fase que sale es
y la de cuadratura, la otra mitad de la misma rotación:
O sea: un error de fase no atenúa, no distorsiona y no agrega ruido. Gira el plano. Lo que cada rama pierde de lo suyo —el factor — aparece íntegro en la otra, con el peso . La energía no se va a ningún lado: se muda de flujo.
Medido sobre la cadena entera —símbolos, pulso raíz de coseno realzado, subida a 2,5·BR, ruido de canal, bajada con el error de fase, filtro de recepción y muestreo en los instantes de símbolo— la diafonía entre ramas sigue el seno del error:
| error de fase | I · I | diafonía I · Q | sen(error) |
|---|---|---|---|
| 0° | +0,9877 | 0,0321 | 0,0000 |
| 1° | +0,9877 | 0,0149 | 0,0175 |
| 5° | +0,9845 | 0,0542 | 0,0872 |
| 10° | +0,9737 | 0,1406 | 0,1736 |
| 20° | +0,9292 | 0,3110 | 0,3420 |
| 30° | +0,8545 | 0,4735 | 0,5000 |
| 45° | +0,6905 | 0,6889 | 0,7071 |
| 60° | +0,4755 | 0,8542 | 0,8660 |
| 90° | −0,0319 | 0,9892 | 1,0000 |
La diafonía sigue al seno con un desvío que no pasa de 0,035 en ninguna fila, y ese desvío tiene nombre y valor: las dos tiras de bits de esta corrida no son perfectamente incorreladas entre sí —con 512 símbolos sorteados, su correlación muestral es −0,0254—, y ése es el piso de la medición. Es el mismo 0,03 que aparece en la fila de 0°, donde no hay ningún error de fase que medir. Alargando la tira, el piso baja como la raíz del número de símbolos y la columna se pega al seno.
Y mirando la última fila con cuidado: a 90° la correlación de cada rama consigo misma cayó a 0,03 y la diafonía subió a 0,99. Los dos números se intercambiaron. No es que la señal se haya degradado hasta el ruido: llegó entera, a la rama equivocada.
Con el deslizador en cero hay cuatro nubes en las esquinas, el azul entero a la derecha del eje vertical y el gris entero a la izquierda. Ese eje vertical es el decisor de I: el receptor lee el signo de la coordenada horizontal y con eso escribe el bit. Mientras el color quede de un lado y del otro, el decisor acierta siempre.
Llevá el deslizador al final y mirá la nube, no los números. Hay cuatro grupos de puntos en las cuatro esquinas, del mismo tamaño y en el mismo lugar que al principio. Cualquier instrumento que mire la constelación sin saber qué se mandó va a decir que el enlace está impecable. Y sin embargo el color está partido arriba y abajo, no a izquierda y derecha: el decisor de I sigue cortando por el eje vertical, donde ahora no queda ninguna información sobre I.
Las dos lecturas del widget que dicen esto son irreconciliables a propósito. Una es la distancia media de cada punto a la esquina ideal más cercana, que es la métrica con la que se juzga una constelación sin conocer los datos. La otra es la fracción de bits que el decisor escribe mal, que hace falta conocer los datos para calcular:
| error de fase | distancia al punto ideal | bits mal decididos |
|---|---|---|
| 0° | 15,3 % | 0,0 % |
| 10° | 23,2 % | 0,0 % |
| 30° | 53,9 % | 0,5 % |
| 45° | 69,5 % | 25,3 % |
| 60° | 53,9 % | 49,7 % |
| 90° | 15,3 % | 50,0 % |
Las dos columnas no sólo discrepan: van en sentidos opuestos en la segunda mitad de la tabla. La constelación más fea es la de 45°, con la nube desparramada al 69,5 % y las esquinas caídas sobre los ejes, y es la que menos bits pierde de las tres últimas. De 45° a 90° el dibujo se acomoda y los errores suben. A 90° el dibujo está perfecto y la mitad de los bits está cambiada.
El 15,3 % de las dos puntas es el mismo número, y lo es por una razón exacta que conviene decir antes de que parezca un empate casual. Un error de fase gira el plano, y noventa grados de giro mandan cada esquina del cuadrado sobre otra esquina del cuadrado: el conjunto de puntos recibidos a 90° es el mismo conjunto que a 0°, girado un cuarto de vuelta. Cualquier medida que mire la nube y no las etiquetas tiene que dar idéntico, y da idéntico: 15,276237 % contra 15,276237 %, hasta donde la coma flotante lo escribe. La simetría de la constelación, que es lo que hace a QPSK cómodo de dibujar y de decidir, es también lo que la vuelve ciega a un error de exactamente un cuarto de vuelta.
De ahí sale una consecuencia práctica: la ambigüedad de 90° no se resuelve mirando la señal. Ninguna cantidad de puntos, ninguna estadística de la nube, ningún lazo que trate de cerrar sobre la constelación la ve, porque para todos ellos ya está cerrada. Se resuelve con símbolos conocidos —una cabecera que el receptor ya tiene— o codificando la información en el cambio de un símbolo al siguiente en vez de en el símbolo mismo. Es el único error de fase que la señal no delata.
Y en el otro extremo de la tabla está la cota de diseño: a 1° la diafonía vale 0,0149, que es el piso de la medición, y a 5° todavía no hay un solo bit mal. A 10° tampoco, con la diafonía ya en 0,1406. Los errores empiezan entre 20° y 30°, y de ahí se caen. El recuperador de portadora tiene que sostener unos pocos grados, no décimas.
Hay un eslabón de la cadena que se saltea con facilidad y que arruina cualquier medición de todo lo anterior. Bajar de banda pasante es multiplicar por la portadora, y multiplicar dos cosenos no da un coseno: da dos.
El primer término es la banda base que se buscaba. El segundo, con , es una copia de todo alrededor de que sigue ahí hasta que alguien la saque. El multiplicador no la saca: el filtro es un paso aparte, y en la cadena de la cátedra es el mismo filtro adaptado que forma el pulso.
El selector del widget lo apaga, y lo que pasa vale más que este párrafo. Sin filtrar, la nube salta de 15,3 % a 108,4 % de distancia al punto ideal —sin filtro no hay ganancia de proceso y el ruido entra entero— y la rama en cuadratura desaparece: su correlación con lo que se mandó cae a −0,0782, o sea a nada, y la mitad de sus bits sale al azar. No es que el filtro limpie un poco. Sin él no hay dos flujos.
Y hay algo peor, que apareció midiendo y que no esperaba. Sin filtro, mover el error de fase no produce diafonía: la correlación de I consigo misma se queda clavada en 0,9590 para todos los ángulos entre 0° y 89°, y la diafonía en 0,0332. La ley que la nota entera acaba de medir simplemente no aparece. La razón es la portadora elegida: con , el término en cae en 5·BR, que es un múltiplo entero del ritmo de símbolo, así que al muestrear una vez por símbolo se pliega exactamente sobre continua — y lo que queda cancela la diafonía en lugar de ensuciarla.
Es un accidente de esa portadora y no una propiedad de nada. Repitiendo la misma corrida sin filtro con la portadora en 2,25·BR, que no es múltiplo de medio ritmo de símbolo, las dos ramas caen juntas a 0,6786 y 0,6795, el 24,6 % de los bits sale mal ya con fase perfecta, y la diafonía a 90° se estanca en 0,6795 en vez de llegar a 1: la ley del seno queda rota. Dos portadoras, dos mentiras distintas. La moraleja no es cuál de las dos pasa: es que sin el filtro lo que se mide no es la ley, es dónde cayó el término en . Todos los números de esta nota se tomaron con el filtro puesto, y el script A_hilbert_test.m de la cátedra arma la cadena en ese mismo orden por esta razón.