Un enlace PAM-8 manda tres bits en cada símbolo donde uno PAM-2 manda uno. La pregunta que sigue sola —cuánto espectro extra cuesta eso— tiene una respuesta que no se parece a la intuición: ninguno. Con el mismo conformador y la misma tasa de símbolo, el ancho de banda ocupado por PAM-2, PAM-4 y PAM-8 es 0,2836 · 0,2825 · 0,2834 veces la frecuencia de muestreo. Los tres caen dentro de un 0,40 % uno de otro, y ocho corridas de PAM-2 con distinta semilla —la misma constelación, otro sorteo— ya se separan un 0,72 %. Cambiar la constelación mueve el ancho menos que volver a tirar los dados.
Lo que sí cambia, y no un poco, es la potencia. Para mantener los niveles a la misma distancia mínima uno del otro, el alfabeto se estira, y la potencia media sigue 1 : 5 : 21 —medido, 1,000 : 5,000 : 20,995—. Eso son 7,0 dB más para el segundo bit y 6,2 dB más para el tercero: la curva del espectro no se corre de lugar, se levanta. De ahí sale la eficiencia espectral, de ahí sale por qué a alguien se le ocurre usar ocho niveles, y de ahí sale por qué no usa mil.
Lo que sigue tiene tres partes: de dónde sale, en la cuenta, que la cantidad de niveles no aparece; con qué se mide un ancho de banda, que es la parte donde este ensayo se apartó de lo que tenía anotado; y qué se paga a cambio.
Una señal PAM en banda base es una suma de copias del pulso conformador, una por símbolo, escaladas por el símbolo y corridas un tiempo de símbolo cada vez:
Si los símbolos son de media nula y no están correlacionados entre sí —que es lo que hace un mapeador razonable sobre datos razonables—, la densidad espectral de potencia de esa señal tiene una forma cerrada que la filmina 2 escribe así:
Ahí está todo. La constelación entra en un solo lugar y es un número: la varianza del símbolo, , que multiplica a la función entera. La forma de —dónde empieza a caer, cuán rápido cae, dónde se termina— es y nada más. Multiplicar una función por una constante no le mueve ningún borde.
Y para una constelación PAM de niveles equiprobables y equiespaciados en , esa constante es:
Hasta acá es álgebra, y el álgebra no verifica nada: la fórmula ya dice que el ancho no depende de M, así que usarla para calcular los tres espectros y después festejar que coinciden sería compararlos contra sí mismos. Todo lo que viene de acá en adelante recorre el camino largo y no toca esta fórmula: se sortean seis mil símbolos, se los sobremuestrea, se los pasa por el filtro, y se estima el espectro de la señal que sale. El camino largo puede dar otra cosa, y de hecho la da: da tres números que no son idénticos, y cuánto se separan es la medición.
El plan que traía era medir el ancho a −20 dB: el doble de la frecuencia donde la densidad espectral cae cien veces por debajo de su máximo. Es la lectura directa de mirar un analizador de espectro, y sobre esa métrica el resultado esperado era «coinciden dentro de un 0,5 %». No la usé, y vale contar por qué, porque el motivo es una propiedad general de las métricas de umbral.
Un periodograma no es el espectro: es un estimador del espectro, y uno bastante malo. Cada bin es una variable aleatoria cuya desviación es tan grande como su propio valor medio, y los bines vecinos son casi independientes. El ancho a −20 dB es la primera frecuencia donde un bin baja del umbral: alcanza con que uno cualquiera se hunda por azar para que la medición se termine ahí. Y cuantos más bines haya —o sea, cuanto más larga sea la DFT— más chances hay de que alguno se hunda temprano. Medido sobre un único registro de PAM-2 con rolloff 0,3, transformado sin promediar nada:
| largo de la DFT | ancho a −20 dB | ancho ocupado al 99 % |
|---|---|---|
| 256 | 0,2982 | 0,2771 |
| 1024 | 0,0660 | 0,2823 |
| 4096 | 0,0088 | 0,2815 |
| 16 384 | 0,0044 | 0,2830 |
| promediando 94 tramos de 256 | 0,3148 | 0,2836 |
Las dos columnas son anchos de banda bilaterales, medidos sobre la misma estimación y en las mismas unidades, así que se leen una contra la otra. Y la del medio no se degrada: colapsa. Con dieciséis mil bines, el primer bin que baja de −20 dB aparece a 0,0022 de la frecuencia de muestreo —de ahí el ancho de 0,0044—, o sea prácticamente en el origen, en plena banda pasante. La métrica no está midiendo el ancho de la señal: está midiendo cuán profundo fue el nulo más profundo del ruido del estimador. La columna de la derecha, sobre exactamente los mismos números, no se mueve de la tercera cifra. Para referencia, la fórmula del pulso pone el cruce de −20 dB en 0,1577 veces la frecuencia de muestreo —un ancho de 0,3154—, que es donde llega la última fila y no ninguna de las otras cuatro.
La diferencia es de clase. El ancho ocupado al 99 % no pregunta por ningún bin: pregunta por la banda centrada más angosta que contiene el 99 % de la potencia total.
Es una integral, y una integral promedia: para que se corra hace falta que se equivoquen muchos bines a la vez y para el mismo lado, que es justo lo que el ruido de un periodograma no hace. Además es la definición con la que se escribe una licencia de espectro —el ancho ocupado es la magnitud que un regulador mide y factura—, así que «el espectro no mira los niveles» pasa a ser una afirmación sobre la banda que hay que pagar y no sobre un dibujo.
Con eso, el estimador de todo lo que sigue: seis mil símbolos, sobremuestreo por 4, raíz de coseno realzado de 101 coeficientes, y la densidad espectral promediada sobre 94 periodogramas consecutivos de 256 muestras con ventana de Hann. Promediar tramos es el remedio de la unidad anterior contra un estimador que no converge, y acá hace las dos cosas a la vez: le saca el ruido a la curva que el widget dibuja y le saca el piso a la integral.
Y un control cruzado, porque un número medido que nadie contrasta es media medición. El espectro de la raíz de coseno realzado tiene forma cerrada, y su ancho ocupado al 99 % se puede integrar a mano, sin sortear un solo símbolo: con rolloff 0,3 da 0,2836 veces la frecuencia de muestreo. El promedio de las ocho corridas de PAM-2 da 0,2841. Son dos caminos que no comparten una línea —uno es una integral de una fórmula, el otro es una simulación de seis mil símbolos— y se encuentran a un 0,18 %.
Misma raíz de coseno realzado de rolloff 0,3, misma tasa de símbolo, tres constelaciones. La cátedra corre esta misma comparación en PSD_PAM2.m, PSD_PAM4.m y PSD_PAM5.m; acá el tercer caso tiene ocho niveles y no cinco, para que los bits por símbolo sean enteros —1, 2 y 3— y la tabla de la última sección no tenga que redondear nada. Con cinco la cuenta es la misma y da , con 2,32 bits por símbolo.
| constelación | bits | ancho al 99 % | ÷ PAM-2 | potencia |
|---|---|---|---|---|
| PAM-2 | 1 | 0,2836 | 1,0000 | 1,000 |
| PAM-4 | 2 | 0,2825 | 0,9960 | 5,000 |
| PAM-8 | 3 | 0,2834 | 0,9993 | 20,995 |
| fórmula del pulso | — | 0,2836 | — | — |
Los tres anchos entran en un 0,40 %. Un porcentaje solo no significa nada sin saber contra qué, así que la vara: se repitió PAM-2 con ocho semillas distintas —la misma constelación, el mismo pulso, la misma cuenta de símbolos, otro sorteo— y los ocho anchos se reparten entre 0,2830 y 0,2851, un rango del 0,72 %. La diferencia entre PAM-2 y PAM-8 es menor que la diferencia entre dos corridas de PAM-2. No es que la constelación mueva poco el ancho: es que a esta resolución no se puede decir que lo mueva.
La columna de la potencia, en cambio, no tiene ninguna ambigüedad. Va 1 : 5 : 21 con tres cifras, que es exactamente y no se parece en nada a un 0,4 %. Dos columnas de la misma tabla, medidas sobre las mismas tres señales: una no distingue las constelaciones y la otra las separa por un factor veintiuno.
El widget de abajo arranca en PAM-2 y con una sola curva, que es la posición donde no hay nada que ver. Cambiá la constelación y mirá dos cosas al mismo tiempo: dónde queda la curva vieja, que se dibuja en gris, y dónde cae la línea de puntos que marca el borde del 99 %.
Lo que hay que ver es que la curva sube y no se ensancha. De PAM-2 a PAM-4 la banda pasante se levanta unos 7 dB y de ahí a PAM-8 otros 6,2, pero la pared donde el espectro se cae queda en la misma frecuencia, y las líneas de puntos de las tres se superponen hasta no distinguirse. Es la fórmula de la sección 01 dibujada: una constante que multiplica no mueve bordes.
El segundo control del widget es el rolloff del pulso, y ahí la curva se ensancha de verdad. Promediando las tres constelaciones en cada rolloff, contra el valor que sale de integrar la fórmula del pulso:
| rolloff | medido | fórmula | de nulo a nulo |
|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,2552 | 0,2548 | 0,2750 |
| 0,3 | 0,2831 | 0,2836 | 0,3250 |
| 0,5 | 0,3182 | 0,3170 | 0,3750 |
| 0,9 | 0,3895 | 0,3894 | 0,4750 |
De 0,1 a 0,9 el ancho crece un 53 % sin que cambie ni un bit por símbolo. Ése es el parámetro que compra banda, y no la constelación. La última columna es el ancho de nulo a nulo, , que es donde el pulso se termina de verdad: el ancho ocupado siempre queda por debajo —el 93 % con rolloff 0,1 y el 82 % con 0,9—, porque el último tramo de la falda lleva menos del 1 % de la potencia y el criterio lo deja afuera. Cuanto más ancha es la falda, más sobra le queda al criterio para recortar. Los dos números miden cosas distintas y los dos son correctos; el que se declara en una solicitud de espectro es el primero.
Vale notar qué es esta tabla en realidad: es el precio de las colas del pulso en el tiempo, leído en frecuencia. Un rolloff chico da un espectro angosto y un pulso que tarda muchísimo en morirse —y que por eso sufre más el truncado a 101 coeficientes, que es la medición de la primera nota de esta unidad—. Un rolloff grande da un pulso corto y limpio que se paga con hertz. El ancho de banda y el largo del filtro son la misma decisión mirada desde dos lados.
Si el ancho no se mueve, la eficiencia espectral es proporcional a los bits por símbolo, sin ningún descuento. Con el ancho ocupado medido —0,2836 veces la frecuencia de muestreo, que con sobremuestreo 4 son 1,134 veces la tasa de símbolo—:
| constelación | bit/s por Hz | potencia | en dB | dB por bit |
|---|---|---|---|---|
| PAM-2 | 0,88 | 1 | 0,00 | — |
| PAM-4 | 1,76 | 5 | 6,99 | 6,99 |
| PAM-8 | 2,65 | 21 | 13,22 | 6,23 |
La última columna es la moraleja entera. Cada bit adicional por símbolo cuesta algo más de 6 dB de potencia, y esa cifra no es una casualidad de estos tres casos: al duplicar los niveles, la varianza pasa de a , o sea que tiende a multiplicarse por cuatro, y cuatro son 6,02 dB. El 6,99 del primer salto es el desvío de arranque, con M todavía chico; el 6,23 del segundo ya está bajando hacia el límite.
La razón de fondo es geométrica y está dibujada en el panel de arriba del widget. La distancia mínima entre niveles vecinos es lo que decide cuánto ruido soporta el enlace antes de que el decisor se equivoque, así que agregar niveles sin bajar esa distancia obliga a estirar el alfabeto hacia afuera. Los niveles nuevos no se meten en el medio: se cuelgan de las puntas, y la potencia media es el promedio de los cuadrados, donde las puntas pesan cuadráticamente. PAM-8 usa un nivel que aporta 49 al promedio, cuarenta y nueve veces lo que aporta el único nivel de PAM-2.
Ahí está el canje que define el transmisor. El ancho de banda es un recurso que se compra una vez, se declara y no se negocia con la física. La potencia se paga todos los días, en el amplificador y en el margen de ruido del receptor. Subir de constelación cambia una por la otra, y el precio son seis decibeles por bit — hasta que el ruido del canal diga basta, que es donde entra el resto de la unidad.