El apunte 5 llega a una fórmula que parece decirlo todo sobre un sistema LTI alimentado por un proceso estacionario: . Ahí está escrito, con todas las letras, lo que la PSD no mira: en el lado derecho aparece el módulo de y no aparece su fase. Un filtro puede reacomodar la señal entera en el tiempo y, mientras su módulo valga uno, la salida tendrá exactamente el mismo espectro de potencia que la entrada. No parecido: el mismo.
Medido: un pasatodo de primer orden con tiene —mínimo y máximo, sobre 512 frecuencias— y deja la potencia total intacta. Su salida difiere de la entrada en el 6,2 % bin a bin del periodograma, mientras que dos realizaciones distintas del mismo ruido blanco difieren en el 96 %. Y sin embargo la correlación entre entrada y salida es −0,80: es otra señal. Encadenando cuatro etapas la correlación baja a 0,41 sin que el espectro se mueva. Lo que sigue es de dónde sale cada número, y por qué la demostración más espectacular de todas —aleatorizarle la fase a una señal— es la que menos prueba.
La PSD de un proceso estacionario en sentido amplio es la transformada de su autocorrelación, que es el teorema de Wiener–Khinchin y es la definición que usa el apunte:
El paso donde se cae la fase se ve mejor en la otra cara de la misma cuenta, la que estima el periodograma. Una transformada es un número complejo y se escribe en polar sin perder nada:
Dos funciones de , el módulo y la fase, y entre las dos reconstruyen la señal exactamente. La densidad espectral de potencia se queda con una sola:
El no está del lado derecho. No es que quede atenuado, ni promediado, ni aproximado: el cuadrado del módulo no depende de él en absoluto. La mitad de la información que hacía falta para reconstruir la señal se fue, y ninguna cantidad de datos la trae de vuelta. Por eso la PSD no se puede invertir: no es una transformación con pérdida chica, es una proyección.
Decirlo así todavía es teoría. Lo que lo convierte en un hecho de ingeniería es que exista un sistema real, causal y estable que use ese agujero: un filtro que mueva toda la fase y no toque nada del módulo.
El pasatodo de primer orden es ese sistema. Su función de transferencia pone un cero y un polo en lugares recíprocos:
Que se implementa con una línea de una sola resta, un retardo y una realimentación:
Que su módulo valga uno en toda frecuencia no es un ajuste afortunado de : sale de sacar factor común en el numerador. Evaluando en la circunferencia unidad, el numerador queda , y el paréntesis es el conjugado del denominador . Un complejo y su conjugado tienen el mismo módulo, y tiene módulo uno, así que el cociente vale exactamente uno para todo y para todo . Medido sobre las 512 frecuencias que el widget dibuja, el mínimo y el máximo de coinciden en 1,000000000000.
Y la condición que sí depende de es la estabilidad: el polo está en , así que hace falta . Con el filtro sigue teniendo módulo uno sobre el papel y en la máquina se va a infinito en unas pocas decenas de muestras. Es un error que no avisa: un polo apenas afuera de la circunferencia no devuelve un error, devuelve números plausibles que crecen despacio.
«La PSD de la salida difiere de la de la entrada un tanto por ciento» no significa nada sin saber contra qué. Un periodograma es un estimador que no converge —es la tesis de la nota anterior—, así que dos estimaciones distintas del mismo espectro ya difieren bastante entre ellas. El número que hace falta es el control: sobre 512 muestras, el periodograma de una realización de ruido blanco y el de otra realización del mismo proceso difieren en un 96 %. Ése es el piso: así de distintos se ven dos espectros que en teoría son idénticos.
Contra ese piso, la entrada y la salida del pasatodo difieren en un 6,2 %. Quince veces menos que dos muestras del mismo proceso, con el mismo estimador y el mismo largo de registro. Y el resto de ese 6,2 % ni siquiera es un desacuerdo real: es el transitorio de arranque del filtro, que va decayendo como , y baja al 3,2 % con 1024 muestras y al 2,1 % con 4096. El desacuerdo tiende a cero al alargar el registro, que es exactamente lo que tiene que hacer un desacuerdo que no existe.
Mientras tanto, la correlación de Pearson entre la entrada y la salida es −0,80. Dos señales que comparten el espectro de potencia hasta donde el estimador puede distinguir, y que muestra a muestra apenas se parecen —y con el signo cambiado, porque el pasatodo de una etapa arranca invirtiendo—.
Una correlación de 0,80 es alta para lo que la nota quiere mostrar: se puede leer como «bastante parecidas». Encadenar pasatodos lo arregla, porque el producto de varios módulos unitarios sigue valiendo uno: una cascada de pasatodos es un pasatodo. Medido con cuatro etapas idénticas de sobre las mismas 512 muestras, con la diferencia de PSD medida contra ese control del 96 %:
| etapas | correlación | |correlación| | PSD, diferencia |
|---|---|---|---|
| 1 | −0,7985 | 0,7985 | 6,21 % |
| 2 | +0,6673 | 0,6673 | 5,43 % |
| 3 | −0,5522 | 0,5522 | 5,51 % |
| 4 | +0,4100 | 0,4100 | 5,87 % |
| 6 | +0,2466 | 0,2466 | 5,75 % |
| 8 | +0,1863 | 0,1863 | 9,87 % |
Hay dos cosas para leer acá. La primera es que el signo alterna: cada etapa da vuelta la correlación, así que la cuenta que importa es el valor absoluto. La segunda es dónde está el codo. De una etapa a cuatro, la correlación se parte casi al medio —de 0,80 a 0,41— y el espectro no se entera: la diferencia se queda alrededor del 6 %, contra un control del 96 %. De cuatro a ocho se gana mucho menos, de 0,41 a 0,19, y ahí sí el espectro empieza a pagarlo: el 9,87 % de la última fila es el transitorio de ocho filtros con memoria, acumulados sobre un registro corto. Cuatro etapas es el mejor canje, y es el que el widget marca.
Vale aclarar qué no limita la cascada, porque es lo contrario de lo que uno espera. Nada se vuelve inestable por encadenar: dieciséis etapas de siguen dando números finitos, porque el producto de polos estables es estable. La inestabilidad aparece sólo si alguna etapa individual se pasa de —lo que ocurre enseguida si uno arma la cascada con polos crecientes en vez de repetir el mismo—. El techo real de la cascada no es la estabilidad: es que cada etapa suma su propio transitorio, y el transitorio es lo único que le impide a la salida tener el espectro de la entrada.
Con el deslizador en cero no hay nada que mirar, y ésa es la posición honesta para empezar: la salida es la entrada, las dos curvas de arriba se superponen y las dos de abajo también. Subilo una etapa y el panel de arriba se separa —la curva azul deja de seguir a la gris muestra a muestra— mientras el de abajo no se mueve: el azul queda dibujado encima del gris, bin por bin. Ése es el hecho entero de esta nota, y el widget no puede mostrarlo de otra manera que no sea con los dos paneles a la vez, porque la sorpresa no está en ninguno de los dos por separado.
Hay una forma más brutal de hacer lo mismo, y está en el segundo modo del widget: tomar la transformada de la señal, reemplazar cada fase por un número al azar y dejar el módulo intacto, y antitransformar. Con simetría hermítica la señal que vuelve es real, y por construcción tiene exactamente el mismo . Sobre el chirp es demoledor: la correlación con la original cae a 0,001, y el factor de cresta —el pico dividido por el valor eficaz— salta de 1,41 a 2,75. El chirp de entrada es una onda de envolvente constante que barre en frecuencia; lo que sale es un manchón de ruido con picos. A la vista no se parecen en nada.
Y sin embargo, como demostración de la tesis, es más débil que el pasatodo. La razón vale por sí sola: la mitad que hay que probar es «el mismo espectro», y la fase al azar no la prueba, la asume. El módulo se conservó a mano, así que comparar los dos periodogramas es comparar un número contra sí mismo. El widget lo dice sin disimulo: en ese modo la diferencia de PSD da del orden de por ciento, o sea el piso de la coma flotante. Un cero exacto no es una medición.
Peor todavía, la igualdad es frágil: vale para ese estimador y no para otro. Si en vez del periodograma del registro completo uno estima la PSD promediando tramos —Bartlett, que es lo que la nota anterior recomienda justamente porque converge—, el chirp de fase aleatorizada difiere del original entre un 26 y un 39 % según cuántos tramos se tomen, y el ruido blanco entre un 24 y un 32 %. Es razonable: lo que se conservó fue el módulo de la transformada del registro entero, y eso no obliga a nada a los tramos. La misma medición sobre la salida del pasatodo da entre 0,6 y 6,3 % con cualquier partición.
La diferencia de fondo es qué clase de objeto es cada uno. El pasatodo tiene como propiedad del filtro, así que preserva el espectro medido como se lo mida, con cualquier estimador, cualquier largo y cualquier señal de entrada. La fase al azar preserva una planilla de números que se copió a mano. Por eso la nota abre con el pasatodo: es la única de las dos que mide la mitad que hay que medir. La fase al azar sirve para lo otro, que también hace falta —volver irreconocible la forma de onda—, y en eso no tiene rival.
Vale la pena probar la tercera señal del widget, porque falla. Aleatorizarle la fase a un coseno puro no lo deforma: el desvío se queda en 1,0000 y el pico en 1,4142, exactos, con cualquier semilla. Lo único que cambia es dónde empieza. La correlación con la original salta de 0,07 a 0,97 según el sorteo, no porque la señal se parezca más o menos, sino porque quedó corrida una cantidad distinta de muestras.
Es el caso degenerado que enseña qué era la fase todo el tiempo. Un tono tiene una sola componente, y la fase de una sola componente es un origen de tiempos: moverla es correr la señal. La forma de onda sólo se puede destruir cuando hay varias componentes y se les rompe la relación de fase entre ellas. El chirp es el extremo opuesto —toda su identidad está en que cada frecuencia llegue en su momento— y por eso es el que peor sobrevive. La PSD de los dos es la misma antes y después, y en un caso eso es inofensivo y en el otro es la señal entera.
El pasatodo no es un artefacto de laboratorio: es el modelo de lo que hace un canal dispersivo. Un par trenzado, una guía de onda o un cable largo no atenúan todas las frecuencias por igual, pero la parte de su efecto que importa acá —la que reordena los tiempos de llegada de cada componente— es exactamente esto. Y la consecuencia práctica es incómoda: un analizador de espectro no lo ve. El instrumento mide potencia por frecuencia, que es la única mitad que el canal no tocó. Se puede tener un enlace que destruye los datos y un espectro que se ve perfecto.
Lo que sí lo ve es el diagrama de ojo, que es donde la Unidad 4 va a empezar. Un ojo mira justamente lo que la PSD tira: cuándo cruza cada transición y cuánto se corrió respecto de las demás. El pasatodo de esta nota, aplicado a un tren de símbolos, deja el espectro donde estaba y cierra el ojo. La misma señal, medida con dos instrumentos, da un aprobado y un reprobado. No es que uno de los dos esté mal calibrado: están mirando las dos mitades distintas en las que se parte una señal, y el espectro de potencia sólo tiene una.