El apunte de la cátedra dice que muestrear pierde información y que, si dos réplicas del espectro se solapan, la mezcla es irreversible: no hay filtro que separe lo que ya se sumó. Es cierto, pero se queda corto. Un tono de 300 kHz y uno de 17,3 MHz, los dos muestreados a 1 MHz, no producen dos listas de números que se parezcan mucho. Producen la misma lista. No hay nada que separar porque nunca hubo dos cosas.
Sobre las primeras 64 muestras: contra 1,3 MHz la diferencia máxima es 4,5×10⁻¹⁴; contra 2,3 MHz, 6,2×10⁻¹⁴; contra 17,3 MHz, 7,4×10⁻¹³. Sobre las primeras 8 muestras baja a 3,0×10⁻¹⁵, y MATLAB —calculando por su cuenta, con su propio motor de coma flotante— da 1,4×10⁻¹⁵: mismo orden de magnitud, cero error real. Lo que sigue es por qué, y qué hacer con eso.
El conversor C/D ideal se queda con el valor de la señal continua cada segundos: , con . Multiplicar por un tren de impulsos en el tiempo es convolucionar con un tren de impulsos en frecuencia, y eso pega una copia completa del espectro original centrada en cada múltiplo de :
Si las copias no se tocan —la señal está limitada a menos de — la del medio queda intacta y se puede recuperar. Si se tocan, sus colas se suman, y una suma no se deshace mirándola: por eso el teorema de Nyquist-Shannon pide una desigualdad estricta, , no una igualdad. El widget que sigue no dibuja la fórmula: la empuja hasta que se rompe.
Por debajo de = 0,5 MHz no hay nada raro: la curva gris (la señal real) y la punteada azul (la que aparenta) son la misma curva, literalmente, porque . Seguí empujando el deslizador y cruzá los 0,5 MHz: la curva azul deja de subir y empieza a bajar, mientras —el número del deslizador— sigue subiendo sin parar. Las dos curvas nunca se despegan de los puntos negros. No es una ilusión óptica del dibujo: son los mismos números, y un osciloscopio no tiene manera de preferir una curva sobre la otra.
Ahí está el «por qué» del párrafo de arriba. La regla —«la frecuencia aparente es la distancia al múltiplo de más cercano»— suena a manual de instrucciones hasta que el lector empuja hacia arriba y ve el tono bajar, con las dos ondas clavadas en los mismos puntos. Ahí «irreversible» deja de ser una palabra del apunte.
Un coseno real no distingue girar para un lado de girar para el otro: tiene energía en y en , siempre las dos. Una exponencial compleja gira en un solo sentido y tiene una única raya, en . La diferencia importa exactamente cuando el espectro se pliega: las dos rayas del coseno pueden plegarse una contra la otra, y ahí es donde se pierde la mitad del ancho de banda disponible.
Esa cuenta de arriba no depende del deslizador: es un barrido de 1000 tonos repartidos en , hecho con la misma cuenta de plegado que dibuja el widget. El coseno real los amontona en apenas 501 lugares —499 colisiones—, porque cualquier tono y su espejo se pliegan al mismo sitio. La exponencial compleja usa los 1000 lugares, sin perder ni uno. Es exactamente el doble de ancho de banda útil, y es la razón de que valga la pena complicarse la vida con señales complejas más adelante en el curso.
Todo lo de arriba pasa antes de llegar a . Justo en el borde, , pasa algo más raro todavía: la amplitud que se puede recuperar deja de depender sólo de y empieza a depender de la fase. La conexión entre el mundo continuo y el discreto es —la cátedra separa a propósito (rad/s, continuo) de (rad/muestra, discreto)— y en eso da : cada muestra cae medio ciclo después de la anterior, ni antes ni después.
A 0° las muestras son : amplitud 1, nada se pierde. A 90° —el deslizador va de 0° a 180°, así que es el medio, no el final— las 8 muestras son todas prácticamente cero: del orden de 10⁻¹⁶, que es el redondeo de la máquina, no una señal débil. MATLAB, midiéndolo por su cuenta, da . La señal sigue ahí —la curva gris no desaparece— pero el muestreo no ve nada de ella: no hay número que reconstruir, porque no hay número que la contenga. Por eso el teorema pide con desigualdad estricta: en la igualdad, existe al menos una fase que borra la señal entera.