La fase no lineal mide 60 muestras justo donde te importa

Del módulo se sabe que un sistema LTI escala cada frecuencia por $|H|$ y la desfasa. El módulo se lleva toda la atención —pasabajos, pasaaltos, el corte, el rizado— pero el desfasaje decide si la forma de onda sobrevive el viaje. En un elíptico de orden 6 con corte de diseño en 0,12π, ese desfasaje —medido como retardo de grupo— no es un número parejo: va de 0,11 a 60,27 muestras, con el pico en $\omega /\pi =\mathrm{0,1211}$. No se dispara en cualquier lado de la banda. Se dispara prácticamente encima del corte, que es exactamente la frecuencia que le importa a quien diseñó el filtro.

Contra eso, un FIR simétrico no tiene ninguna sorpresa que dar: su retardo de grupo es 20,0000 muestras, el mismo número en cualquier $\omega$, con una desviación de cero exacto. Lo que sigue es de dónde sale esa diferencia, y qué le hace de verdad a un tren de símbolos.

01 · La fase también deforma

Metamos una autofunción, $x[n]=e^{j\omega n}$, en un filtro con $H(e^{j\omega })=|H|·e^{j\theta (\omega )}$. La salida es esa misma exponencial, escalada y desfasada:

$y[n]=|H|·e^{j(\omega n+\theta (\omega ))}$

El truco es leer el corchete del exponente como un retardo en vez de como un desfasaje. Sacando $\omega$ como factor común dentro del exponente,

$\omega n+\theta (\omega )=\omega ·(n-T_p(\omega ))$,   con   $T_p(\omega )=-\frac{\theta (\omega )}{\omega }$

Ésa es la primera cantidad: el retardo de fase, $T_p$. Cuenta cuántas muestras de retardo sufre esa componente de frecuencia en particular. Se puede verificar contra el retardo ideal de $n_d$ muestras: si $\theta (\omega )=-\omega ·n_d$, entonces $T_p(\omega )=n_d$ para todo $\omega$ — consistente.

La segunda cantidad no mira una sola frecuencia sino un paquete de ellas, centrado en $\omega$:

$T_g(\omega )=-\frac{\mathrm{d}\theta (\omega )}{\mathrm{d}\omega }$

El retardo de grupo, $T_g$, mide cuánto se retarda la envolvente —la información que modula un paquete de frecuencias— y no la oscilación que la lleva adentro. La distinción clásica es una portadora modulada: la portadora viaja con $T_p$, la envolvente con $T_g$. Si son distintos, la envolvente se desliza respecto de la portadora que la transporta.

Por qué importa: si $\theta (\omega )$ no es lineal, $T_g(\omega )$ no es constante, y entonces cada banda de frecuencia de la señal llega retardada un número distinto de muestras. Un pulso compacto se desparrama. En un sistema de comunicaciones los símbolos duran un tiempo fijo; si el pulso de un símbolo se desparrama más allá de ese tiempo, pisa a los símbolos vecinos: interferencia intersimbólica, ISI. Por eso, en comunicaciones, la fase lineal no es un lujo de diseño: es un requisito.

02 · Fase lineal: los dos casos, y el N=7 que lo prueba

«Fase lineal» tiene una definición exacta, no una intuición. $\theta (\omega )$ puede ser lineal de dos maneras:

Caso	$\theta (\omega )$	$T_g$	$T_p$	Nombre
(a)	$-\alpha \omega$	$\alpha$, cte.	$\alpha$, cte.	fase lineal estricta
(b)	$\beta -\alpha \omega$	$\alpha$, cte.	$\alpha -\beta /\omega$, no cte.	fase lineal generalizada

En los dos casos la envolvente viaja intacta, porque en los dos $T_g$ es constante. En (b) la portadora recibe además un desfasaje fijo $\beta$ —tipicamente $\pi /2$: el filtro «rota» la portadora 90°, como un diferenciador—. El vínculo con la simetría de $h[n]$: el caso (a) es simetría positiva, $h[n]=h[N-1-n]$, con $\alpha =(N-1)/2$; el caso (b) es simetría negativa, $h[n]=-h[N-1-n]$, con la misma $\alpha$ y $\beta =\pi /2$.

Que sea exacta y no una aproximación se ve con un ejemplo concreto, chico a propósito: $h=[\mathrm{0,1}\mathrm{0,2}\mathrm{0,3}\mathrm{0,4}\mathrm{0,3}\mathrm{0,2}\mathrm{0,1}]$, siete taps, simetría positiva con centro en $n=3$.

Agrupando los pares simétricos —$h[0]=h[6]$, $h[1]=h[5]$, $h[2]=h[4]$— y sacando como factor común la fase del punto de simetría, $e^{-j3\omega }$:

$$H(e^{j\omega })=e^{-j3\omega }·[2h[0]\cos (3\omega )+2h[1]\cos (2\omega )+2h[2]\cos (\omega )+h[3]]$$

Cada paréntesis que quedaba, $e^{jk\omega }+e^{-jk\omega }$, se volvió $2\cos (k\omega )$: real. Así que el corchete entero es real, y toda la parte imaginaria de $H$ vive en el factor que se sacó afuera. La conclusión no es una aproximación, es álgebra: $\theta (\omega )=-3\omega$, exactamente lineal, con $\alpha =3=(N-1)/2$.

En unidades físicas, con período de muestreo $T_s$: $T_p=(N-1)/2·T_s$, constante. Un FIR simétrico de 41 taps —el mismo largo que va a aparecer en la simulación de abajo— retarda exactamente $20$ muestras: conocido, fijo, compensable con sólo mirar cuántos taps tiene. Un IIR retarda distinto en cada frecuencia: no hay un único «retardo del filtro» que restar.

03 · El elíptico dispara el retardo justo en el corte

Ahora dos filtros de verdad, mismo corte de diseño, $\mathrm{0,12}\pi$. Un FIR simétrico de $N=41$: por la demostración de arriba, $T_g(\omega )=20$ muestras exactas, en cualquier $\omega$. Un elíptico de orden 6 ($R_p=\mathrm{0,5}$ dB, $R_s=60$ dB): su respuesta al impulso no tiene ninguna simetría —de hecho es infinita, y por eso el retardo se calcula directo sobre $H=B/A$, nunca truncando esa respuesta a un puñado de muestras—. Medido así, su retardo de grupo va de $\mathrm{0,11}$ a $\mathrm{60,27}$ muestras, con el pico en $\omega /\pi =\mathrm{0,1211}$: prácticamente encima del corte de diseño.

Abajo, un tren de símbolos NRZ atraviesa uno de los dos filtros —el interruptor decide cuál— con el retardo de grupo de ese mismo filtro graficado debajo. Arranca en el FIR, donde no hay nada raro que ver. El interruptor cambia eso.