Unidad 4 · PAM y conformación de pulso
«Este pulso no deja ISI» es una frase incompleta, y la forma más rápida de comprobarlo es no cambiar el pulso. Un coseno realzado de rolloff 0,5, muestreado a cuatro muestras por símbolo, da un espectro plegado perfectamente plano: 0,0000 % de rizado. Se corre el reloj del receptor una sola muestra —un cuarto de símbolo— y el mismo pulso, sin tocarle un tap, da 31,51 %. Dos muestras, y da 122,23 %, con el plegado tocando el cero exacto en el borde de la banda.
No tener ISI es una propiedad del pulso y del instante en que lo mirás. Lo que sigue es de dónde sale cada número, por qué el rizado del plegado y la ISI en el tiempo se rompen siempre a la vez —no se parecen: son la misma cuenta—, y por qué un rectángulo de una duración de símbolo, que no se parece en nada a un coseno realzado, también es de Nyquist.
La filmina 3 pide que el pulso valga cero en todos los instantes de símbolo menos en el propio. En frecuencia eso mismo es el criterio de Nyquist, que es lo que dibuja el script E_folded_spectrum.m: se toman las réplicas de separadas por la tasa de símbolo y se suman.
Que esa suma sea plana es equivalente a que no haya ISI, y la equivalencia no es una analogía: es la fórmula de sumación de Poisson. La suma de las réplicas es, término a término, la transformada de las muestras del pulso tomadas a la tasa de símbolo.
Del lado derecho está, literalmente, la lista de muestras que el receptor lee: una es el símbolo y todas las demás son interferencia. Y una lista finita sólo puede tener transformada de módulo constante si es un solo tap —un FIR de módulo plano es un retardo puro y nada más—, así que «plegado plano» y «una sola muestra distinta de cero» son la misma afirmación dicha de dos maneras. Comprobado numéricamente por los dos caminos —plegar 512 puntos contra transformar las 128 muestras del peine— coinciden con un error máximo de 7,5 · 10⁻¹³, que es el piso de la coma flotante.
De acá en adelante, las dos lecturas, y las dos son cocientes, así que no dependen de cómo esté escalado el pulso. El rizado es la diferencia entre el máximo y el mínimo del plegado, dividida por su media, en por ciento: cero es plano. La ISI es la mayor de las otras muestras del peine dividida por la que lleva el símbolo, en decibeles: 0,00 dB quiere decir que la interferencia pesa tanto como el dato.
Con los parámetros de la cátedra —sobremuestreo , el coseno realzado de 201 taps y el plegado sobre 512 puntos—, cada pulso alineado a su propio pico:
| Pulso | Rizado del plegado | ISI máxima |
|---|---|---|
| Coseno realzado, rolloff 0,5 | 0,0000 % | cero de máquina |
| Coseno realzado, rolloff 0,25 | 0,0000 % | cero de máquina |
| Rectángulo de una duración de símbolo | 0,0000 % | cero exacto |
| Triangular de dos duraciones | 0,0000 % | cero exacto |
| Rectángulo de dos duraciones | 157,09 % | 0,00 dB — 100 % |
| Gaussiano | 200,51 % | −6,03 dB — 49,9 % |
El gaussiano de esa última fila es el de la cátedra, y conviene dejar escrito cuál es, porque el número depende del ancho:
Las dos columnas se encienden y se apagan juntas en los seis casos, que es la primera evidencia de que miden lo mismo. «Cero de máquina» merece una aclaración, porque el número que sale ahí no significa lo que parece: el coseno realzado de rolloff 0,5 deja una interferencia relativa de 3,1 · 10⁻¹⁷, o sea −330 dB. Corriendo la misma cuenta en MATLAB sale −412 dB. Los dos son el residuo de redondeo de dos rutas aritméticas distintas hasta el mismo cero, y ninguno es una propiedad del pulso: lo único que se puede afirmar es que no hay ISI, no que la haya «de −412 dB». Donde el cero sí es exacto —el rectángulo y el triangular— es porque el peine cae sobre muestras que valen literalmente cero, sin cuenta de por medio.
Y ahí está lo que sorprende: el rectángulo de una duración de símbolo es de Nyquist. No hace falta un coseno realzado para no tener ISI; hace falta no pisar el instante de al lado, y un rectángulo que dura exactamente un símbolo termina justo donde empieza el siguiente. El precio lo paga en otro lado —su espectro es una sinc con colas infinitas, o sea ancho de banda que no se puede comprar— pero el criterio de Nyquist no mira eso. El triangular de dos duraciones es el mismo argumento un escalón más arriba: se solapa con el vecino, sí, pero cruza el cero exactamente donde caen sus instantes.
Este número no apareció por buscarlo. Apareció porque el rectángulo de una duración de símbolo daba, al mismo tiempo, ISI cero y 54,62 % de rizado. Un pulso no puede ser de Nyquist en el tiempo y no serlo en frecuencia, así que una de las dos mediciones estaba mal. Estaban mal las dos, cada una por su lado, y perseguirlas es lo que dejó el hecho de esta nota.
El 54,62 % salía de sumar los módulos de las réplicas en vez de las réplicas. La fórmula dice , no , y la diferencia es la fase: las réplicas de un pulso de Nyquist se cancelan entre sí, y un módulo no puede cancelar nada porque no tiene signo. El detalle de por qué el error sobrevivió tanto es el que vale: sobre el coseno realzado, sumar módulos da 0,0173 % —o sea, pasa el examen—. Sólo falla en el rectángulo, que es justamente donde las réplicas tienen que restarse. El método equivocado funciona en el caso donde uno lo prueba y miente en el caso que a uno le interesa.
El otro error estaba en la ISI del rectángulo de dos duraciones, que daba cero y tiene el 100 %. Ese pulso tiene dos muestras que valen exactamente el máximo: la del símbolo propio y la del siguiente. Medir la interferencia excluyendo «todas las muestras que valgan como el pico» excluye a las dos, no queda nada que mirar, y el peor pulso posible sale perfecto. Lo que hay que excluir es el índice del pico, no su valor — y en cuanto se hace, ese pulso pasa a marcar 0,00 dB, que es lo que le corresponde.
La moraleja operativa de los dos: un criterio que dice que un pulso perfecto no sirve, o que el peor pulso sirve, está mal implementado. Vale la pena tener a mano un caso de cada extremo antes de creerle a la curva.
Con el reloj en cero los bastones azules caen sobre las líneas de la grilla, todos menos uno miden cero, y abajo la curva del plegado está apoyada sobre la línea de puntos sin despegarse. Una muestra de corrimiento y pasan las dos cosas al mismo tiempo: los bastones se salen de la grilla y brotan del piso, y la curva de abajo se arruga. No hay ningún ajuste del widget en el que una de las dos se rompa sola, y la sección 05 dice por qué no puede haberlo.
El mismo coseno realzado de rolloff 0,5, sin tocarle nada, con el receptor muestreando d muestras más tarde:
| Corrimiento | Rizado | ISI | Amplitud útil |
|---|---|---|---|
| 0 — en fase | 0,0000 % | cero de máquina | 1,0000 |
| 1 muestra — un cuarto de símbolo | 31,51 % | −10,58 dB | 0,8872 |
| 2 muestras — medio símbolo | 122,23 % | 0,00 dB | 0,6002 |
| 3 muestras | 31,51 % | −10,58 dB | 0,8872 |
| 4 muestras — un símbolo entero | 0,0000 % | cero de máquina | 1,0000 |
Tres cosas para leer. La primera es el salto de la primera fila a la segunda: un cuarto de símbolo de error de reloj convierte un pulso perfecto en uno con 29,6 % de interferencia, y de paso se lleva 1,04 dB de amplitud. La segunda es la fila del medio, que es el peor caso posible y no por poco: a medio símbolo, por simetría, la muestra del símbolo propio y la del vecino valen exactamente lo mismo, la ISI marca 0,00 dB y el plegado toca el cero en el borde de la banda —un nulo espectral, que ningún ecualizador arregla porque no hay nada que amplificar—.
La tercera es que a cuatro muestras el rizado vuelve a ser 0,0000 %, exacto, y no por casualidad. El criterio sólo ve la fase del reloj dentro del símbolo. Correrlo un símbolo entero no es correrlo: el peine cae sobre los mismos instantes y lee el símbolo de al lado. Eso es un error de sincronismo de trama, que se paga en otro mostrador; en ISI no cuesta nada.
Lo mismo, medido sobre los otros pulsos. El triangular, que alineado es perfecto, salta a 64,85 % con una muestra y a 157,09 % con dos, con −9,54 dB y 0,00 dB de ISI. El coseno realzado de rolloff 0,25 riza un poco menos que el de 0,5 —30,38 % y 110,08 %— y sin embargo su peor interferencia es un poco mayor: −9,80 dB contra −10,58 dB.
Esa inversión conviene anotarla, porque acota lo que las dos lecturas prometen. Se encienden y se apagan juntas —eso es exacto, y la sección que sigue dice por qué—, pero no ordenan igual a dos pulsos que ya están los dos rotos: el rizado pesa el plegado entero y la ISI mira nada más que la muestra más grande del peine. Sirven para decidir si un pulso es de Nyquist en una fase de reloj dada; no para rankear dos que no lo son.
Que dos lecturas distintas se rompan juntas en seis pulsos y cuatro corrimientos no es una correlación: es que son la misma cuenta. Muestrear en en vez de en le agrega a cada réplica del plegado su propio factor de fase:
El es común a todas las réplicas y sale afuera de la suma: no le toca el módulo y por lo tanto no le toca el rizado. Lo que queda adentro es , que es un giro distinto para cada réplica. Las cancelaciones que hacían plana la suma estaban calculadas con las réplicas en su fase original; giradas cada una lo suyo, dejan de cancelar.
Con muestras por símbolo y un corrimiento de muestras, y ese factor vale . Vale para todas las réplicas si y sólo si es múltiplo de , que es exactamente la periodicidad de la tabla de arriba, medida antes de derivarla. Y el mismo factor es el que, del otro lado de la igualdad de Poisson, corre el peine de muestras: por eso el rizado y la ISI no pueden romperse por separado ni arreglarse por separado. Cualquier rutina que calcule el plegado tiene que pedir el instante de referencia; si lo adivina —tomando el pico, por ejemplo— esconde justamente esto, y el criterio pasa a parecer una propiedad del pulso solo.
Vale la pena mover el reloj con el rectángulo de un símbolo puesto, porque no pasa nada. El rizado se queda en 0,0000 % y la ISI en cero exacto para cualquier corrimiento, y la amplitud útil ni se mueve. No es un defecto de la medición: es que un pulso que dura exactamente un símbolo nunca se solapa con su vecino, así que el peine —caiga donde caiga dentro del símbolo— encuentra una sola muestra distinta de cero. El rectángulo no es de Nyquist en un instante: lo es en todos.
Es el caso degenerado que enseña de qué estaba hecha la sensibilidad al retardo. Lo que se rompe al correr el reloj no es «el pulso»: son los cruces por cero que el pulso tenía puestos justo en los instantes de los vecinos, y que dejan de estar debajo del peine apenas el peine se corre. Un coseno realzado tiene ISI cero porque sus colas están cosidas a esa grilla; un rectángulo de un símbolo la tiene porque no tiene colas. La primera clase de cero es frágil y la segunda no, y el criterio de Nyquist por sí solo no distingue una de otra.
En el otro extremo está el rectángulo de dos símbolos, que marca 157,09 % y 0,00 dB con el reloj en cualquier posición: nunca funciona, y correr el reloj tampoco lo empeora. Y el gaussiano, que no cruza el cero en ningún lado, arranca ya roto —200,51 % y −6,03 dB, casi la mitad de la amplitud del símbolo en interferencia— y empeora hasta 216,02 % a medio símbolo. Un pulso sin cruces por cero no tiene ningún instante privilegiado que perder.
La misma filmina que trae el espectro plegado trae el diagrama de ojo, y no es casualidad que estén juntos: son el mismo hecho medido con dos instrumentos. El ojo se abre en el instante en el que el pulso no pisa a sus vecinos y se cierra en cuanto uno muestrea afuera de ese instante; el plegado está plano para esa fase de reloj y se arruga en cuanto la fase se corre. La fila de medio símbolo de la tabla de arriba es, en el ojo, el punto donde las trazas se cruzan: la apertura vertical vale cero y la ISI marca 0,00 dB.
De ahí sale la consecuencia de diseño, que es la única razón por la que esto importa. El ancho del ojo —cuánto se puede correr el reloj antes de que la apertura se coma el margen— no es un dato del receptor: lo fija el pulso que eligió el transmisor. Un pulso puede tener ISI cero y una tolerancia al jitter ridícula, y el criterio de Nyquist, que es una condición puntual, no lo dice. Por eso «este pulso no deja ISI» se completa con «medido con el reloj acá», y por eso la nota que sigue —donde el filtro adaptado entra a mover las cosas— empieza preguntando dónde quedó el instante bueno.