La filmina 2 pide dos cosas del receptor y las pide como si fueran independientes. Una es que decida con la mayor relación señal a ruido posible, y para eso el filtro de recepción tiene que ser el adaptado al pulso que llega. La otra es que el pulso total, el que el receptor efectivamente muestrea, siga sin dejar interferencia entre símbolos. Las dos son razonables, las dos se cumplen sin esfuerzo mientras el canal sea un impulso, y en cuanto el canal deja de serlo son incompatibles.
Medido sobre la cadena que arma el script E_folded_spectrum.m, con el receptor adaptado al transmisor más el canal, que es como la escribe la cátedra: con canal ideal la peor interferencia en los instantes de símbolo vale −72,7 dB, y con un pasabajos de verdad, −31,2 dB. 41 dB, sin tocar una sola línea del pulso. El transmisor manda exactamente la misma raíz de coseno realzado en los dos casos.
Lo que sigue es por qué esos 41 dB no son un defecto de implementación sino la consecuencia aritmética de haber pedido las dos cosas, y qué pasa —medido, porque yo esperaba otra cosa— cuando uno intenta escaparse adaptando el receptor sólo al transmisor.
Si es el pulso que llega a la entrada del receptor y el ruido es blanco de varianza , la relación señal a ruido en el instante de decisión es un cociente entre un producto interno y una norma:
La desigualdad es Cauchy–Schwarz y se alcanza con igualdad en un solo caso: cuando es proporcional a conjugado y dado vuelta. Eso es lo que escribe el script, en una línea:
Con h_tx_ch el pulso del transmisor ya convolucionado con el canal. O sea: el receptor no se adapta al pulso que el diseñador eligió, se adapta al pulso que llega. Es la única elección que alcanza el techo de la SNR, y el techo no depende del receptor: depende sólo de la energía del pulso recibido. Cualquier otro filtro deja SNR sobre la mesa.
Hasta acá no hay ningún conflicto a la vista. El conflicto aparece cuando uno se pregunta qué forma tiene el pulso total que sale de ese filtro.
Convolucionar una señal con su propia versión dada vuelta y conjugada es, exactamente, autocorrelarla. En frecuencia eso tiene una consecuencia inmediata y brutal: el espectro del pulso total es el módulo al cuadrado de lo que entró.
El primer factor es justamente el motivo por el que el transmisor manda una raíz de coseno realzado: al cuadrado da el coseno realzado, que es de Nyquist. Todo el diseño de partir el pulso en dos mitades —que es la primera nota de esta unidad— existe para que este cuadrado salga bien. Y sale bien: con el criterio de Nyquist se cumple, el plegado da plano y los instantes de símbolo valen cero.
El segundo factor es el problema. No hay ninguna razón para que el canal, al cuadrado, respete el criterio de Nyquist, y peor: el cuadrado empeora lo que el canal ya hacía. Un pasabajos que atenúa el borde de la banda a 0,8 lo deja en 0,64 después del adaptado. La forma del pulso total no es la que se diseñó, es la que el canal permitió, y elevada al cuadrado.
Y acá está el nudo, dicho con todas las letras: el cuadrado no es un descuido, es la definición del filtro adaptado. Para maximizar la SNR hay que correlacionar contra lo que llega; correlacionar contra lo que llega es elevar su espectro al cuadrado; y elevar al cuadrado un espectro que no es plano lo aleja del criterio de Nyquist en vez de acercarlo. Las dos propiedades no se pelean por casualidad: la operación que consigue una es la que rompe la otra.
Los parámetros son los de la cátedra: sobremuestreo N = 4, raíz de coseno realzado de rolloff 0,5 con 101 coeficientes, que es lo que devuelve root_raised_cosine.m. El canal «real» es un pasabajos de fase lineal de 67 coeficientes con corte en 0,3 de la frecuencia de Nyquist de muestreo —o sea en 0,15 · fs—, del mismo estilo que el fir1 que arma el script. La interferencia se mide como el mayor de los instantes de símbolo distintos del pico, relativo al pico:
| canal | ISI máxima | en dB |
|---|---|---|
| impulso (ideal) | 2,324 · 10⁻⁴ | −72,7 dB |
| pasabajos, corte 0,3 | 2,729 · 10⁻² | −31,2 dB |
Los 41 dB están. Vale aclarar qué es y qué no es cada número. El dB del canal ideal no es cero: el coseno realzado exacto da cero de máquina en los instantes de símbolo —del orden de —, y lo que se lee acá es el precio de haber truncado la raíz a 101 coeficientes, igual que el error de F_RRC_RRC_RC.m al comparar la raíz al cuadrado contra el coseno realzado. Es el piso del experimento, no una medición de interferencia. El dB sí lo es, y está 41 dB por encima de ese piso.
Que la interferencia quede 31 dB por debajo del pico suena inofensivo hasta que uno recuerda contra qué compite. En PAM binaria la distancia entre el nivel correcto y el umbral es el pico entero; en PAM-8, un séptimo de eso. Una interferencia del 2,7 % del pico se come casi el 20 % del margen de una PAM-8 antes de que llegue el primer fotón de ruido, y la ISI —a diferencia del ruido— no promedia a cero: es determinista, depende de los símbolos vecinos, y en la peor combinación se suma toda junta.
Con el canal en impulso los dos paneles cierran y los dos receptores dan lo mismo, porque son el mismo filtro: adaptarse al transmisor y adaptarse al transmisor más un impulso es la misma cuenta. Ésa es la posición honesta para empezar, porque es la que hace parecer que el filtro adaptado es gratis. Cambiá el canal y mirá el panel de abajo: los palitos que estaban aplastados contra el piso se levantan, y el de arriba muestra por qué —la curva azul deja de apoyarse en el cero en cada instante de símbolo—.
Hay una salida que se le ocurre a cualquiera y que el segundo control del widget deja probar: si el problema es que el receptor copia la distorsión del canal y la eleva al cuadrado, no le demos el canal. Que se adapte sólo al pulso del transmisor. Entonces el espectro del pulso total queda con el canal a la primera potencia:
Yo esperaba que eso conservara bastante mejor la forma del pulso, a cambio de resignar el techo de SNR: la historia limpia de «ninguno de los dos gana las dos cosas». Lo medí y la historia no es ésa. Acá están los cuatro canales del widget contra los dos receptores, con la misma cadena, los mismos 101 coeficientes y el mismo criterio:
| canal | ISI, TX+canal | ISI, sólo TX | gana sólo TX | SNR que resigna |
|---|---|---|---|---|
| impulso | −72,7 dB | −72,7 dB | 0,0 dB | 0,00 dB |
| pasabajos suave | −31,2 dB | −34,6 dB | 3,4 dB | 0,07 dB |
| pasabajos duro | −7,9 dB | −9,2 dB | 1,4 dB | 1,24 dB |
| eco 1 + 0,3 z⁻² | −20,1 dB | −16,3 dB | −3,7 dB | 0,18 dB |
Tres cosas, y las tres corrigen lo que yo había escrito antes de medir.
La primera: en los dos pasabajos la predicción se cumple, pero por 3,4 y 1,4 dB. Es una mejora real y es ridícula al lado de los 41 dB que costó el canal. Renunciar al filtro adaptado no recupera lo que el canal se llevó; recupera una astilla. Quien quiera esos 41 dB de vuelta necesita un ecualizador, que es otra cosa y otra unidad.
La segunda: con el eco la predicción se da vuelta. Adaptarse sólo al transmisor da 3,7 dB peor, y el apartamiento de forma —cuánto se despega el pulso total del coseno realzado ideal, medido punto a punto con los dos normalizados a pico 1— pasa de 0,099 a 0,186, casi el doble. Con un canal de dos rayos, el filtro adaptado hace algo que el otro no hace: correlaciona contra el eco, y al correlacionar contra él lo suma en fase en el instante del pico en vez de dejarlo suelto en el instante de al lado. La intuición de «no copies la distorsión» vale para un canal que sólo atenúa, y deja de valer para uno que repite.
La tercera es la que me parece la más útil, y es sobre el canje. En el pasabajos suave, adaptarse sólo al transmisor mejora la ISI 3,4 dB y cuesta 0,07 dB de SNR: eso no es un canje, es plata en el piso. En el pasabajos duro mejora 1,4 dB y cuesta 1,24 dB: ahí sí hay canje, y es un empate. La frase «ninguno de los dos gana las dos cosas» es falsa como ley general: cuán caro sale abandonar el filtro adaptado depende de cuánto se parezcan los dos filtros, y con un canal suave se parecen tanto que abandonarlo casi no se paga. Lo único que vale siempre es la desigualdad de arriba: el adaptado nunca da menos SNR, y la columna de la derecha, que nunca es negativa, es el control de que la cuenta está bien hecha.
Al medir la tabla anterior apareció algo que no tenía nada que ver con lo que estaba buscando y que vale más que la tabla. Los canales del widget tienen todos una cantidad impar de coeficientes, y eso no es un detalle de implementación: es lo único que hace justa la comparación.
Un pasabajos de fase lineal con una cantidad par de coeficientes retarda medio período de muestreo. Con 67 coeficientes el retardo es de 33 muestras, entero; con 68, de 33,5. Ahora mirá qué le hace ese medio período a cada receptor, con el mismo pasabajos de corte 0,3:
| canal | retardo | ISI, TX+canal | ISI, sólo TX |
|---|---|---|---|
| 67 coeficientes | 33 muestras | −31,2 dB | −34,6 dB |
| 68 coeficientes | 33,5 muestras | −31,3 dB | −16,6 dB |
Un coeficiente de diferencia. El receptor adaptado a TX más canal no se entera —se mueve 0,1 dB— y el adaptado sólo al transmisor se desploma 18 dB. Y no es el coeficiente: agregándole al canal de 67 un cero adelante, que también lo deja en 68 pero con un retardo de 34 muestras enteras, los dos receptores dan exactamente lo mismo que antes. Lo que muerde es la media muestra.
El motivo es geométrico y es bonito. La salida del filtro adaptado es una autocorrelación, y una autocorrelación es par: su pico cae siempre en una muestra, nunca entre dos, sea cual sea el retardo del canal. El filtro adaptado se alinea solo. El que se adapta sólo al transmisor no tiene esa propiedad: hereda el retardo fraccionario del canal tal cual, y muestrea un octavo de símbolo corrido del centro del pulso. Eso es interferencia por reloj mal puesto, no por forma del pulso —es exactamente la trampa que el espectro plegado de E_folded_spectrum.m muestra en frecuencia—, y basta para enterrar los 3,4 dB que la sección anterior había conseguido.
Vale como advertencia práctica en las dos direcciones. Si uno mide una cadena y le da una ISI escandalosa, lo primero que hay que descartar no es el pulso sino el instante de muestreo. Y si el receptor que uno eligió no se alinea solo, el sincronizador de símbolo deja de ser un bloque accesorio del diagrama y pasa a ser el que decide si la cadena funciona.