Pasado π, subir la frecuencia te frena

Una señal de tiempo discreto es una lista de números, $x[n]$, y entre un $n$ y el siguiente no hay nada que preguntarle: ni cero, ni «poco» — no existe. De esa familia de listas, la que más importa en este curso es la exponencial compleja, $A·e^{j{\omega }_{0}n}$, porque un sistema lineal e invariante en el tiempo la deja pasar sin tocarle la frecuencia. Y esa familia tiene una propiedad que no existe en tiempo continuo: pasado ${\omega }_0=\pi$, subir ${\omega }_0$ no acelera nada. Frena.

$\cos (\mathrm{1,5}\pi ·n)$ oscila más lento que $\cos (\mathrm{0,9}\pi ·n)$, aunque $\mathrm{1,5}\pi$ sea el número más grande de los dos. Contados a mano sobre las mismas 40 muestras ($n$ de 0 a 39): $\cos (\mathrm{0,9}\pi ·n)$ cruza el cero 35 veces y $\cos (\mathrm{1,5}\pi ·n)$ lo cruza sólo 19 — subir ${\omega }_0$ un 67% (de $\mathrm{0,9}\pi$ a $\mathrm{1,5}\pi$) le sacó casi la mitad de los cruces. No es una ilusión del dibujo ni una consecuencia de haber muestreado nada: es la ecuación misma, y no hace falta ningún conversor A/D para que se cumpla.

01 · ω₀ y ω₀ + 2π son exactamente la misma señal

Evaluá $e^{j({\omega }_0+2\pi )n}$: por la fórmula de Euler es $e^{j{\omega }_{0}n}·e^{j2\pi n}$, y el segundo factor vale 1 para todo n — porque $n$ es un entero, y $e^{j2\pi ·\mathrm{entero}}$ vale 1 siempre. En tiempo continuo $e^{j2\pi t}$ no vale 1 para cualquier $t$, sólo en los enteros. Esa diferencia de una palabra —«entero» en vez de «real»— es la que separa al tiempo discreto del continuo en este punto, y de ella sale todo lo que sigue: $e^{j{\omega }_{0}n}$ y $e^{j({\omega }_0+2\pi )n}$ no se parecen, son la misma secuencia de números, muestra por muestra. Con $\cos$ pasa lo mismo: $A·\cos (({\omega }_0+2\pi ·r)n+\phi )=A·\cos ({\omega }_{0}n+\phi )$, para cualquier entero $r$.

La consecuencia práctica: ninguna frecuencia digital vive fuera de un tramo de largo $2\pi$. Todo lo de afuera —${\omega }_0+2\pi$, ${\omega }_0-2\pi$, ${\omega }_0+200\pi$— es una copia exacta de algo que ya está adentro. El resto del curso va a vivir en $[0,\pi ]$ o en $[-\pi ,\pi )$ por esta razón, no por prolijidad de notación.

02 · Por qué frena, y no sólo se repite

Que ${\omega }_0$ y ${\omega }_0+2\pi$ sean la misma señal no explica por qué subir ${\omega }_0$ frena algo: una señal podría repetirse sin invertir su tendencia. Lo que decide es cuál copia de $2\pi$ queda más cerca de cada ${\omega }_0$. Entre 0 y π la copia más cercana es 0, y la distancia a ella —la frecuencia que en verdad se percibe, «plegada» a $[0,\pi ]$— crece junto con ${\omega }_0$: más ω₀, más rápido, como cualquiera esperaría de tiempo continuo. Pero apenas ${\omega }_0$ pasa π, la copia más cercana deja de ser 0 y pasa a ser $2\pi$: la distancia que importa es $2\pi -{\omega }_0$, y esa resta decrece a medida que ${\omega }_0$ sigue subiendo. $\mathrm{1,5}\pi$ queda a $\mathrm{0,5}\pi$ de $2\pi$ — la misma distancia que separa a $\mathrm{0,5}\pi$ de 0 —, y por eso $\cos (\mathrm{1,5}\pi ·n)$ y $\cos (\mathrm{0,5}\pi ·n)$ no se parecen: son, muestra por muestra, la misma lista de números. Los 19 cruces de arriba no son una coincidencia con los de $\mathrm{0,5}\pi$: son literalmente la misma cuenta.

Este mismo pliegue reaparece en la Unidad 2 de este curso, en la nota del aliasing — pero llega ahí por otro camino: convirtiendo una frecuencia continua a una digital a través de un muestreo real, con un conversor A/D de por medio. Acá no hay ninguna señal continua ni ningún muestreo: $e^{j\omega n}$ es periódica en $\omega$, con período $2\pi$, sólo porque $n$ es entero. Es anterior a la idea de muestrear cualquier cosa. Son parientes en la forma —la misma resta módulo un período—, no la misma nota.