Unidad 1 · Filtrado digital
El apunte de la cátedra levanta un sistema LTI en tres pasos y llega a una fórmula: . Antes de mirar qué le hace un filtro concreto a una señal, vale la pena mirar qué cuesta. El promediador móvil —el que reemplaza cada muestra por el promedio de las últimas — es el sistema más simple que suaviza ruido, y lo que suaviza lo cobra en una sola moneda: retardo. No existe una versión de este filtro que alise sin atrasar. La proporción, además, es exacta: cada muestra que se suma para promediar es, con precisión de fórmula, media muestra más de espera.
Medido contra el módulo: un promediador de muestras atrasa la señal 4,0 muestras —a menos de 2×10⁻¹⁵ de , el piso de la coma flotante— y redondea cualquier flanco en un ancho de 8 muestras, exactamente . A cambio, el desvío del ruido en el tramo plano de la señal cae al 24,7% del original. Y un hecho aparte, que no depende de nada de esto: encadenar un promediador de 3 muestras con uno de 5 —en cualquier orden— da el mismo resultado con una diferencia máxima de 2,22×10⁻¹⁶, el piso de precisión de la máquina. Lo que sigue es de dónde sale cada número.
Un sistema es una transformación que convierte una entrada en una salida, . El apunte cataloga cuatro propiedades para saber con qué bicho se está tratando. Lineal: la respuesta a una suma es la suma de las respuestas, y escalar la entrada escala la salida por igual —alcanza un contraejemplo numérico para tirar abajo la linealidad de algo, pero demostrar que sí es lineal pide el caso general—. Invariante en el tiempo: retrasar la entrada sólo retrasa la salida, sin cambiarle la forma; al sistema «no le importa qué hora es». Causal: la salida de hoy no mira el futuro. Estable (BIBO): entrada acotada, salida acotada. De las cuatro, sólo las dos primeras hacen falta para lo que sigue.
Cualquier señal es una suma de impulsos escalados y desplazados: , donde son números y son las piezas elementales. Si el sistema es lineal, la respuesta a esa suma es la suma de las respuestas: llamando a la respuesta al impulso desplazado , queda . Hasta acá cada impulso puede tener una respuesta de forma distinta —eso es un sistema variante en el tiempo, y hacen falta infinitas para describirlo entero—.
La invariancia en el tiempo es la que cierra la cuenta: la respuesta a es la respuesta a , desplazada, así que . Reemplazando: . La consecuencia es enorme: un sistema LTI queda descripto por una sola secuencia, , su respuesta al impulso. Conocerla es conocer la salida para cualquier entrada —por eso a un FIR o a un IIR se los llama así por ella—.
Si además el sistema es causal ( para ), la suma arranca en en vez de en : , para . Léela en voz alta: la salida de hoy es una combinación de la entrada de hoy y de las anteriores, pesada por . Esa frase es, literalmente, la línea de retardos de un FIR: un registro de muestras, cada una multiplicada por su peso, todo sumado en un único acumulador.
El promediador de muestras es el más simple que hace algo: valores, todos iguales a , durante muestras. Ese es simétrico alrededor de su centro, en —y un FIR simétrico tiene retardo de grupo constante, igual a ese centro, para toda frecuencia—. No es una aproximación de libro: medido contra el módulo, da muestras de retardo, con una diferencia contra la fórmula menor a 2×10⁻¹⁵.
Ahí está el precio, escrito en la fórmula misma: sube exactamente medio por cada muestra que se agrega a . No es una tendencia aproximada: es la derivada de una recta. Es tan literal que en el retardo es muestras exactas —ni redondeado ni promediado, la mitad de una muestra, sin metáfora—. Cada muestra de más que entra al promedio es, con exactitud, media muestra más de espera antes de que la salida refleje lo que ya pasó.
Con no hay nada que mirar: es un único 1, y la salida es la entrada, sin retardo. Subí el deslizador y las dos curvas se separan: la azul se aquieta —el desvío remanente cae— pero también se atrasa y su flanco se estira. Ninguno de los dos números geométricos, ni el ancho del flanco () ni el retardo (), depende de cuánto ruido tenga la entrada: son una propiedad de , no de —la convolución es lineal, así que el tramo del escalón y el tramo del ruido se resuelven cada uno por su cuenta y después se suman—. El único número que sí depende del ruido concreto es el desvío remanente, y por eso es el único que el widget mide en vivo sobre la señal en pantalla, en vez de sacarlo de una fórmula.
Las propiedades de la convolución son las propiedades de los sistemas LTI. La distributiva, , dice que dos sistemas en paralelo equivalen a uno solo con . La asociativa, , dice que dos sistemas en cascada equivalen a uno con —y, sumada a la conmutativa de la convolución, ese no cambia si se invierte el orden de la cascada—.
Medido, no supuesto: sobre la misma señal que dibuja el widget de arriba, encadenar un promediador de 3 muestras con uno de 5 —primero el de 3 y después el de 5, o al revés— da una diferencia máxima de 2,22×10⁻¹⁶ en las 106 muestras de la convolución completa. Es el piso de precisión de la máquina, no una coincidencia del ejemplo: la cascada es conmutativa porque la convolución lo es, y esa igualdad no depende de qué se elija ni de qué señal se le dé de entrada. No hace falta un widget para verlo —no habría nada para mover: las dos curvas serían, literalmente, la misma curva—, pero sí vale como número: reordenar una cascada de filtros es gratis, exactamente al revés que agrandar uno solo.