Ejercicio 19 de la lista del parcial 3 · Guía 11 · sin constantes, cada uno de los cinco se describe por su lugar en el orden
El enunciado, textual: «Sea . Sea , con y . Para cada elemento de de una formula que lo defina.» Es el Ejercicio 12 de la Guía 11.
El tipo no tiene constantes ni funciones: sólo un nombre de relación binaria, , que la estructura interpreta como «divide a» sobre cinco números. Es la divisibilidad con la diagonal: para cada , porque todo número se divide a sí mismo. Ordenados por divisibilidad forman dos caminos de 1 a 30: uno largo, , y uno corto, .
La consigna pide una fórmula para cada elemento, así que ya dice que los cinco son definibles: no hay mitad negativa. Cada fórmula tiene que tener a lo sumo libre, la tiene que cumplir el elemento y nadie más. Y como no hay nombres de constante, no se puede nombrar a nadie: todo sale de la forma del orden. Por ejemplo, , « divide a todos», la cumple el 1 y nadie más.
Elemento definible (Guía 11, p. 4). Un elemento de es definible en si hay una fórmula tal que y para cada ; se dice que define a . Con igual a : la fórmula no puede tener otra variable libre, y la cumple y sólo cuando toma ese valor. El concepto entero está en Elementos definibles.
Lo estricto se escribe. Como incluye la diagonal, « divide a y es distinto» es . Para pensar, lo llamamos « divide estrictamente a »; en la respuesta va escrito entero, porque no es un símbolo del tipo.
El 1 y el 30 están en los extremos. : « divide a todos». : «todos dividen a ». El 1 divide a todos y el 30 es múltiplo de todos; en el medio nadie hace ninguna de las dos cosas, porque 3 y 5 no se dividen entre sí, ni 5 y 6.
Los del medio, por lo que tienen abajo y arriba. Contando sólo lo estricto: el 3 tiene abajo al 1 y arriba la cadena ; el 5 tiene abajo al 1 y arriba sólo al 30; el 6 tiene abajo la cadena y arriba al 30. Cada uno se separa por algo de esa lista.
El 3: «hay una cadena de dos pasos estrictos encima de » la cumplen el 1 y el 3 (el 1 tiene ). Para sacar al 1 se agrega «y algo divide estrictamente a »:
El 6: lo mismo dado vuelta. «Hay una cadena de dos pasos estrictos debajo de » la cumplen el 6 y el 30; para sacar al 30, «y divide estrictamente a algo»:
El 5 es el que está solo en su camino. No se compara —ni divide ni es dividido— con el 3 ni con el 6. El 3 sólo es incomparable con el 5, el 6 también, y el 1 y el 30 se comparan con todos. «Hay alguien con quien no se compara» da ; «hay dos distintos con los que no se compara» da sólo el 5:
Abajo está el diagrama. Cada fórmula ilumina a los que la cumplen; las de cada elemento empiezan por un intento que se queda corto. A la derecha, se arma elemento por elemento, para buscar un isomorfismo que mueva algo y no encontrarlo.
Ningún que mueva algo pasa las condiciones. Medido sobre las biyecciones de en : la única que es isomorfismo es la identidad. No es casual, y no hacía falta buscar: un isomorfismo deja fijo a todo elemento definible, así que si los cinco lo son, no puede mover a ninguno. Es el Ejercicio 36 de la guía, probado en Elementos definibles.
Cada elemento, con una fórmula que lo define y la razón en una línea.
Olvidar que es reflexiva. «Algo divide a », , la cumplen los cinco: puede ser el mismo . Y « no divide a nadie», , no la cumple ninguno, ni siquiera el 30, que se divide a sí mismo. Para el 30 hace falta «sólo se divide a sí mismo», , o la de arriba. Cada «estrictamente» lleva su .
Nombrar números. no es una fórmula de este tipo: no hay nombres de constante, y 3 no es un término. Lo que se quiere decir de un elemento se dice de su lugar en el orden.
Dejar otra variable libre. En la está libre, y entonces no es una fórmula . Las variables auxiliares van todas cuantificadas.
Los paréntesis. Una conjunción de tres cosas no existe en el lenguaje: se escribe , como en la fórmula del 5.
Con una constante en el tipo y dos elementos que no se separan, el mismo trabajo es el Ejercicio 18; con funciones en lugar de relación, el Ejercicio 20.