La relación ⊨ y la validez universal

Una fórmula no es verdadera o falsa sola. Es verdadera o falsa en una estructura, que dice qué significan los nombres del tipo, y para una asignación, que dice qué elemento vale cada variable. La Guía 10 define esa relación entre tres cosas, $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$, por recursión en la forma de $\phi$: una cláusula por cada forma que puede tener una fórmula. Las sentencias verdaderas en una estructura, las universalmente válidas y las fórmulas equivalentes se definen a partir de ella.

01 · Las nueve cláusulas

Fijemos un tipo $\tau$, una estructura $𝐀=(A,i)$ de tipo $\tau$ y una asignación $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,\dots )\in A^{𝐍}$. Para $a\in A$, ${\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})$ es la asignación que resulta de reemplazar en $\overrightarrow{a}$ el $i$-ésimo elemento por $a$. Los valores $t^{𝐀}[\overrightarrow{a}]$ de los términos son los de El valor de un término. La definición, como en la página 4 de la Guía 10:

1. (1) IgualdadSi $\phi =(t\equiv s)$: $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $t^{𝐀}[\overrightarrow{a}]=s^{𝐀}[\overrightarrow{a}]$.
2. (2) RelaciónSi $\phi =r(t_1,\dots ,t_m)$: $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $(t_1^{𝐀}[\overrightarrow{a}],\dots ,t_m^{𝐀}[\overrightarrow{a}])\in i(r)$.
3. (3) ConjunciónSi $\phi =({\phi }_1\wedge {\phi }_2)$: si y sólo si $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ y $𝐀\models {\phi }_2[\overrightarrow{a}]$.
4. (4) DisyunciónSi $\phi =({\phi }_1\vee {\phi }_2)$: si y sólo si $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ o $𝐀\models {\phi }_2[\overrightarrow{a}]$.
5. (5) ImplicaciónSi $\phi =({\phi }_1\to {\phi }_2)$: si y sólo si $𝐀⊭{\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ o $𝐀\models {\phi }_2[\overrightarrow{a}]$.
6. (6) EquivalenciaSi $\phi =({\phi }_1\leftrightarrow {\phi }_2)$: si y sólo si ya sea se dan $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ y $𝐀\models {\phi }_2[\overrightarrow{a}]$, o se dan $𝐀⊭{\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ y $𝐀⊭{\phi }_2[\overrightarrow{a}]$.
7. (7) NegaciónSi $\phi =\neg {\phi }_1$: si y sólo si $𝐀⊭{\phi }_1[\overrightarrow{a}]$.
8. (8) Para todoSi $\phi =\forall x_i{\phi }_1$: si y sólo si para cada $a\in A$ se da que $𝐀\models {\phi }_1[{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$.
9. (9) ExisteSi $\phi =\exists x_i{\phi }_1$: si y sólo si hay un $a\in A$ tal que $𝐀\models {\phi }_1[{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$.

$𝐀⊭\phi [\overrightarrow{a}]$ quiere decir que no se da $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$. Cuando se da, la guía dice que $𝐀$ satisface $\phi$ en la asignación $\overrightarrow{a}$, o que $\phi$ es verdadera en $𝐀$ para $\overrightarrow{a}$; el valor de verdad es 1 si se da y 0 si no.

Las cláusulas se reparten el trabajo. Sólo (1) y (2) miran elementos de $A$, a través de los valores de los términos. De (3) a (7) no miran elementos: combinan valores de verdad de las piezas en la misma asignación. Y (8) y (9) son las únicas que cambian la asignación, y la cambian en un solo lugar, el $i$ de la variable cuantificada: por eso, para saber si $\forall x_i{\phi }_1$ vale en $\overrightarrow{a}$, hay que saber cómo se porta ${\phi }_1$ en otras asignaciones.

02 · Por qué la recursión define algo

La guía lo justifica en la página 4, capa por capa. Para una atómica, $\phi \in F_0$, las cláusulas (1) y (2) dicen cuándo se da $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ y cuándo no. Si eso ya está decidido para las fórmulas de $F_k$ y todas las asignaciones, las cláusulas (3) a (9) lo deciden para las de $F_{k+1}$, porque sólo preguntan por piezas de $F_k$. Empezando en la capa 0, queda decidido para todas.

Y es crucial, dice la página 5, que la lectura sea única. Cada cláusula pregunta por la forma de $\phi$ y por sus piezas; si $\phi$ pudiera leerse como $({\phi }_1\wedge {\phi }_2)$ de dos maneras, o como una conjunción y también como una implicación, la definición podría contestar dos cosas distintas. La lectura única de fórmulas de la Guía 9 garantiza que cada fórmula no atómica tiene una sola descomposición.

03 · Los ejemplos de la guía

En las páginas 5 y 6, con el tipo

$$\tau =(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3)\})$$

y la estructura de universo $\mathrm{ℝ}$: $i(\mathrm{uno})=9$, $i(\mathrm{doli})=0$, $i(\mathrm{MAS})(x,y,z,w)=2x+4y$, $i(\mathrm{P})(x)=5^x$ e $i(\mathrm{Her})=\{(x,y,z):x·y·z=9\}$. La asignación es $\overrightarrow{a}=(1,2,3,4,5,\dots )$.

• (E1) $(\mathrm{MAS}(\mathrm{X}1,\mathrm{uno},\mathrm{X}3,\mathrm{X}554)\equiv \mathrm{P}(\mathrm{X}3))$. Los dos términos valen 38 y 125, así que por (1) la fórmula es falsa en $\overrightarrow{a}$.
• (E2) $\neg \mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathrm{X}6)),\mathrm{X}3,\mathrm{doli})$. Los argumentos valen $5^{5^6}$, 3 y 0, y su producto es 0, no 9: por (2) la atómica es falsa, y por (7) la negación es verdadera.
• (E3) $\exists \mathrm{X}3\mathrm{Her}(\mathrm{X}6,\mathrm{X}3,\mathrm{uno})$. Por (9) es verdadera si hay un $r\in \mathrm{ℝ}$ con $𝐀\models \mathrm{Her}(\mathrm{X}6,\mathrm{X}3,\mathrm{uno})[(1,2,r,4,5,\dots )]$, y por (2) eso pide $6·r·9=9$. Con $r=\mathrm{1/6}$ se da: la fórmula es verdadera. La asignación $(1,2,r,4,5,\dots )$ es ${\downarrow }_3^r(\overrightarrow{a})$: el $\exists \mathrm{X}3$ cambia el tercer lugar.

04 · El Lema 2: sólo importan las variables libres

Una asignación da valor a infinitas variables, pero una fórmula sólo usa unas pocas, y de esas, las acotadas se reasignan solas en las cláusulas (8) y (9). El Lema 2 (Guía 10, p. 6) dice que el valor de verdad depende sólo de lo que la asignación le da a las variables libres.

Lema 2. Sea $𝐀$ una estructura de tipo $\tau$ y sea $\phi \in F^{\tau }$. Supongamos que $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ son asignaciones tales que $a_i=b_i$ cada vez que $x_i\in \mathrm{Li}(\phi )$. Entonces $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $𝐀\models \phi [\overrightarrow{b}]$.

La prueba usa dos resultados anteriores. El Lema 1 de la Guía 10 (p. 2): si $t\in T^{\tau }$ y $a_i=b_i$ cada vez que $x_i$ ocurre en $t$, entonces $t^{𝐀}[\overrightarrow{a}]=t^{𝐀}[\overrightarrow{b}]$; su prueba es una inducción en los términos, en El valor de un término. Y el Lema 10 de la Guía 9, que calcula $\mathrm{Li}$ según la forma: en una atómica, $\mathrm{Li}(\phi )$ son las variables que ocurren en sus términos; $\mathrm{Li}(\neg {\phi }_1)=\mathrm{Li}({\phi }_1)$; $\mathrm{Li}(({\phi }_1\eta {\phi }_2))=\mathrm{Li}({\phi }_1)\cup \mathrm{Li}({\phi }_2)$; $\mathrm{Li}(Q{x}_j{\phi }_1)=\mathrm{Li}({\phi }_1)-\{x_j\}$. Está probado en Variables libres.

Prueba. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada $k\in \omega$ sea ${\mathrm{Enu}}_k$ el enunciado:

Sea $𝐀$ una estructura de tipo $\tau$ y sea $\phi \in F_k$. Supongamos que $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ son asignaciones tales que $a_i=b_i$ cada vez que $x_i\in \mathrm{Li}(\phi )$. Entonces $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $𝐀\models \phi [\overrightarrow{b}]$.

La estructura y las dos asignaciones van adentro del enunciado, cuantificadas: en el caso del $\forall$ la hipótesis inductiva se aplica a ${\downarrow }_j^a(\overrightarrow{a})$ y ${\downarrow }_j^a(\overrightarrow{b})$, que no son las asignaciones del paso.

Caso base: ${\mathrm{Enu}}_0$. Sea $\phi \in F_0$, o sea $\phi =(t\equiv s)$ o $\phi =r(t_1,\dots ,t_m)$, y supongamos $a_i=b_i$ para cada $x_i\in \mathrm{Li}(\phi )$. Por el Lema 10 de la Guía 9, $\mathrm{Li}(\phi )$ son las variables que ocurren en los términos de $\phi$, así que $a_i=b_i$ cada vez que $x_i$ ocurre en $t$, y lo mismo para $s$ y para cada $t_l$. Por el Lema 1, $t^{𝐀}[\overrightarrow{a}]=t^{𝐀}[\overrightarrow{b}]$ y $s^{𝐀}[\overrightarrow{a}]=s^{𝐀}[\overrightarrow{b}]$, y entonces, por (1), $𝐀\models (t\equiv s)[\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $t^{𝐀}[\overrightarrow{a}]=s^{𝐀}[\overrightarrow{a}]$, si y sólo si $t^{𝐀}[\overrightarrow{b}]=s^{𝐀}[\overrightarrow{b}]$, si y sólo si $𝐀\models (t\equiv s)[\overrightarrow{b}]$. Para $r(t_1,\dots ,t_m)$ es lo mismo con (2): las dos tuplas de valores son iguales, así que una está en $i(r)$ si y sólo si la otra.

Paso: ${\mathrm{Enu}}_k$ implica ${\mathrm{Enu}}_{k+1}$. Supongamos que vale ${\mathrm{Enu}}_k$. Sea $𝐀$ una estructura, $\phi \in F_{k+1}$, y $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ con $a_i=b_i$ para cada $x_i\in \mathrm{Li}(\phi )$. Por definición de $F_{k+1}$ hay varios casos.

Caso $\phi \in F_k$. Es ${\mathrm{Enu}}_k$.

Caso $\phi =\neg {\phi }_1$, con ${\phi }_1\in F_k$. $\mathrm{Li}({\phi }_1)=\mathrm{Li}(\phi )$, así que ${\mathrm{Enu}}_k$ da $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{b}]$. Por (7), $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $𝐀⊭{\phi }_1[\overrightarrow{a}]$, si y sólo si $𝐀⊭{\phi }_1[\overrightarrow{b}]$, si y sólo si $𝐀\models \phi [\overrightarrow{b}]$.

Caso $\phi =({\phi }_1\wedge {\phi }_2)$, con ${\phi }_1,{\phi }_2\in F_k$. $\mathrm{Li}({\phi }_l)\subseteq \mathrm{Li}(\phi )$ para $l=1,2$, así que ${\mathrm{Enu}}_k$ da $𝐀\models {\phi }_l[\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $𝐀\models {\phi }_l[\overrightarrow{b}]$. Por (3), $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ y $𝐀\models {\phi }_2[\overrightarrow{a}]$, si y sólo si $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{b}]$ y $𝐀\models {\phi }_2[\overrightarrow{b}]$, si y sólo si $𝐀\models \phi [\overrightarrow{b}]$. Los casos $({\phi }_1\vee {\phi }_2)$, $({\phi }_1\to {\phi }_2)$ y $({\phi }_1\leftrightarrow {\phi }_2)$ son esta misma cadena con (4), (5) y (6) en lugar de (3): cada una de esas cláusulas decide $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ sólo con los valores de verdad de ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ en $\overrightarrow{a}$, y esos valores son los mismos en $\overrightarrow{b}$.

Caso $\phi =\forall x_j{\phi }_1$, con ${\phi }_1\in F_k$. Sea $a\in A$. Las asignaciones ${\downarrow }_j^a(\overrightarrow{a})$ y ${\downarrow }_j^a(\overrightarrow{b})$ coinciden en cada $x_i\in \mathrm{Li}({\phi }_1)$: si $i=j$, las dos valen $a$ en el lugar $j$; si $i\ne j$, $x_i\in \mathrm{Li}({\phi }_1)-\{x_j\}=\mathrm{Li}(\phi )$, y ahí $a_i=b_i$. Aplicando ${\mathrm{Enu}}_k$ a $𝐀$, ${\phi }_1$ y esas dos asignaciones, $𝐀\models {\phi }_1[{\downarrow }_j^a(\overrightarrow{a})]$ si y sólo si $𝐀\models {\phi }_1[{\downarrow }_j^a(\overrightarrow{b})]$. Entonces, por (8), $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $𝐀\models {\phi }_1[{\downarrow }_j^a(\overrightarrow{a})]$ para cada $a\in A$, si y sólo si $𝐀\models {\phi }_1[{\downarrow }_j^a(\overrightarrow{b})]$ para cada $a\in A$, si y sólo si $𝐀\models \phi [\overrightarrow{b}]$.

Caso $\phi =\exists x_j{\phi }_1$, con ${\phi }_1\in F_k$. Lo mismo con (9): para cada $a$ vale la equivalencia de arriba, así que hay un $a$ con $𝐀\models {\phi }_1[{\downarrow }_j^a(\overrightarrow{a})]$ si y sólo si hay un $a$ con $𝐀\models {\phi }_1[{\downarrow }_j^a(\overrightarrow{b})]$.

Esto prueba ${\mathrm{Enu}}_{k+1}$. Por la Regla de Inducción desde 0, ${\mathrm{Enu}}_k$ vale para todo $k\in \omega$, y como toda fórmula de tipo $\tau$ está en algún $F_k$, vale el lema. ∎

Corolario 3 (Guía 10, p. 7). Si $\phi$ es una sentencia, entonces $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ si y sólo si $𝐀\models \phi [\overrightarrow{b}]$, cualesquiera sean las asignaciones $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Prueba: una sentencia no tiene variables libres, $\mathrm{Li}(\phi )=\mathrm{\varnothing }$, así que la hipótesis del Lema 2 se cumple para cualquier par de asignaciones. ∎

Abajo, una estructura fija y seis fórmulas. Se elige la fórmula y las dos primeras coordenadas de la asignación, y el árbol muestra la recursión: cada subfórmula con la cláusula que la evalúa, la asignación en la que vive y su valor.

En $\forall x_2(\mathrm{P2}(x_2)\to \neg (x_1\equiv x_2))$ la variable $x_2$ aparece, pero acotada: la cláusula (8) la reasigna en cada renglón, y lo que traía $\overrightarrow{a}$ en el lugar 2 se pierde. El valor depende sólo de $a_1$ (es verdadera para $a_1=1$, en 3 de las 9 elecciones). En $(\mathrm{P1}(x_1)\wedge \mathrm{P2}(x_2))$ las dos son libres y las dos importan (verdadera en 4 de 9). Las cuatro sentencias dan 0 de 9 o 9 de 9, nunca otra cosa: es el Corolario 3.

05 · Sentencias verdaderas y universalmente válidas

Por el Corolario 3, el valor de verdad de una sentencia $\phi$ en $𝐀$ es 1 para todas las asignaciones o 0 para todas. En el primer caso $\phi$ es verdadera en $𝐀$ y se escribe $𝐀\models \phi$; en el segundo es falsa en $𝐀$, $𝐀⊭\phi$ (Guía 10, p. 7). La notación sin asignación sólo tiene sentido gracias al corolario.

Una sentencia $\phi$ es universalmente válida si es verdadera en cada estructura de tipo $\tau$: $𝐀\models \phi$ para toda $𝐀$, «o equivalentemente si $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$, para cada estructura $𝐀$ de tipo $\tau$ y cada asignación $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$». Para probarlo en un ejercicio conviene la segunda forma: se toma una estructura y una asignación cualesquiera, y no hace falta el corolario.

Un ejemplo directo, el Ejercicio 9 (a) de la guía: $\forall x_1\exists x_2(x_1\equiv x_2)$. Sean $𝐀$ y $\overrightarrow{a}$ cualesquiera. Por (8) hay que ver que para cada $a\in A$, $𝐀\models \exists x_2(x_1\equiv x_2)[{\downarrow }_1^a(\overrightarrow{a})]$, y por (9) alcanza con un elemento que sirva: el mismo $a$. En ${\downarrow }_2^a({\downarrow }_1^a(\overrightarrow{a}))$ los lugares 1 y 2 valen $a$, así que los dos términos valen $a$ y por (1) $(x_1\equiv x_2)$ es verdadera. Cuando la prueba directa no se ve, va el absurdo.

06 · La prueba por el absurdo

Negar que $\phi$ sea universalmente válida da una estructura $𝐀$ y una asignación $\overrightarrow{a}$ con $𝐀⊭\phi [\overrightarrow{a}]$. A partir de ahí se baja por la fórmula con las cláusulas, y lo que da cada una depende de si se sabe que la pieza es verdadera o falsa:

La columna de la derecha es la de cada cláusula negada: «no (A o B)» es «no A y no B», «no (no A o B)» es «A y no B», «no para cada» es «hay uno que no», «no hay uno» es «para cada, no». La receta:

1. Negar: hay $𝐀$ y $\overrightarrow{a}$ con $𝐀⊭\phi [\overrightarrow{a}]$.
2. Bajar primero por las piezas que no abren casos: implicaciones y disyunciones falsas, conjunciones verdaderas, $\exists$ falsos y $\forall$ verdaderos.
3. Usar al final lo que abre casos, cuando cada caso ya choca con algo.
4. Escribir cada renglón con la cláusula y la línea de la que sale, y con su asignación: una instancia de un cuantificador vive en ${\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})$, no en $\overrightarrow{a}$.
5. Cerrar señalando las dos líneas que se contradicen.

Si en algún paso hace falta llevar el valor de una sentencia de una asignación a otra, hay dos caminos: elegir el elemento de modo que la asignación no cambie (${\downarrow }_i^{a_i}(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}$), o calcularlo con las cláusulas. Invocar el Corolario 3 también vale, pero entonces hay que enunciarlo y probarlo, y con él el Lema 2.

07 · ¿Un monstruo?

En la página 10 la guía observa que, si $\tau$ y $A$ son finitos, el valor de verdad se puede calcular con un programa: datos de entrada, una fórmula $\phi$ y elementos $a_1,\dots ,a_n$ con todas las variables de $\phi$ entre $x_1,\dots ,x_n$; salida, 1 si $𝐀\models \phi [a_1,\dots ,a_n,a_1,a_1,\dots ]$ y 0 si no. El programa calcula «sin pensar». Y pregunta: ¿qué pasa si en algún caso da 1 para una fórmula que a nosotros nos parece falsa? Habríamos creado un monstruo, como el doctor Frankenstein. El ejemplo es

$$\mu =(((\mathrm{P1}(\mathrm{c})\wedge \mathrm{P2}(\mathrm{c}))\to \mathrm{R}(\mathrm{c}))\to ((\mathrm{P1}(\mathrm{c})\to \mathrm{R}(\mathrm{c}))\vee (\mathrm{P2}(\mathrm{c})\to \mathrm{R}(\mathrm{c}))))$$

con $\tau =(\{\mathrm{c}\},\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{P1},\mathrm{P2},\mathrm{R}\},\{(\mathrm{P1},1),(\mathrm{P2},1),(\mathrm{R},1)\})$. Dice que si P1 y P2 juntas alcanzan para R, alguna de las dos sola alcanza, y la intuición pide que hagan falta las dos. Pero una inspección con las cláusulas muestra que $\mu$ es universalmente válida: $\mu$ sólo mira si $i(\mathrm{c})$ está en $i(\mathrm{P1})$, $i(\mathrm{P2})$ e $i(\mathrm{R})$, y en las ocho combinaciones es verdadera.

La explicación de la página 11: el modelo no está mal. En la matemática real no se le asigna valor de verdad a una implicación entre dos afirmaciones concretas ya verdaderas o falsas, y por eso se leen las implicaciones de $\mu$ como si estuvieran «parametrizadas», cuando en una estructura dada $\mathrm{c}$ denota un elemento concreto y fijo. La sentencia parametrizada, con un $\forall x_1$ en cada implicación, sí falla: entre las 1672 estructuras de tipo $\tau$ con universo de hasta tres elementos, es falsa en 112. La prueba de $\mu$ está en La implicación que rompe la intuición.

La otra sentencia de la página 11 es $((\forall x_1\mathrm{P1}(x_1)\to \mathrm{P2}(\mathrm{c}))\to \exists x_1(\mathrm{P1}(x_1)\to \mathrm{P2}(\mathrm{c})))$, y el fenómeno es el mismo, porque un $\forall$ es en algún sentido la conjunción de muchos casos y un $\exists$ su disyunción. Es verdadera en las 228 estructuras de hasta tres elementos de su tipo; la prueba está en Un ∀ es una conjunción larga. La guía cierra diciendo que son casos marginales, que no aparecen en la escritura real de los matemáticos, y que el modelo quizás enseña a pensarlos de una manera más madura.

08 · Dónde se usa en la lista

• Ejercicio 10 y Ejercicio 11: validez universal por el absurdo, con la tabla de la sección 06.
• Ejercicio 12: una inducción sobre $\models$ con la estructura fija y el ${\mathrm{Enu}}_k$ cuantificando todas las asignaciones, por la misma razón que en el Lema 2.
• Ejercicio 13: el reemplazo de un término cae en una atómica, donde trabajan (1) y (2).
• Ejercicio 14 y Ejercicio 15: equivalencias que se prueban con (7), (8) y (9); ver Fórmulas equivalentes.
• Ejercicio 17: una inducción sobre $\models$ que pasa de una estructura a otra por un homomorfismo; las cláusulas (7) y (8) son las que piden las hipótesis.

Para tener a mano

1. Nueve cláusulas: (1) y (2) miran elementos, de (3) a (7) combinan valores en la misma asignación, (8) y (9) cambian la asignación en el lugar $i$.
2. Lema 2: si $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ coinciden en $\mathrm{Li}(\phi )$, $\phi$ vale en las dos o en ninguna. El ${\mathrm{Enu}}_k$ cuantifica $𝐀$, $\phi$, $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ adentro.
3. Corolario 3: una sentencia vale en todas las asignaciones o en ninguna; por eso existe $𝐀\models \phi$ sin corchetes.
4. Universalmente válida: $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ para toda $𝐀$ y toda $\overrightarrow{a}$. Negado: hay una $𝐀$ y una $\overrightarrow{a}$ donde falla.
5. Por el absurdo: primero lo que no abre casos (implicación falsa, disyunción falsa, $\exists$ falso, $\forall$ verdadero), al final lo que sí.