Dos variables, cuatro valores

El enunciado, textual: «Sea $\tau =(\varnothing ,\{{\mathrm{s}}^2,{\mathrm{i}}^2\},\varnothing ,a)$. Sea $t{=}_{d}t(v_1,v_2)\in T^{\tau }$. Sea $𝐀$ una estructura de tipo $\tau$ tal que $(A,{\mathrm{s}}^{𝐀},{\mathrm{i}}^{𝐀})$ es un reticulado terna. Pruebe que $t^{𝐀}[a,b]\in \{a,b,{\mathrm{s}}^{𝐀}(a,b),{\mathrm{i}}^{𝐀}(a,b)\}$, para cada $a,b\in A$». Es el Ejercicio 28 de la Guía 11. Está enunciado en notación declaratoria, y el encabezado de la lista manda resolverlo dentro de ella: con los lemas y las convenciones de la sección «Manejo técnico de la notación declaratoria» de la Guía 11.

Qué es declarar un término y qué es $t^{𝐀}[a_1,\dots ,a_n]$ está en La notación declaratoria; el valor de un término en una asignación, en El valor de un término en una estructura; las siete identidades, en Reticulado par, terna y cuaterna.

01 · Qué pide, en criollo

El tipo no tiene constantes ni relaciones: sólo dos nombres de función de aridad 2, $\mathrm{s}$ e $\mathrm{i}$. Un término es una variable, o $\mathrm{s}(t_1,t_2)$, o $\mathrm{i}(t_1,t_2)$ con $t_1,t_2$ términos. La estructura $𝐀$ interpreta esos dos nombres como las dos operaciones de un reticulado terna: ${\mathrm{s}}^{𝐀}$ e ${\mathrm{i}}^{𝐀}$ cumplen las siete identidades de la Guía 4.

La declaración $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$ dice que $v_1$ y $v_2$ son variables distintas y que en $t$ no ocurre ninguna otra; puede ocurrir una sola de las dos. Y $t^{𝐀}[a,b]$ es el valor de $t$ cuando $v_1$ vale $a$ y $v_2$ vale $b$. El enunciado dice que ese valor, por largo que sea el término, es siempre uno de cuatro elementos: $a$, $b$, su supremo o su ínfimo.

Un ejemplo. En el diamante ${\mathrm{M}}_3$ —un $0$, tres elementos $p$, $q$, $r$ incomparables entre sí y un $1$—, con $a=p$ y $b=q$, los cuatro valores son $p$, $q$, ${\mathrm{s}}^{𝐀}(p,q)=1$ y ${\mathrm{i}}^{𝐀}(p,q)=0$: todo el reticulado menos $r$. El término $t=\mathrm{i}(\mathrm{s}(v_1,v_2),v_1)$ vale ${\mathrm{i}}^{𝐀}({\mathrm{s}}^{𝐀}(p,q),p)={\mathrm{i}}^{𝐀}(1,p)=p$, que es $a$. Y ningún término en dos variables llega a $r$. Medido sobre los 202 términos de nivel a lo sumo 2 en $x_1,x_2$, con todos los pares $a,b$ del diamante, del pentágono ${\mathrm{N}}_5$ y de la cadena de cuatro elementos, el valor cayó entre los cuatro las 13 332 veces.

La razón es que esos cuatro elementos ya forman un conjunto cerrado: el supremo o el ínfimo de dos cualesquiera de ellos vuelve a ser uno de ellos. Un término no hace otra cosa que combinar sus variables con $\mathrm{s}$ e $\mathrm{i}$, así que nunca sale. La prueba tiene dos partes: esa cuenta, que es álgebra de reticulados, y una inducción en notación declaratoria que la usa en cada paso.

02 · Las herramientas

La lista deja usar sin enunciar los lemas Menú y los teoremas de lectura única, y en los ejercicios declaratorios manda usar los lemas y las convenciones de la Guía 11, que se citan con su número. Lo demás se enuncia y se prueba. Las piezas, con las palabras de la guía:

• La declaración (Guía 11, p. 1). Si $v_1,\dots ,v_n\in \mathrm{Var}$ y $t\in T^{\tau }$, escribir $t{=}_{d}t(v_1,\dots ,v_n)$ declara que $v_1,\dots ,v_n$ son variables distintas y que toda variable que ocurre en $t$ pertenece a $\{v_1,\dots ,v_n\}$. No hace falta que ocurran todas. Con $n=0$, $t{=}_{d}t()$ dice que $t$ es cerrado.
• Convención Notacional 2 (p. 2). Declarado $t{=}_{d}t(v_1,\dots ,v_n)$, si $𝐀$ es un modelo de tipo $\tau$ y $a_1,\dots ,a_n\in A$, $t^{𝐀}[a_1,\dots ,a_n]$ denota el elemento $t^{𝐀}[\overrightarrow{b}]$, donde $\overrightarrow{b}$ es una asignación que a cada $v_i$ le asigna $a_i$.
• Lema 1, lectura única de términos declarados (p. 8). Si $t\in T^{\tau }$ y $t{=}_{d}t(v_1,\dots ,v_n)$, se da una y sólo una de las siguientes: (1) $t=c$, para algún $c\in \mathrm{𝒞}$; (2) $t=v_j$, para algún $j\in \{1,\dots ,n\}$; (3) $t=f(t_1,\dots ,t_m)$, con $f\in {\mathrm{ℱ}}_m$, $m\ge 1$ y $t_1,\dots ,t_m\in T^{\tau }$ únicos. Más aún, si $t\in T_{k+1}^{\tau }$, cuando se da (3) los términos $t_1,\dots ,t_m$ están en $T_k^{\tau }$.
• Convención Notacional 5 (p. 8). Declarado $t{=}_{d}t(v_1,\dots ,v_n)$, si se da el caso (3) del Lema 1 se suponen hechas también las declaraciones $t_1{=}_d{t}_1(v_1,\dots ,v_n)$, …, $t_m{=}_d{t}_m(v_1,\dots ,v_n)$: las variables de cada $t_j$ están entre las de $t$.
• Lema 3, carácter recursivo de $t^{𝐀}[a_1,\dots ,a_n]$ (p. 9). Si $t{=}_{d}t(v_1,\dots ,v_n)$, $𝐀$ es un modelo de tipo $\tau$ y $a_1,\dots ,a_n\in A$: (1) si $t=c$, $t^{𝐀}[a_1,\dots ,a_n]=c^{𝐀}$; (2) si $t=v_j$, $t^{𝐀}[a_1,\dots ,a_n]=a_j$; (3) si $t=f(t_1,\dots ,t_m)$, con $f\in {\mathrm{ℱ}}_m$, $m\ge 1$ y $t_1,\dots ,t_m\in T^{\tau }$, entonces $t^{𝐀}[a_1,\dots ,a_n]=f^{𝐀}(t_1^{𝐀}[a_1,\dots ,a_n],\dots ,t_m^{𝐀}[a_1,\dots ,a_n])$.
• Las identidades de reticulado terna (Guía 4, p. 1), que valen para $(A,{\mathrm{s}}^{𝐀},{\mathrm{i}}^{𝐀})$. Escribiendo $xsy$ por ${\mathrm{s}}^{𝐀}(x,y)$ y $xiy$ por ${\mathrm{i}}^{𝐀}(x,y)$, para todos $x,y,z\in A$: (I1) $xsx=x=xix$; (I2) $xsy=ysx$; (I3) $xiy=yix$; (I4) $(xsy)sz=xs(ysz)$; (I5) $(xiy)iz=xi(yiz)$; (I6) $xs(xiy)=x$; (I7) $xi(xsy)=x$.
• La Regla de Inducción desde 0. Si para cada $k\in \mathrm{\omega }$ hay un enunciado ${\mathrm{Enu}}_k$, y se prueba ${\mathrm{Enu}}_0$ y que ${\mathrm{Enu}}_k$ implica ${\mathrm{Enu}}_{k+1}$, entonces vale ${\mathrm{Enu}}_k$ para todo $k$. Como $T^{\tau }={\bigcup }_{k\in \mathrm{\omega }}{T}_k^{\tau }$, probar ${\mathrm{Enu}}_k$ para todo $k$ es probarlo para todo término.

Y dos datos del tipo: $\mathrm{𝒞}=\varnothing$ y $\mathrm{ℱ}={\mathrm{ℱ}}_2=\{\mathrm{s},\mathrm{i}\}$. Por eso el caso (1) del Lema 1 no se da nunca, y en el (3) $f$ es $\mathrm{s}$ o $\mathrm{i}$, con $m=2$.

03 · La mariposa: qué se prueba en cada nivel

La meta habla de todo término declarado, y los términos se construyen por niveles: $T_0^{\tau }$ son las variables y las constantes, y $T_{k+1}^{\tau }$ agrega los $f(t_1,\dots ,t_m)$ con cada $t_j\in T_k^{\tau }$. Se prueba por inducción en el nivel. La pregunta es qué escribir como ${\mathrm{Enu}}_k$.

Tiene que hablar de los términos de $T_k^{\tau }$ declarados con las mismas dos variables. La declaración va adentro del enunciado: $t^{𝐀}[a,b]$ sólo tiene sentido para un $t$ declarado, y lo que hace andar el paso es que la Convención 5 pasa la declaración de $t$ a sus piezas. Con un ${\mathrm{Enu}}_k$ que dijera «todo $t\in T_k^{\tau }$», sin declarar, la hipótesis inductiva no diría nada de $t_1^{𝐀}[a,b]$, porque esa expresión no está definida para un término cualquiera.

La estructura entra al enunciado con «Sea $𝐀$ una estructura…», y $a$ y $b$ van cuantificados adentro: «para cada $a,b\in A$». Ninguno cambia al bajar a las piezas —el valor de $t_1$ se pide en la misma estructura y en el mismo par que el de $t$—, así que fijarlos antes de la inducción también funcionaría; adentro es la forma precisa, la que no hay que revisar cuando en otro ejercicio la asignación sí cambia. Queda así:

${\mathrm{Enu}}_k$: Sea $𝐀$ una estructura de tipo $\tau$ tal que $(A,{\mathrm{s}}^{𝐀},{\mathrm{i}}^{𝐀})$ es un reticulado terna. Si $t\in T_k^{\tau }$ y $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$, entonces $t^{𝐀}[a,b]\in \{a,b,{\mathrm{s}}^{𝐀}(a,b),{\mathrm{i}}^{𝐀}(a,b)\}$ para cada $a,b\in A$.

El caso base es corto. Un $t\in T_0^{\tau }$ declarado $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$ es, por el Lema 1, una constante o una de las dos variables; constantes no hay, así que $t=v_1$ o $t=v_2$, y por el Lema 3 (2) su valor es $a$ o $b$.

El paso es donde está el ejercicio. Un término nuevo de $T_{k+1}^{\tau }$ es $\mathrm{s}(t_1,t_2)$ o $\mathrm{i}(t_1,t_2)$ con las piezas en $T_k^{\tau }$, declaradas por la Convención 5. La hipótesis inductiva pone sus valores entre los cuatro, y el Lema 3 (3) dice que el valor de $t$ es ${\mathrm{s}}^{𝐀}$ o ${\mathrm{i}}^{𝐀}$ de esos dos valores. Lo que falta es exactamente esto: que ${\mathrm{s}}^{𝐀}$ e ${\mathrm{i}}^{𝐀}$ de dos de los cuatro caigan entre los cuatro. La inducción no lo da. Es un lema aparte, y es la única parte del ejercicio que usa que $𝐀$ es un reticulado.

04 · Los cuatro valores son cerrados

Sean $a,b\in A$ cualesquiera y $X=\{a,b,asb,aib\}$. Hay que ver que $xsy\in X$ y $xiy\in X$ para todos $x,y\in X$. Son dieciséis pares por operación, treinta y dos cuentas, y dos identidades las achican:

• Por (I2) e (I3), $xsy=ysx$ y $xiy=yix$: el orden del par no importa, y de los dieciséis pares quedan diez.
• Por (I1), $xsx=x$ y $xix=x$, que están en $X$: de los diez quedan seis por operación.

Quedan doce cuentas. Una de cada seis es gratis: $asb$ y $aib$ están en $X$ por definición. Las otras diez salen con absorción, asociatividad e idempotencia. En seis de ellas hay que dar vuelta un par antes, con (I2) o (I3), para que la identidad se pueda aplicar tal como está escrita: con el elemento repetido adelante.

Supremo.

• $asb\in X$, por definición.
• $as(asb)=(asa)sb=asb$, por (I4) y (I1).
• $as(aib)=a$, por (I6).
• $bs(asb)=bs(bsa)=(bsb)sa=bsa=asb$, por (I2), (I4), (I1) e (I2).
• $bs(aib)=bs(bia)=b$, por (I3) e (I6).
• $(asb)s(aib)=(bsa)s(aib)=bs(as(aib))=bsa=asb$, por (I2), (I4), (I6) e (I2).

Ínfimo.

• $aib\in X$, por definición.
• $ai(asb)=a$, por (I7).
• $ai(aib)=(aia)ib=aib$, por (I5) e (I1).
• $bi(asb)=bi(bsa)=b$, por (I2) e (I7).
• $bi(aib)=bi(bia)=(bib)ia=bia=aib$, por (I3), (I5), (I1) e (I3).
• $(asb)i(aib)=(aib)i(asb)=(bia)i(asb)=bi(ai(asb))=bia=aib$, por (I3), (I3), (I5), (I7) e (I3).

Las dos listas son la misma cuenta con $\mathrm{s}$ e $\mathrm{i}$ intercambiados, y con (I4), (I6), (I2) en el lugar de (I5), (I7), (I3). Salvo un paso: en la última del ínfimo el par viene escrito con $asb$ adelante, y hace falta un (I3) más para darlo vuelta.

Las treinta y dos combinaciones se midieron también con los términos mismos: $\mathrm{s}(u,w)$ e $\mathrm{i}(u,w)$, con $u$ y $w$ entre $x_1$, $x_2$, $\mathrm{s}(x_1,x_2)$ e $\mathrm{i}(x_1,x_2)$, evaluados en todos los pares del diamante, del pentágono y de la cadena de cuatro. Cada una coincide, en todos los pares, con el elemento que da la cuenta de arriba.

Nada de esto pide que $a$ y $b$ sean distintos ni incomparables. Si $a=b$, por (I1) $X=\{a\}$; en una cadena, $X=\{a,b\}$. Las cuentas no se separan en casos: valen igual cuando algunos de los cuatro coinciden.

Abajo se arma un término y se lo evalúa. Cada subtérmino tiene su renglón, de las hojas a la raíz, y cada valor sale de los renglones de sus piezas por el Lema 3 (3): que todos caigan en $X$ es la hipótesis inductiva, nivel por nivel.

05 · El escarabajo: la prueba escrita

Lema. Sean $a,b\in A$ y $X=\{a,b,{\mathrm{s}}^{𝐀}(a,b),{\mathrm{i}}^{𝐀}(a,b)\}$. Si $x,y\in X$, entonces ${\mathrm{s}}^{𝐀}(x,y)\in X$ e ${\mathrm{i}}^{𝐀}(x,y)\in X$.

Prueba del lema. Escribimos $xsy$ por ${\mathrm{s}}^{𝐀}(x,y)$ y $xiy$ por ${\mathrm{i}}^{𝐀}(x,y)$. Como $(A,{\mathrm{s}}^{𝐀},{\mathrm{i}}^{𝐀})$ es un reticulado terna, valen (I1) a (I7). Cada elemento de $X$ es uno de los cuatro nombres $a$, $b$, $asb$, $aib$; elijamos un nombre para $x$ y uno para $y$. Por (I2) $xsy=ysx$ y por (I3) $xiy=yix$, así que el orden no importa. Si los dos nombres son el mismo, $x=y$ y por (I1) $xsx=x\in X$ y $xix=x\in X$. Si son distintos, el par de nombres es uno de estos seis:

• $\{a,b\}$: $asb\in X$ y $aib\in X$ por definición de $X$.
• $\{a,asb\}$: $as(asb)=(asa)sb=asb$ por (I4) y (I1); $ai(asb)=a$ por (I7).
• $\{a,aib\}$: $as(aib)=a$ por (I6); $ai(aib)=(aia)ib=aib$ por (I5) e (I1).
• $\{b,asb\}$: $bs(asb)=bs(bsa)=(bsb)sa=bsa=asb$ por (I2), (I4), (I1) e (I2); $bi(asb)=bi(bsa)=b$ por (I2) e (I7).
• $\{b,aib\}$: $bs(aib)=bs(bia)=b$ por (I3) e (I6); $bi(aib)=bi(bia)=(bib)ia=bia=aib$ por (I3), (I5), (I1) e (I3).
• $\{asb,aib\}$: $(asb)s(aib)=(bsa)s(aib)=bs(as(aib))=bsa=asb$ por (I2), (I4), (I6) e (I2); $(asb)i(aib)=(aib)i(asb)=(bia)i(asb)=bi(ai(asb))=bia=aib$ por (I3), (I3), (I5), (I7) e (I3).

En todos los casos el resultado es uno de $a$, $b$, $asb$, $aib$, que están en $X$. ∎

El ejercicio. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada $k\in \mathrm{\omega }$ sea ${\mathrm{Enu}}_k$ el enunciado:

Sea $𝐀$ una estructura de tipo $\tau$ tal que $(A,{\mathrm{s}}^{𝐀},{\mathrm{i}}^{𝐀})$ es un reticulado terna. Si $t\in T_k^{\tau }$ y $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$, entonces $t^{𝐀}[a,b]\in \{a,b,{\mathrm{s}}^{𝐀}(a,b),{\mathrm{i}}^{𝐀}(a,b)\}$ para cada $a,b\in A$.

Caso base: ${\mathrm{Enu}}_0$. Sea $t\in T_0^{\tau }$ con $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$. Por el Lema 1 de la Guía 11, $t=c$ para algún $c\in \mathrm{𝒞}$, o $t=v_j$ para algún $j\in \{1,2\}$; el caso (3) no se da, porque $T_0^{\tau }=\mathrm{Var}\cup \mathrm{𝒞}$ y un término de la forma $f(t_1,\dots ,t_m)$ no es una variable ni un nombre de constante. Como $\mathrm{𝒞}=\varnothing$, $t=v_1$ o $t=v_2$. Sean $a,b\in A$. Por el Lema 3 (2) de la Guía 11, $t^{𝐀}[a,b]=a$ si $t=v_1$ y $t^{𝐀}[a,b]=b$ si $t=v_2$. En los dos casos $t^{𝐀}[a,b]\in \{a,b,{\mathrm{s}}^{𝐀}(a,b),{\mathrm{i}}^{𝐀}(a,b)\}$.

Paso: ${\mathrm{Enu}}_k\Rightarrow {\mathrm{Enu}}_{k+1}$. Supongamos que vale ${\mathrm{Enu}}_k$ y sea $t\in T_{k+1}^{\tau }$ con $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$. Sean $a,b\in A$ y $X=\{a,b,{\mathrm{s}}^{𝐀}(a,b),{\mathrm{i}}^{𝐀}(a,b)\}$.

Caso $t\in T_k^{\tau }$. Entonces $t^{𝐀}[a,b]\in X$ por ${\mathrm{Enu}}_k$.

Caso $t\in T_{k+1}^{\tau }-T_k^{\tau }$. Por el Lema 1 de la Guía 11, $t$ es de la forma (1), (2) o (3). Las formas (1) y (2) son elementos de $T_0^{\tau }\subseteq T_k^{\tau }$, así que no se dan. Luego $t=f(t_1,\dots ,t_m)$ con $f\in {\mathrm{ℱ}}_m$ y $m\ge 1$, y por la segunda parte del Lema 1, $t_1,\dots ,t_m\in T_k^{\tau }$. Como $\mathrm{ℱ}={\mathrm{ℱ}}_2=\{\mathrm{s},\mathrm{i}\}$, $m=2$ y $f$ es $\mathrm{s}$ o $\mathrm{i}$. Por la Convención Notacional 5, $t_1{=}_d{t}_1(v_1,v_2)$ y $t_2{=}_d{t}_2(v_1,v_2)$, y por ${\mathrm{Enu}}_k$ aplicado a $t_1$ y a $t_2$, $t_1^{𝐀}[a,b]\in X$ y $t_2^{𝐀}[a,b]\in X$.

Subcaso $t=\mathrm{s}(t_1,t_2)$. Por el Lema 3 (3) de la Guía 11, $t^{𝐀}[a,b]={\mathrm{s}}^{𝐀}(t_1^{𝐀}[a,b],t_2^{𝐀}[a,b])$. Es ${\mathrm{s}}^{𝐀}$ de dos elementos de $X$, y por el lema está en $X$.

Subcaso $t=\mathrm{i}(t_1,t_2)$. Por el Lema 3 (3), $t^{𝐀}[a,b]={\mathrm{i}}^{𝐀}(t_1^{𝐀}[a,b],t_2^{𝐀}[a,b])$, que es ${\mathrm{i}}^{𝐀}$ de dos elementos de $X$, y por el lema está en $X$.

Como $a$ y $b$ eran arbitrarios, vale ${\mathrm{Enu}}_{k+1}$. Por la Regla de Inducción desde 0, vale ${\mathrm{Enu}}_k$ para todo $k\in \mathrm{\omega }$. Y como $T^{\tau }={\bigcup }_{k\in \mathrm{\omega }}{T}_k^{\tau }$, todo $t\in T^{\tau }$ con $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$ está en algún $T_k^{\tau }$, así que $t^{𝐀}[a,b]\in \{a,b,{\mathrm{s}}^{𝐀}(a,b),{\mathrm{i}}^{𝐀}(a,b)\}$ para cada $a,b\in A$. ∎

06 · Lo que hace perder puntos, y lo que se lleva

Lo que hace perder puntos. Decir «por inducción» sin nombrar la Regla de Inducción desde 0, o escribir un ${\mathrm{Enu}}_k$ sin la declaración $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$ adentro. Olvidar el caso $t\in T_k^{\tau }$ del paso. Usar que los cuatro valores son cerrados sin probarlo, o probar la mitad del supremo y despachar el ínfimo con «análogamente»: son seis cuentas más, y una pide un (I3) que la del supremo no pide. Aplicar (I6) a $bs(aib)$ sin dar vuelta el ínfimo. Confundir $t(a,b)$, que por la Convención 1 es la palabra que resulta de reemplazar, con $t^{𝐀}[a,b]$, que es un elemento de $A$. Y citar el Lema 1 sin decir por qué el caso (1) no se da: porque el tipo no tiene constantes.

Lo que se lleva. El molde es el de los diez ejercicios declaratorios de la lista: el Lema 1 para ver qué forma tiene $t$, la Convención 5 para declarar las piezas, el Lema 3 para calcular el valor. Lo que cambia de un ejercicio a otro es la cuenta del paso. En el Ejercicio 22 el conjunto es $\{a,b,c\}$ y la cuenta es que en un orden total ${\mathrm{s}}^{𝐀}$ e ${\mathrm{i}}^{𝐀}$ eligen uno de sus argumentos. En el Ejercicio 23 la cuenta desaparece, porque el conjunto es cerrado por hipótesis, y aparecen las constantes en el caso base. Visto desde ahí, este ejercicio es el 23 sin constantes: el lema dice que $X$ es cerrado por ${\mathrm{s}}^{𝐀}$ e ${\mathrm{i}}^{𝐀}$, $X$ contiene a $a$ y a $b$, y por eso contiene el valor de todo término en $a$ y $b$.

El Ejercicio 27 de la Guía 11, $t^{𝐀}[a,\dots ,a]=a$, es este mismo con $X=\{a\}$, que es cerrado por (I1).

Para tener a mano

1. $X=\{a,b,asb,aib\}$ es cerrado por ${\mathrm{s}}^{𝐀}$ e ${\mathrm{i}}^{𝐀}$. (I2), (I3) e (I1) bajan las treinta y dos cuentas a diez, y cada una sale con absorción, asociatividad o idempotencia.
2. Seis cuentas piden dar vuelta un par antes de aplicar la identidad: $bs(aib)=bs(bia)=b$, por (I3) e (I6).
3. ${\mathrm{Enu}}_k$: si $t\in T_k^{\tau }$ y $t{=}_{d}t(v_1,v_2)$, entonces $t^{𝐀}[a,b]\in X$ para cada $a,b\in A$. La declaración va adentro.
4. Base: Lema 1, sin constantes, $t=v_j$; Lema 3 (2). Paso: el caso $t\in T_k^{\tau }$; si no, Lema 1 con $t_1,t_2\in T_k^{\tau }$, Convención 5, ${\mathrm{Enu}}_k$, Lema 3 (3) y el lema de cierre.
5. Medido: 202 términos de nivel a lo sumo 2, todos los pares del diamante, del pentágono y de la cadena de cuatro. 13 332 valores, todos en $X$.