La dual se escribe entera

El enunciado, textual: «Sean

Dis1 = \forall x \forall y \forall z (x i (y s z) = (x i y) s (x i z))

Dis2 = \forall x \forall y \forall z (x s (y i z) = (x s y) i (x s z))

De una prueba elemental de reticulados terna de la sentencia (Dis2 → Dis1).»

La dirección contraria, (Dis1 → Dis2), es el Ejercicio 20 de la Guía 7, y está resuelta como cadena de igualdades en Una distributiva te da la otra. Éste es su espejo. La prueba sale dando vuelta aquélla, pero en el parcial no alcanza con decirlo: hay que escribir las nueve igualdades otra vez, cada una con su nombre.

01 · Antes de probar: qué hay y qué no hay

El tipo es terna. Hay un conjunto y dos operaciones, $s$ e $i$ , y nada más: ni $\leq$ , ni $0$ , ni $1$ . Las herramientas del Ejercicio 2 —As≤C, Ai≥C, el árbol de metas— no existen acá, porque hablan de un símbolo que este tipo no tiene. Lo único que se puede escribir son igualdades entre términos, así que la prueba es una cadena de igualdades.

Lo que se puede usar son los axiomas elementales de reticulados terna y la hipótesis. Dis2 no es un axioma: es el antecedente, y entra suponiéndolo. Dis1 es lo que hay que conseguir, y no se puede usar en el camino.

Lo que no se puede citar. El Lema 9 de la Guía 5 dice exactamente que Dis1 y Dis2 son equivalentes en todo reticulado terna: citarlo es citar el ejercicio.

Tampoco sirve la prueba del ensayo, que va de Dis1 a Dis2: acá lo que se tiene es Dis2. Y tampoco sirve escribir «por dualidad», que es la tentación más fuerte, porque la prueba de verdad es la otra escrita al revés.

El principio de dualidad dice que si una sentencia de reticulados tiene prueba, la que sale de cambiar $s$ por $i$ también la tiene. Es verdad, y explica por qué este ejercicio es fácil una vez hecho el otro. Pero es un teorema sobre las pruebas, no un paso de una prueba: la regla de la cátedra pide que todo resultado de una guía que se use se enuncie y se pruebe por separado. Probar el principio de dualidad cuesta mucho más que escribir las nueve líneas.

02 · Los axiomas, de a pares

Los axiomas elementales de reticulados terna de la Guía 7 son ocho sentencias: las siete identidades (I1) a (I7) de la Guía 4, con la (I1) partida en sus dos mitades. Lo que importa para este ejercicio es que vienen de a pares, cada una con su gemela:

(I1), idempotencia: $\forall x (x s x = x)$ y $\forall x (x i x = x)$ . Es su propia gemela.
(I2) y (I3), conmutatividad: $\forall x \forall y (x s y = y s x)$ y $\forall x \forall y (x i y = y i x)$ .
(I4) y (I5), asociatividad: $\forall x \forall y \forall z ((x s y) s z = x s (y s z))$ y $\forall x \forall y \forall z ((x i y) i z = x i (y i z))$ .
(I6) y (I7), absorción: $\forall x \forall y (x s (x i y) = x)$ y $\forall x \forall y (x i (x s y) = x)$ .

Y Dis1 y Dis2 son gemelas también: cada una es la otra con $s$ e $i$ intercambiadas. Ése es todo el secreto del ejercicio. Si en una igualdad válida se cambia cada $s$ por $i$ y viceversa, la igualdad nueva se justifica con la gemela de la identidad que justificaba la vieja.

03 · La mariposa: mirar la otra cadena en el espejo

La cadena del ensayo arranca en $(a s b) i (a s c)$ , un ínfimo de supremos, porque ésa es la forma que Dis1 sabe abrir. Termina en $a s (b i c)$ . Puesta en el espejo, arranca en $(a i b) s (a i c)$ , un supremo de ínfimos, que es justo lo que Dis2 abre leída de izquierda a derecha, con $a i b$ en el lugar de su $x$ . Y termina en $a i (b s c)$ , el lado izquierdo de Dis1.

Entonces la pregunta de la mariposa no es «¿qué hago?» sino «¿qué pasa con cada paso al reflejarlo?». La cadena reflejada, con su justificación al costado:

(a i b) s (a i c)

el término de partida

= ((a i b) s a) i ((a i b) s c)

Dis2, leída en (a i b), a y c

= (a s (a i b)) i ((a i b) s c)

(I2), conmutatividad del supremo

= a i ((a i b) s c)

(I6), absorción del supremo

= a i (c s (a i b))

(I2)

= a i ((c s a) i (c s b))

Dis2, leída en c, a y b

= a i ((a s c) i (c s b))

(I2)

= a i ((a s c) i (b s c))

(I2)

= (a i (a s c)) i (b s c)

(I5), asociatividad del ínfimo, al revés

= a i (b s c)

(I7), absorción del ínfimo

Lo que cambia respecto de la cadena original son tres cosas, y conviene verlas antes de escribir.

Los nombres. Donde el ensayo dice (I3), acá va (I2); donde dice (I4), (I5); Dis1 pasa a Dis2. Las conmutatividades se usan cuatro veces y todas son del supremo.

El orden de las absorciones. El ensayo usa primero la del ínfimo, (I7), y cierra con la del supremo, (I6). Acá es al revés: (I6) en el paso 3 y (I7) en el último. Quien copie la cadena vieja cambiando sólo las letras de los términos y deje las justificaciones como estaban escribe dos absorciones equivocadas.

El final. La cadena llega a $(a i b) s (a i c) = a i (b s c)$ , que es Dis1 en $a, b, c$ leída de derecha a izquierda. Hace falta un renglón más que la dé vuelta.

Lo que no cambia: son nueve pasos, en los mismos lugares del término, y la asociatividad se sigue usando de derecha a izquierda. La idempotencia no aparece en ninguna de las dos cadenas.

En las nueve filas la única identidad que lleva de una línea a la siguiente es la gemela de la original, y la original no engancha nunca. Eso se midió aplicando cada una de las diez identidades posibles —las dos mitades de (I1), (I2) a (I7), Dis1 y Dis2— en todos los subtérminos de cada línea, en los dos sentidos.

04 · El escarabajo: la prueba escrita

Ahora como se entrega: cada paso dice qué axioma usa y con qué se instancia cada variable, y cada igualdad nueva se obtiene reemplazando un subtérmino por otro igual.

Prueba. Sea $(L, s, i)$ un reticulado terna fijo pero arbitrario. Supongamos Dis2, es decir $\forall x \forall y \forall z (x s (y i z) = (x s y) i (x s z))$ . Sean $a, b, c \in L$ elementos fijos pero arbitrarios.

Dis2, tomando $x$ como $a i b$ , $y$ como $a$ y $z$ como $c$ , nos dice que $(a i b) s (a i c) = ((a i b) s a) i ((a i b) s c)$ .
El axioma $\forall x \forall y (x s y = y s x)$ , tomando $x$ como $a i b$ e $y$ como $a$ , nos dice que $(a i b) s a = a s (a i b)$ . Reemplazando, $(a i b) s (a i c) = (a s (a i b)) i ((a i b) s c)$ .
El axioma $\forall x \forall y (x s (x i y) = x)$ , tomando $x$ como $a$ e $y$ como $b$ , nos dice que $a s (a i b) = a$ . Reemplazando, $(a i b) s (a i c) = a i ((a i b) s c)$ .
El axioma $\forall x \forall y (x s y = y s x)$ , tomando $x$ como $a i b$ e $y$ como $c$ , nos dice que $(a i b) s c = c s (a i b)$ . Reemplazando, $(a i b) s (a i c) = a i (c s (a i b))$ .
Dis2, tomando $x$ como $c$ , $y$ como $a$ y $z$ como $b$ , nos dice que $c s (a i b) = (c s a) i (c s b)$ . Reemplazando, $(a i b) s (a i c) = a i ((c s a) i (c s b))$ .
El axioma $\forall x \forall y (x s y = y s x)$ , tomando $x$ como $c$ e $y$ como $a$ , nos dice que $c s a = a s c$ . Reemplazando, $(a i b) s (a i c) = a i ((a s c) i (c s b))$ .
El mismo axioma, tomando $x$ como $c$ e $y$ como $b$ , nos dice que $c s b = b s c$ . Reemplazando, $(a i b) s (a i c) = a i ((a s c) i (b s c))$ .
El axioma $\forall x \forall y \forall z ((x i y) i z = x i (y i z))$ , tomando $x$ como $a$ , $y$ como $a s c$ y $z$ como $b s c$ , nos dice que $(a i (a s c)) i (b s c) = a i ((a s c) i (b s c))$ . Reemplazando el término de la derecha por el de la izquierda, $(a i b) s (a i c) = (a i (a s c)) i (b s c)$ .
El axioma $\forall x \forall y (x i (x s y) = x)$ , tomando $x$ como $a$ e $y$ como $c$ , nos dice que $a i (a s c) = a$ . Reemplazando, $(a i b) s (a i c) = a i (b s c)$ .

Cierre. Leyendo la última igualdad de derecha a izquierda, $a i (b s c) = (a i b) s (a i c)$ . Como $a$ , $b$ y $c$ eran fijos pero arbitrarios, generalizando obtenemos $\forall x \forall y \forall z (x i (y s z) = (x i y) s (x i z))$ , que es Dis1. Y como todo se dedujo suponiendo Dis2, hemos probado (Dis2 → Dis1). ∎

Generalizar con Dis2 todavía supuesta es legal porque Dis2 es una sentencia sin ningún nombre de elemento adentro: $a$ , $b$ y $c$ siguen siendo arbitrarias. Está explicado en la sección «Generalizar con la hipótesis abierta» del ensayo, y vale igual en el espejo.

05 · Lo que se lleva a otros ejercicios

Hacer uno da el otro, pero no lo escribe. Cada vez que la lista pide una sentencia y su dual, el trabajo de pensar se hace una sola vez y el de escribir, dos. El atajo honesto es el de la sección 03: escribir la cadena vieja, cambiar cada $s$ por $i$ y viceversa, y después justificar cada línea de nuevo, sin copiar los nombres.

Una prueba de terna sirve más arriba. Como los axiomas de reticulados acotados y complementados incluyen los ocho de terna, esta misma prueba es también una prueba elemental de reticulados acotados y de complementados. No es una prueba de reticulados cuaterna: ahí las absorciones y las conmutatividades no son axiomas.

Lo que hace perder puntos. Escribir «la prueba es la dual de la del Ejercicio 20» o «análoga». Citar el Lema 9 de la Guía 5. Usar Dis1 en algún paso intermedio. Copiar las justificaciones de la cadena original: (I3) donde va (I2), o las absorciones en el orden viejo. Y olvidarse del renglón que da vuelta la última igualdad: la cadena prueba Dis1 leída al revés.

Para tener a mano

Terna: sólo $s$ , $i$ e igualdades. Ni $\leq$ , ni $0$ , ni $1$ .
Gemelas: (I2)–(I3), (I4)–(I5), (I6)–(I7), Dis1–Dis2. (I1) es su propia gemela.
Se arranca en $(a i b) s (a i c)$ , la forma que Dis2 abre, y se llega a $a i (b s c)$ en nueve pasos.
Se usan Dis2 (dos veces), (I2) (cuatro), (I5) (una, al revés), (I6) y (I7) (una cada una, en ese orden).
«Por dualidad» y el Lema 9 no son pasos. Las nueve líneas se escriben, cada una con su instanciación.