Parecen dos propiedades y son una sola: no hace falta pedir las dos.
El Ejercicio 20 de la Guía 7, pág. 12, trabaja en reticulados terna: la firma tiene el conjunto y las dos operaciones, y , y los axiomas propios son las siete identidades de la Guía 4. Ahí adentro hay que probar una implicación entre estas dos sentencias:
La primera dice que el ínfimo se puede meter adentro de un supremo; la segunda, que el supremo se puede meter adentro de un ínfimo. Son dos afirmaciones distintas y las dos son razonables. Lo que el ejercicio pide probar es (Dis1 → Dis2): que la segunda no hay que pedirla.
Acá no hay ningún diagrama que ayude, y la falta no es un descuido. Lo que hay que mirar es dónde está parada cada letra dentro de un término, y eso un dibujo de orden no lo muestra: en un Hasse las dos distributivas se ven igual de plausibles y ninguna se ve saliendo de la otra. La intuición, en este ejercicio, es una cadena de igualdades.
El formato de prueba elemental —las líneas numeradas, las justificaciones, qué puede citar cada una— está en La mariposa y el escarabajo. Esta es la única de la serie donde no se saca ni se pone un solo cuantificador en el medio: entre la primera línea y la última no hay más que igualdades.
Lo que hay que llegar a escribir, para tres constantes cualesquiera, es la igualdad . Y conviene empezar por el lado feo: es el único de los dos que Dis1 sabe abrir, porque es un ínfimo de supremos.
Abierto, queda . Mirá el primer factor: tiene la adentro y afuera, que es justo lo que la absorción se come. No se la come así como está —la identidad es y acá el supremo quedó del lado equivocado—, pero después de conmutar sí. Y lo que queda, , ya tiene la forma del objetivo: una suelta arriba de todo.
El otro factor pide el mismo movimiento: conmutar para que Dis1 lo pueda abrir, abrirlo, y acomodar los dos ínfimos que salen. Recién ahí la asociatividad junta la con lo que tiene al lado, y la segunda absorción lo termina.
Escrito entero, son nueve movimientos y ninguno es una idea: cada uno es una identidad con nombre.
Ninguno de los nueve es opcional en el sentido de que se pueda saltear, pero tampoco están encadenados a la fuerza: en varios puntos hay más de una identidad que engancha, y elegir mal no rompe nada — deja el término dando vueltas. Abajo se conduce la cadena a mano.
La lectura que dice faltan no es una estimación: es la cantidad exacta de movimientos que quedan. Con estas cinco identidades, desde el término de partida se alcanzan 192 términos y ni uno más —el más largo tiene quince símbolos—, así que el grafo entero se puede recorrer al revés desde el objetivo y cada término sabe a qué distancia está. El más lejano de los 192 está a diez movimientos; el de partida, a nueve.
Y la apuesta de la nota es lo primero que se ve: en el término de partida sólo dos de las cinco identidades enganchan, y son Dis1 y la conmutatividad, que no achican nada. Las dos absorciones —las únicas que borran letras— no enganchan en ningún subtérmino hasta el segundo movimiento una, y hasta el séptimo la otra; la asociatividad, hasta el tercero. Quien vaya derecho a la absorción viendo servido en el primer paso se va a encontrar con que el término no se mueve: la identidad es , el supremo tiene que estar a la derecha, y conmutar no es cosmética — es lo que la habilita.
Conmutar y asociar tampoco son gratis al revés: son los movimientos que se pueden repetir para siempre. De los 192 términos alcanzables, la enorme mayoría sale de haber conmutado algo de más.
La misma cuenta, escrita como pide la Guía 6: una línea por paso, con su justificación y las líneas que cita. El prefijo TESIS1 lo lleva una sola, la 28: es la que consigue la tesis del bloque que abrió la hipótesis de la línea 1, y la CONCLUSION de la 29 la convierte en la implicación. Las otras veintisiete van peladas, aunque casi todas dependan de esa hipótesis igual — el prefijo no marca de qué depende una línea, marca cuál es la que cierra.
HIPOTESIS1AXIOMAPROPIOAXIOMAPROPIOAXIOMAPROPIOAXIOMAPROPIOPARTICULARIZACION(1)PARTICULARIZACION(2)PARTICULARIZACION(3)TRANSITIVIDAD(7, 8)REEMPLAZO(9, 6)PARTICULARIZACION(2)REEMPLAZO(11, 10)PARTICULARIZACION(1)PARTICULARIZACION(2)PARTICULARIZACION(2)REEMPLAZO(14, 13)REEMPLAZO(15, 16)TRANSITIVIDAD(13, 16, 17)REEMPLAZO(18, 12)PARTICULARIZACION(5)COMMUTATIVIDAD(20)PARTICULARIZACION(4)REEMPLAZO(22, 21)TRANSITIVIDAD(6, 10, 12, 19, 21, 23)COMMUTATIVIDAD(24)GENERALIZACION(25)GENERALIZACION(26)TESIS1GENERALIZACION(27)CONCLUSIONNueve movimientos arriba, veintinueve líneas acá. La diferencia no es que la prueba diga más: es que cada movimiento del widget se escribe en varias líneas — la que particulariza el axioma, la que lo aplica y, cuando hace falta, la que da vuelta la igualdad para poder seguir.
Y los seis REEMPLAZO tienen todos la misma forma, que es lo que vuelve legible la cadena: el primer número es la igualdad que se usa, el segundo es la línea cuyo lado derecho se reescribe con ella. Leídos en fila —10, 12, 16, 17, 19 y 23— son el término transformándose de a un paso, y cada uno deja su resultado listo para que el siguiente lo tome.
La línea 24 es la cadena entera engrapada de una sola vez. TRANSITIVIDAD con dos líneas es la regla que todo el mundo conoce: de y sale . Con seis es la misma regla aplicada seguido, y lo que hay que mirar es que sean eslabones y no una lista suelta: el lado derecho de la 6 tiene que ser el izquierdo de la 10, el derecho de la 10 el izquierdo de la 12, y así hasta la 23. Si una sola de esas costuras no cierra, la línea no dice nada aunque las seis que cita sean verdaderas.
Las líneas 21 y 25 dicen COMMUTATIVIDAD y no conmutan ninguna operación. En esta lista de justificaciones, COMMUTATIVIDAD es la simetría del signo =: da vuelta una igualdad y nada más. La 21 existe porque la 20 salió del axioma con el paréntesis del lado que el axioma manda, y para seguir la cadena hacía falta del otro. Es la misma maniobra que en el widget aparece como aplicar la asociatividad «al revés», y es legal por la misma razón: una igualdad se puede leer en los dos sentidos.
Las líneas 26, 27 y 28 ponen un ∀ sobre , y estando la hipótesis de la línea 1 todavía sin cerrar. A primera vista es exactamente el paso prohibido, y no lo es.
La regla no dice «no generalices con una hipótesis abierta»: dice que no se puede generalizar sobre una constante que la hipótesis nombra. Y no nombra ninguna: es una sentencia cerrada, tres cuantificadores y ni una constante adentro. Las tres letras , y entraron en la línea 6 como constantes cualesquiera y nadie les pidió nunca nada, así que siguen siendo arbitrarias con la hipótesis viva. Es el contraste exacto con Si no sale ninguna flecha, entra una, donde la constante sí venía elegida y hay que descargarla antes de poder generalizar.
Esto no está en la guía. Primero, sobre la prueba: de las siete identidades que definen un reticulado terna, las veintinueve líneas citan cuatro —la conmutatividad del ínfimo, las dos absorciones y la asociatividad del supremo—. La idempotencia, la conmutatividad del supremo y la asociatividad del ínfimo no aparecen ni una vez. Ningún otro resultado de ninguna guía se usa, así que no hay nada que enunciar y probar aparte.
De esas cuatro, tres son indispensables: sacando del tablero la conmutatividad del ínfimo, la absorción del ínfimo o la asociatividad del supremo —o la propia Dis1—, el objetivo deja de ser alcanzable. La absorción del supremo es la excepción: sin ella se llega igual, en diez movimientos en vez de nueve, usando Dis1 al revés y descargando con la otra absorción. O sea que la prueba de arriba no es la única, pero sí es una de las más cortas.
Y después, sobre la tesis. Que las dos distributivas sean la misma condición se puede verificar a mano sobre todos los reticulados chicos. Enumerando todos los órdenes parciales sobre elementos, quedándose con los que tienen supremo e ínfimo para todo par y contando una sola vez cada clase de isomorfismo, salen 78 reticulados de hasta siete elementos: 1, 1, 1, 2, 5, 15 y 53. De esos, 21 cumplen Dis1. Y los que cumplen Dis2 son esos mismos 21.
Las dos sentencias se evaluaron por separado, cada una barriendo las ternas con su propia cuenta — no se dedujo una de la otra. Podrían haber discrepado en cualquiera de los 78, y el ejercicio sólo pide una de las dos direcciones. No discrepan en ninguno, ni en una dirección ni en la otra. Los cinco reticulados de cinco elementos son el primer lugar donde hay algo que ver: dos de ellos no son distributivos, y no lo son de las dos maneras a la vez.
Sirve para el Ejercicio 20 de la Guía 7, pág. 12. El enunciado está en parcial-2/practicos/Guia 7 de Logica.pdf y las siete identidades de reticulado terna, en la Guía 4.
La nota anterior es El testigo lo construís vos, la otra de la serie que tampoco lleva dibujo. Y el método está en La mariposa y el escarabajo.