Ejercicio 1 de la lista del parcial 2 · Guía 6 · la monotonía del supremo: suponer el antecedente, usarlo con A≤T y descargarlo antes de generalizar
El enunciado, textual: «De una prueba elemental de reticulados cuaterna de la sentencia elemental pura
». Es el Ejercicio 8 (d) de la Guía 6 y el primero de la lista. Es el mismo tipo de jugada que la distributiva que vale en todo reticulado, el Ejercicio 2: una desigualdad entre supremos que se parte de atrás para adelante. Lo que es una prueba elemental, cómo se leen los siete axiomas como herramientas y las tres preguntas de la mariposa están en esa nota y no se repiten acá. Lo nuevo de éste es una sola cosa, y cambia la prueba: hay una hipótesis.
La sentencia no dice que valga siempre: dice que vale cuando e . Es la monotonía del supremo: si subís los dos argumentos, el supremo no baja. Lo que hay que entregar es la prueba de una implicación, y eso fija el esqueleto antes de pensar nada: se fijan cuatro elementos, se supone el antecedente, se llega al consecuente y se descarga el supuesto. Recién ahí se generaliza.
Las dos mitades de la hipótesis hacen falta. Medido sobre todos los reticulados de hasta cinco elementos —425 contando con rótulos, 247 235 cuaternas—: la sentencia vale en todos, y en las cuaternas que cumplen una sola de las dos desigualdades la conclusión falla en 24 220 de 60 630, cuatro de cada diez. El caso más chico es la cadena con e : se da , no se da , y no queda debajo de .
Y la vuelta no vale. De las 155 843 cuaternas en las que se da , en 78 556 no se da la hipótesis. Por eso no hay un bicondicional que probar, como sí lo habrá en el Ejercicio 3.
Los axiomas son tres, con los nombres de la Guía 6, y se usan igual que en el Ejercicio 2: As≤C parte un supremo que está a la izquierda, AsesC cierra una meta de la forma o , y A≤T pasa por un intermedio.
A≤T: .AsesC: .As≤C: .La cuarta herramienta es la hipótesis, . Una vez supuesta, sus dos conjuntos se citan como cualquier axioma: son hechos que se pueden usar. Y son los únicos hechos que hay sobre y : ningún axioma dice nada de cómo se comparan dos elementos sueltos. Si en el árbol aparece , sólo la hipótesis la cierra; si aparece , no la cierra nada.
Con fijos pero arbitrarios y la hipótesis supuesta, la meta es
¿Qué forma tiene? Un supremo a la izquierda: As≤C, como en el Ejercicio 2. Quedan dos metas, y .
¿Alguna ya es un axioma? No. AsesC da y , pero no está adentro de . Hace falta un intermedio, y acá aparece la diferencia con el Ejercicio 2. Allá el puente salía de mirar qué letra compartían los dos lados. Acá los dos lados no comparten ninguna: de un lado, y del otro. Lo que conecta con el lado derecho es la hipótesis, que dice . Entonces el puente es : abajo, por la hipótesis; arriba, por AsesC. Para , el puente es , por la otra mitad.
¿Y si elijo el otro? Ir de hasta pasando por deja la meta , y ésa no la cierra nada: no es un axioma y no es la hipótesis. La rama se muere. La hipótesis empareja con y con , y el árbol tiene que respetar ese emparejamiento.
Así que la mariposa entera es: es una cota superior de y de , porque cada uno está debajo de su pareja y cada pareja está debajo de ; y es la menor de las cotas superiores. El widget de abajo deja armarlo, y equivocarse de puente.
Cerrado, el árbol tiene siete pasos: un As≤C, dos A≤T, dos AsesC y las dos mitades de la hipótesis, cada una usada una sola vez y como hoja. Cualquier puente cruzado — para , para — deja una meta entre dos letras sueltas que no es la hipótesis, y de ahí no se sale.
Es el árbol recorrido desde las hojas, con la hipótesis abierta al principio y descargada al final.
Prueba. Sean elementos fijos pero arbitrarios. Supongamos que . Probaremos que .
Paso 1. El axioma AsesC, tomando como e como , nos dice que
Paso 2. El axioma A≤T, tomando como , como y como , nos dice que
El primer conjunto del antecedente, , es el primer conjunto de lo que supusimos; el segundo, , es el primer conjunto del Paso 1. Obtenemos .
Paso 3. El axioma A≤T, tomando como , como y como , nos dice que
El primer conjunto del antecedente, , es el segundo conjunto de lo que supusimos; el segundo, , es el segundo conjunto del Paso 1. Obtenemos .
Paso 4. El axioma As≤C, tomando como , como y como , nos dice que
El antecedente es lo que obtuvimos en los Pasos 2 y 3. Obtenemos .
Cierre. Ya que habíamos supuesto , en realidad hemos probado
Ya que eran elementos fijos pero arbitrarios, hemos probado que vale . ∎
La hipótesis se usa donde el árbol se queda sin axiomas. En una implicación, el antecedente supuesto es lo único que relaciona elementos sueltos. Cuando una meta pide un intermedio y los dos lados no comparten nada, el intermedio lo propone la hipótesis. Es la misma pregunta del Ejercicio 2 —¿qué elemento está debajo de uno y arriba del otro?—, con una fuente más para contestarla.
El Ejercicio 6 la necesita. Para probar hay que mostrar, entre otras cosas, que da : es esta sentencia tomando como , como , como y como . Ahí la segunda mitad de la hipótesis es , que no se supone: la da A≤R. Y por la regla de la cátedra —si se usa un resultado de una guía, hay que enunciarlo y probarlo por separado—, en el Ejercicio 6 no alcanza con decir «por monotonía»: la cuenta se escribe entera.
El dual sale dando vuelta todo. también vale en todo reticulado, con Ai≥C en lugar de As≤C, AiesC en lugar de AsesC y los puentes del otro lado: . Si hace falta, se escribe; «por dualidad» no es una justificación de prueba elemental.
Lo que hace perder puntos. Generalizar con el supuesto todavía abierto: el cierre tiene dos frases, primero «ya que habíamos supuesto» y después «ya que eran fijos pero arbitrarios», en ese orden. Citar la hipótesis entera cuando se usa un solo conjunto, sin decir cuál. Escribir el Paso 3 como «análogamente»: tiene otras instancias y otra mitad de la hipótesis. Y decir «por transitividad» sin las tres instancias de A≤T.
As≤C en la raíz; cada mitad con A≤T; arriba AsesC, abajo la hipótesis.A≤R.