Cada dirección tiene su axioma

El enunciado, textual: «De una prueba elemental de reticulados cuaterna de la sentencia elemental pura

$$\forall x\forall y(x\le y\leftrightarrow xiy=x)$$

». Es el Ejercicio 8 (f) de la Guía 6. Dice que en un reticulado cuaterna el orden se lee en el ínfimo: $x$ está debajo de $y$ exactamente cuando el ínfimo de los dos es $x$. Las herramientas de partir y cerrar metas son las de la distributiva que vale en todo reticulado; acá lo nuevo es la forma de la sentencia.

01 · Antes de probar: dos pruebas, no una

Un $\leftrightarrow$ son dos implicaciones, y hay que entregar las dos, escritas enteras:

$$(a\le b\to aib=a)\text{ y }(aib=a\to a\le b)$$

La primera la llamamos la ida: del orden a la ecuación. La segunda, la vuelta: de la ecuación al orden. Cada una abre su propio supuesto y lo descarga antes de que empiece la otra.

Y adentro hay un $=$, que en una prueba elemental de reticulados cuaterna aparece de dos maneras. Como meta, en la ida: el único de los siete axiomas cuya conclusión es una igualdad es A≤A, así que una igualdad se prueba con las dos acotaciones y A≤A, sin otra opción. Como supuesto, en la vuelta: dice que $aib$ y $a$ son el mismo elemento, y se usa reemplazando uno por el otro.

La trampa del enunciado es que se parece mucho a la sentencia que la Guía 6 prueba entera en la página 12, $\forall x\forall y(x\le y\leftrightarrow xsy=y)$. No es su dual tal cual: el dual de ésa dice $y\le x\leftrightarrow xiy=y$, con el ínfimo escrito en el otro orden. Y aunque lo fuera, no se puede citar: se escribe.

02 · Las herramientas

Cuatro axiomas, con los nombres de la Guía 6, y un uso de la igualdad:

• A≤R, reflexiva: $\forall x(x\le x)$.
• A≤A, antisimétrica: $\forall x\forall y((x\le y\wedge y\le x)\to x=y)$. La única que concluye un $=$.
• AiesC, el ínfimo es cota inferior: $\forall x\forall y(xiy\le x\wedge xiy\le y)$.
• Ai≥C, el ínfimo está encima de toda cota inferior: $\forall x\forall y\forall z((z\le x\wedge z\le y)\to z\le xiy)$.
• Reemplazar: si se da $aib=a$, en cualquier sentencia ya obtenida se puede cambiar el término $aib$ por $a$. Es lo que hace la guía en su prueba de la página 12: «ya que $asb=b$ obtenemos que $a\le b$».

03 · La mariposa: qué hace la fuerza en cada dirección

Sean $a,b$ fijos pero arbitrarios.

La ida. Supongo $a\le b$ y la meta es $aib=a$. ¿Qué forma tiene? Una igualdad: A≤A, y la meta se vuelve dos desigualdades, $aib\le a$ y $a\le aib$.

La primera sale gratis: es el primer conjunto de AiesC, vale siempre y no usa la hipótesis. La segunda tiene un ínfimo a la derecha, y algo queda debajo de un ínfimo cuando queda debajo de los dos: es Ai≥C con $z$ como $a$. Pide $a\le a$, que es A≤R, y $a\le b$, que es lo supuesto. Ahí, y sólo ahí, entra la hipótesis.

La que hace la fuerza es Ai≥C. AiesC sola deja que $aib$ sea cualquier cosa debajo de $a$ y de $b$: con $a\le b$ podría ser algo estrictamente debajo de $a$. Lo único que obliga al ínfimo a subir hasta $a$ es Ai≥C, porque $a$ es una cota inferior de $a$ y de $b$ —eso es lo que dice la hipótesis— y el ínfimo está encima de todas.

La vuelta. Supongo $aib=a$ y la meta es $a\le b$. No hay nada que partir: son dos letras. Pero AiesC, en su segundo conjunto, ya da $aib\le b$, y lo supuesto dice que $aib$ es $a$. Reemplazando, $a\le b$. Dos líneas.

La que hace la fuerza es AiesC, y no hace falta nada más: ni Ai≥C, ni A≤A, ni A≤R. La asimetría de largos es honesta: la vuelta sólo usa que el ínfimo está debajo, y eso es un axioma; la ida tiene que construir una igualdad.

¿Por qué hacen falta las dos? Porque dicen cosas distintas. La ida habla de los pares ordenados: si $a\le b$, la celda $aib$ de la tabla tiene que decir $a$. La vuelta habla de los pares no ordenados: si $a$ no está debajo de $b$, la celda $aib$ no puede decir $a$. Son condiciones sobre celdas distintas de la tabla, así que se puede cumplir una y romper la otra. El widget de abajo deja hacerlo.

El rombo tiene dieciséis celdas y cada una admite tres valores distintos del ínfimo: cuarenta y ocho cambios de una sola celda. Evaluando la sentencia y los dos axiomas del ínfimo en cada uno: 27 rompen la ida, 7 rompen la vuelta, y ninguno rompe las dos. No puede ser de otra manera: la ida mira las nueve celdas de pares ordenados, la vuelta las siete de pares que no lo están.

Y el reparto de axiomas es el de la mariposa. Los siete cambios que rompen la vuelta son todos el mismo gesto —escribir $a$ en la celda de un par con $a$ no debajo de $b$— y los siete rompen AiesC. Los que rompen la ida se reparten: bajar la celda rompe Ai≥C, subirla rompe AiesC, porque la ida usa las dos acotaciones. Contando tablas enteras, no sólo cambios de una celda: de las 256 tablas del rombo que cumplen AiesC, la vuelta vale en las 256 y la ida en 4. Si además se pide Ai≥C, queda una sola tabla, la del ínfimo.

Hay cambios que no rompen ninguna dirección y sí un axioma. El más fino es poner $1ip$ en $0$. El par no está ordenado, así que la ida no lo mira, y $0$ no es $1$, así que la vuelta tampoco. Pero $0$ no es el ínfimo de $1$ y $p$, y Ai≥C lo nota. La sentencia es más débil que los axiomas: en el rombo la cumplen 2187 tablas, y sólo una es el ínfimo.

04 · El escarabajo: las dos implicaciones escritas

Prueba. Sean $a,b\in L$ elementos fijos pero arbitrarios.

La ida. Supongamos que $a\le b$. Probaremos que $aib=a$.

Paso 1. El axioma AiesC, tomando $x$ como $a$ e $y$ como $b$, nos dice que

$$(aib\le a\wedge aib\le b)$$

de lo cual obtenemos su primer conjunto, $aib\le a$.

Paso 2. El axioma A≤R, tomando $x$ como $a$, nos dice que $a\le a$.

Paso 3. El axioma Ai≥C, tomando $x$ como $a$, $y$ como $b$ y $z$ como $a$, nos dice que

$$((a\le a\wedge a\le b)\to a\le aib)$$

El primer conjunto del antecedente es el Paso 2 y el segundo es lo que supusimos. Obtenemos $a\le aib$.

Paso 4. El axioma A≤A, tomando $x$ como $aib$ e $y$ como $a$, nos dice que

$$((aib\le a\wedge a\le aib)\to aib=a)$$

El antecedente es lo que obtuvimos en los Pasos 1 y 3. Obtenemos $aib=a$. Ya que habíamos supuesto $a\le b$, en realidad hemos probado

$$(a\le b\to aib=a)$$

La vuelta. Supongamos ahora que $aib=a$. Probaremos que $a\le b$.

Paso 5. El axioma AiesC, tomando $x$ como $a$ e $y$ como $b$, nos dice que

$$(aib\le a\wedge aib\le b)$$

de lo cual obtenemos su segundo conjunto, $aib\le b$.

Paso 6. Ya que $aib=a$, reemplazando en el Paso 5 el término $aib$ por $a$ obtenemos $a\le b$. Ya que habíamos supuesto $aib=a$, en realidad hemos probado

$$(aib=a\to a\le b)$$

Cierre. Las dos implicaciones juntas nos dicen que $(a\le b\leftrightarrow aib=a)$. Ya que $a,b$ eran elementos fijos pero arbitrarios, hemos probado que vale $\forall x\forall y(x\le y\leftrightarrow xiy=x)$. ∎

05 · Lo que se lleva a otros ejercicios

Una igualdad es dos desigualdades y A≤A. Siempre, porque no hay otro axioma que termine en $=$. El Ejercicio 6 de la lista pide $xsu=ysu$ y se cierra igual: dos acotaciones, cada una con su propia prueba, y A≤A al final.

Una igualdad supuesta se usa reemplazando. No se «aplica»: dice que dos términos nombran el mismo elemento, y se cambia uno por otro en una sentencia ya obtenida. La vuelta entera es eso más un axioma.

El orden se lee en cualquiera de las dos operaciones. La guía prueba la versión con el supremo, $x\le y\leftrightarrow xsy=y$; ésta es la versión con el ínfimo. Juntas dicen que el orden de un reticulado cuaterna se recupera desde $s$ o desde $i$, que es la mitad elemental de lo que cuenta cuando las siete identidades se cumplen, aparece un orden.

Lo que hace perder puntos. Probar una sola dirección, casi siempre la vuelta porque es la corta. Probar la igualdad con una sola acotación, la de AiesC, que es la que no usa la hipótesis. Olvidar que $a\le a$ también se justifica: es A≤R instanciado. Usar $a\le b$ adentro de la vuelta, donde ya no está supuesto. Y despachar el ejercicio como «el dual de la sentencia de la guía»: no lo es tal cual, y por la regla de la cátedra un resultado de guía que se usa se enuncia y se prueba aparte.

Para tener a mano

1. Un $\leftrightarrow$ son dos implicaciones, cada una con su supuesto, abierto y descargado.
2. La ida, $a\le b\to aib=a$: AiesC da $aib\le a$; Ai≥C con A≤R y la hipótesis da $a\le aib$; A≤A cierra. La fuerza es Ai≥C.
3. La vuelta, $aib=a\to a\le b$: el segundo conjunto de AiesC y reemplazar. La fuerza es AiesC.
4. La ida mira los pares ordenados y la vuelta los que no lo están: se puede romper una sin tocar la otra.
5. La sentencia no define el ínfimo: en el rombo la cumplen 2187 tablas y una sola es el ínfimo.