Ejercicio 5 de la lista del parcial 2 · Guía 6 · dar vuelta la prueba del Ejercicio 4 línea por línea, y por qué «análogamente» no alcanza
El enunciado, textual: «De una prueba elemental de reticulados cuaterna de la sentencia elemental pura
». Puesta al lado de la del Ejercicio 4, , la diferencia son dos desigualdades dadas vuelta. Todo lo demás es igual, letra por letra. La prueba también va a ser la del 4 dada vuelta; lo que hay que decidir es qué significa «dar vuelta» y por qué no se puede escribir sólo eso.
El antecedente. dice que z está estrictamente abajo de x. Negado el existencial, «nada está estrictamente abajo de x»: x es minimal. La parte no cambió, y no tenía por qué: la igualdad no tiene sentido que dar vuelta.
El consecuente. dice que x está debajo de todo: x es mínimo. Otra vez, la z del consecuente es una variable distinta de la del antecedente.
La sentencia dice: en todo reticulado cuaterna, todo minimal es mínimo. Y en un poset es falsa por la misma razón que la del 4, con el dibujo dado vuelta: la Λ, dos elementos abajo, incomparables, y uno arriba. Los dos de abajo son minimales y ninguno es mínimo. Sobre los 4473 posets rotulados de hasta cinco elementos falla en 3290, y en los 425 reticulados en ninguno. Son los mismos números que en el Ejercicio 4.
Donde el Ejercicio 4 usaba AsesC, éste usa su gemelo:
AiesC, el ínfimo es cota inferior: .Y las mismas dos movidas de lógica: a una hipótesis se le ofrece un candidato para llegar a un absurdo, y los términos iguales se reemplazan uno por otro. Medido igual que en el 4: sobre tres elementos, con cualquier relación binaria e cualquier operación que cumpla AiesC, hay 57 558 estructuras y la sentencia vale en todas. No hace falta ningún otro axioma.
Es el dibujo del Ejercicio 4 mirado en un espejo horizontal. Ahí, a era maximal y b cualquiera; el supremo quedaba arriba de los dos, y la maximalidad de a lo aplastaba contra a. Acá a es minimal, el ínfimo queda abajo de los dos, y la minimalidad de a lo aplasta contra a: . Entonces dice .
Dar vuelta es un diccionario, y se aplica a cada línea de la prueba:
AsesC a AiesC, As≤C a Ai≥C. A≤R, A≤A y A≤T se transforman en sí mismos, salvo el orden de los conjuntos y el nombre de las variables.Que la última regla se cumpla es lo que hace que la prueba dada vuelta siga siendo una prueba: cada axioma citado se convierte en otro axioma, y cada paso de lógica, en el mismo paso.
Y por qué igual se escribe entera. La Guía 6, pág. 11, prueba la conmutatividad del supremo, deja una mitad como «en forma análoga» y avisa enseguida que así la prueba no es elemental: la justificación «en forma análoga se puede probar…» no es lo suficientemente simple y obvia. Su Ejercicio 7 es justamente completar esa mitad. «Por dualidad» tiene el mismo problema y uno más: es un teorema sobre pruebas —que el dual de lo que se prueba también se prueba—, y la regla de la cátedra es que un resultado que se usa se enuncia y se prueba aparte. Escribir las cinco líneas es más corto que eso.
Hay una razón más, la que se ve haciéndolo: dar vuelta tiene dos perillas, el orden y las operaciones, y es fácil girar una sola.
Las dos candidatas de la segunda línea son las dos perillas por separado: cambiar por sin dar vuelta el orden, o dar vuelta el orden sin cambiar la operación. Las dos son falsas en el rombo con y . Y en la cuarta hay una candidata verdadera que igual está mal: vale, pero es la mitad de la segunda línea, no la conclusión. Dualizar no es elegir algo cierto; es transformar cada línea en la suya.
Prueba. Sea un elemento fijo pero arbitrario, y supongamos
Queremos probar . Sea un elemento fijo pero arbitrario; vamos a probar .
Paso 1. El axioma AiesC, tomando x como a e y como b, nos dice que . En particular se da , y también .
Paso 2. Supongamos, para llegar a un absurdo, que . Junto con del paso 1, se daría , y entonces se daría , con como testigo. Eso contradice (H). Luego el supuesto era falso, y se da .
Paso 3. Por el paso 1 se da . Como por el paso 2 los términos y a denotan el mismo elemento, reemplazando obtenemos .
Cierre. Ya que b era fijo pero arbitrario —y no figura en (H)—, hemos probado . Como lo hicimos suponiendo (H), lo que probamos es
Y ya que a era fijo pero arbitrario, generalizando concluimos . ∎
Lo único que se mueve respecto del 4 son los lugares de los términos alrededor de y la letra de la operación. La forma de la prueba —candidato, absurdo, reemplazo, dos generalizaciones— es la misma, y ésa es la parte que se aprende una vez.
El diccionario sirve para pensar, no para justificar. Si ya tenés la prueba de una sentencia y te piden su dual, el diccionario te da la mariposa en un minuto. El escarabajo hay que escribirlo igual. Pasa también con la desigualdad dual de la del Ejercicio 2, que vale en todo reticulado por la misma razón.
Qué no se da vuelta. La igualdad, la negación, los cuantificadores y los conectivos. Una prueba dualizada que cambió por no está mal, pero no ganó nada y pide un paso de simetría que no estaba.
Lo que hace perder puntos. «Se prueba en forma análoga al Ejercicio 4» o «por dualidad»: no es una justificación simple y obvia, y si se lo toma como un resultado, hay que enunciarlo y probarlo aparte. Citar el Ejercicio 4 tampoco sirve: es otra sentencia. Y escribir , que no es un símbolo del lenguaje.
x es minimal»; es «x es mínimo».AiesC, tomando x como a e y como b. El candidato es .