Ejercicio 6 de la lista del parcial 2 · Guía 6 · traducir «tapa» al lenguaje elemental, medir la traducción y escribir la prueba sin citar la monotonía
El enunciado, textual: «Consideremos el siguiente resultado: Sea un reticulado cuaterna. Si son tales que tapa a , entonces para cualquier , se tiene que si , entonces . (a) Dé una sentencia elemental pura de reticulados cuaterna la cual exprese este resultado. (b) Dé una prueba elemental de reticulados cuaterna de la sentencia .» Es, palabra por palabra, el Ejercicio 10 de la Guía 6.
El resultado ya está probado como matemático en Cubrir y tapar, con el contraejemplo que muestra que cubrir no alcanza. Lo que pide el parcial es otra cosa: decirlo en un lenguaje que no tiene la palabra «tapa», y probarlo con los siete axiomas y nada más.
Dos objetos distintos. En (a), una sentencia: una fórmula sin variables libres, y pura: sin nombres de elementos fijos. Sólo puede usar , , , la igualdad, los conectivos y los cuantificadores. Ni «tapa» ni son símbolos del lenguaje, así que los dos se despliegan. La lista deja abreviar como y como , y escribir paréntesis de menos cuando no hay ambigüedad. En (b), una prueba elemental de esa sentencia: la que se escriba en (a), no otra.
El enunciado tiene dos «si» anidados y tres cuantificadores escondidos: «si son tales que…» es un ; «para cualquier » es un ; y la definición de tapar trae su propio «para cada ». Dónde va cada uno de esos cuantificadores es todo el inciso (a).
Y una trampa que no está en el enunciado: el resultado es verdadero en todo reticulado, así que mirar si tu es verdadera no verifica la traducción. Cualquier teorema es verdadero en todos los reticulados, diga lo que diga. Lo que hay que comparar es el pedazo que traduce « tapa a » contra la definición, par por par.
La definición, como la da la Guía 6 justo antes del ejercicio: tapa a cuando y , para cada tal que . O sea: es el mínimo de lo que está estrictamente arriba de .
Los axiomas, con los nombres de la Guía 6. La prueba usa cuatro de los siete:
A≤T, transitiva: .A≤A, antisimétrica: .AsesC, el supremo es cota superior: .As≤C, el supremo está debajo de toda cota superior: .No hace falta A≤R, y eso no es un detalle: es lo que decide la cuestión de la monotonía, en la sección 05.
Primera pieza: . No hay en el lenguaje. Se dice con lo que hay: . Las dos mitades hacen falta; abajo se ve qué pasa si falta la segunda.
Segunda pieza: « para cada tal que ». «Para cada tal que P, Q» es un con una implicación adentro, no con una conjunción: . Con diría que todo elemento está estrictamente arriba de , y tomando como eso es falso siempre.
Juntas, la condición « tapa a » queda
Tercera pieza: armar el resultado. El enunciado dice «para todo : si tapa a , entonces para todo : si , entonces ». Copiando esa forma tal cual, el queda en el consecuente. Se lo puede pasar adelante, a , y juntar las dos hipótesis con un : no aparece en la condición de tapar, así que da lo mismo.
Con el no da lo mismo. Está adentro del antecedente de una implicación, y un que sale del antecedente se da vuelta: equivale a , no a . Si se escriben todos los cuantificadores juntos al principio, , la hipótesis sobre ya no se pide para cada : alcanza con que un la cumpla. Y uno la cumple siempre: tomando como , es falso y la implicación es verdadera. La condición de tapar se reduce a , y la sentencia pasa a decir que todo lo que está arriba de se comporta como si lo tapara.
Abajo se arma la condición con las tres decisiones —cómo se dice , cómo se dice , dónde va — y se la evalúa en los reticulados de hasta seis elementos, par por par, contra la definición.
Lo medido, sobre los 25 reticulados de hasta seis elementos —todos, salvo isomorfismo—, comparando la condición con la definición en cada par y evaluando la sentencia entera:
Dos de las cinco traducciones equivocadas dan una sentencia verdadera en todos los reticulados. Por eso la verdad de no sirve de control, y lo que se compara es la condición. Y escribir «cubre» en lugar de «tapa» —la tentación de la Guía 2— da una sentencia falsa en 19 de los 25, que son justamente los 19 que tienen algún par que se cubre sin taparse.
La respuesta de (a). Con las abreviaturas de la lista,
y sin ninguna abreviatura, con todos los paréntesis:
Es una sentencia: e están ligadas por el del frente, por el suyo y por el suyo. Es pura: no aparece ningún nombre de elemento. Y la forma , con el adelante, es igualmente correcta: medida en los mismos 25, coincide con ésta en todos.
La prueba como matemático está en la nota de concepto; acá importa qué forma toma cuando se escribe con axiomas. Con , , en el lugar de , , , la meta es una igualdad, , y una igualdad se prueba con A≤A: dos desigualdades.
sale sin tapar. A la izquierda hay un supremo: As≤C lo parte en y . La segunda es AsesC. La primera pasa por : viene de la hipótesis y es AsesC, y A≤T las encadena.
es donde se usa tapar. As≤C lo parte en y ; la segunda es AsesC. Para la primera no hay intermedio: y no se tocan por ningún axioma. Lo que hay es la hipótesis de tapar, que es una sentencia con un , y una sentencia con se usa instanciándola. La pregunta es con qué. La meta dice , y la hipótesis da para cada estrictamente arriba de . Entonces tiene que ser , y hay que probar que está estrictamente arriba de .
es AsesC. Lo estricto es donde entra : si fuera , la desigualdad diría . Reemplazar un término por otro igual es un paso simple y obvio de la Guía 6.
Cada hipótesis se usa una sola vez: en la primera desigualdad, la mitad con y en la segunda. no se usa nunca, y eso explica lo medido arriba: con la sentencia sigue siendo un teorema, aunque ya no diga lo que pide el ejercicio.
La primera desigualdad es un caso del Ejercicio 1 de la lista, la monotonía del supremo , tomando como , como , como y como . Es tentador escribir «por el Ejercicio 1» y seguir. Pero la regla de la cátedra es que un resultado de una guía que se usa hay que enunciarlo y probarlo por separado, y la única excepción declarada es el Ejercicio 15.
Hecha la cuenta, citarla cuesta más que evitarla. Citada, hay que escribir su enunciado y su prueba —cuatro pasos sobre cuatro variables—, después instanciarla, y además conseguir para el segundo conjunto del antecedente, que pide A≤R. Evitada, son tres pasos sobre los elementos de la prueba: AsesC, A≤T y As≤C, sin A≤R. La decisión es escribirla desde los axiomas. Y la otra desigualdad no es monotonía de nada — es falso—, así que «análogamente» tampoco sirve ahí: es la mitad que usa tapar.
Prueba. Sean elementos fijos pero arbitrarios, y supongamos
Llamemos (H1), (H2) y (H3) a sus tres conjuntos: , y el que empieza con . (H2) no se va a usar. Hay que probar . Sea un elemento fijo pero arbitrario, y supongamos (H4) . Queremos probar .
Primera desigualdad: .
AsesC, tomando como e como , nos dice que .A≤T, tomando como , como y como , nos dice que . El antecedente se cumple: es (H1) y es el primer conjunto del paso anterior. Luego .As≤C, tomando como , como y como , nos dice que . El primer conjunto del antecedente es lo recién probado y el segundo es el segundo conjunto del primer paso. Luego .Segunda desigualdad: .
AsesC, tomando como e como , nos dice que .AsesC de esta desigualdad y es lo recién probado. Luego .As≤C, tomando como , como y como , nos dice que . El primer conjunto del antecedente es lo recién probado y el segundo es el segundo conjunto del AsesC de esta desigualdad. Luego .Cierre. El axioma A≤A, tomando como e como , nos dice que , y el antecedente son las dos desigualdades. Luego .
Como habíamos supuesto (H4), probamos , y ya que era fijo pero arbitrario, . Como habíamos supuesto la condición de tapar, probamos
y ya que y eran fijos pero arbitrarios, generalizando concluimos . ∎
«Para cada tal que P, Q» es , y el se queda pegado a su condición. Un cuantificador del consecuente puede salir al frente si su variable no aparece en el antecedente; uno del antecedente no puede, porque afuera es un . Es lo mismo que hay que cuidar al traducir maximal, máximo o cubrir en la Guía 6 y la Guía 7.
Una hipótesis con se usa eligiendo con qué instanciarla. La elección sale de la meta: había que llegar a , y la hipótesis daba . Es la misma jugada del Ejercicio 4 de la lista —todo maximal es máximo—, donde la hipótesis de maximal se usa con ; la idea, sin el lenguaje elemental, está en Maximal no es máximo.
El dual sale dando vuelta todo. El Ejercicio 18 de la lista del primer parcial define « es base de » — y para cada — y pide cuando . Es esta misma prueba con AiesC y Ai≥C en lugar de AsesC y As≤C, y con tomado como .
Lo que hace perder puntos. Traducir «tapa» como «cubre», que da una sentencia falsa. Poner al frente con los demás. Escribir sin desplegar, o desplegarlo como . Citar el Ejercicio 1 sin enunciarlo y probarlo. Despachar la segunda desigualdad con «análogamente», cuando es la única que usa tapar. Y usar (H3) sin decir que se tomó como .
A≤A sobre dos desigualdades. con AsesC, A≤T y As≤C; instanciando tapar en , después de ver por el absurdo que .A≤R. Escrita desde los axiomas son tres pasos.