Ejercicio 16 de la lista del parcial 3 · Guía 10, Ejercicio 17 · la inversa hereda las condiciones (1) y (2) sola, y la (3) es la única que podría fallar
El enunciado, textual: «Supongamos . Sea un homomorfismo biyectivo. Entonces es un isomorfismo».
Es el Ejercicio 17 de la Guía 10, que aparece justo después de definir homomorfismo e isomorfismo, con una frase que lo anuncia: «tal como sucedía para las distintas estructuras reticuladas estudiadas en las primeras guías, tenemos que cuando , la noción de isomorfismo se simplifica».
quiere decir que el tipo no tiene nombres de relación: sólo constantes y funciones. Una estructura de ese tipo es un universo con algunos elementos distinguidos y algunas operaciones, como un grupo o un reticulado terna.
Para la guía, un isomorfismo de en es un homomorfismo de en que es biyectivo y cuya inversa es un homomorfismo de en . El enunciado ya da las dos primeras cosas. Lo único que hay que probar es la tercera: es un homomorfismo. El ejercicio entero es eso.
Un ejemplo antes de probar nada. Sea : una constante y una función unaria. En el universo es , con y módulo 4: la constante es un punto de partida y da una vuelta de cuatro pasos. En el universo es , con y dando la vuelta . La función con , , , lleva el punto de partida al punto de partida y cada paso de la vuelta de a un paso de la de : es un homomorfismo biyectivo. Su inversa hace lo mismo leída al revés, y por eso también es homomorfismo. La prueba dice que eso no fue suerte del ejemplo.
Y no es trivial: con una relación, el enunciado es falso. En la sección 05 está el contraejemplo, que es de una línea.
Notación (Guía 10, p. 11). Dado de tipo , para cada se escribe en lugar de .
Homomorfismo (Guía 10, p. 11–12). Sean y de tipo . Una función es un homomorfismo de en si se cumplen
Isomorfismo (Guía 10, p. 12). «Un isomorfismo de en será un homomorfismo de en el cual sea biyectivo y cuya inversa sea un homomorfismo de en .»
La inversa. Si es biyectiva, hay una única función con para todo y para todo . Es teoría de conjuntos, no un resultado de la guía.
No se usa ningún lema de las guías: la prueba son las definiciones y dos cuentas.
Hay que verificar (1), (2) y (3) para , de en . Se mira cada una desde lo que pide.
(1) pide . Lo que se sabe es . Aplicando a los dos lados queda . Un renglón.
(2) pide , para cualesquiera. Lo que se sabe, la (2) de , habla de aplicada a elementos de la forma . El paso que destraba todo es escribir cada como de algo: llamando se tiene . Entonces
y aplicando a los extremos queda
Que todo sea de algo es la sobreyectividad; que ese algo sea uno solo, y que sea una función, es la inyectividad.
(3) pediría que implique . El mismo truco la reescribe como « implica », y eso es la (3) de leída al revés. La (3) de sólo va de a , y nada en la definición de homomorfismo dice que vuelva. Las condiciones (1) y (2) son igualdades, y una igualdad se puede despejar aplicando ; la (3) es una implicación, y una implicación no se despeja.
Con la (3) no pide nada: no hay ningún para el cual verificarla. Esa es toda la tarea de la hipótesis: se usa en un solo renglón de la prueba, y sin ella el enunciado es falso.
Abajo, las dos estructuras del ejemplo. Elegís , y se ven las tres condiciones para y para . Después agregás una relación y elegís cuáles elementos de están en .
Sin relaciones, la única biyectiva que es homomorfismo es la del ejemplo, y en cuanto pasa las condiciones, también las pasa. Con , para que sea homomorfismo alcanza con que esté en ; para que lo sea, no puede tener nada más que . Con , que es como arranca, es un homomorfismo biyectivo y no es isomorfismo.
Lo mismo, medido sin elegir el ejemplo. En el tipo con una constante, una función unaria y una binaria, con universo , hay 128 estructuras; recorriendo todos los pares y las dos biyecciones de en sí mismo salen 256 homomorfismos biyectivos, y la inversa es homomorfismo en los 256. Con una constante, una función unaria y una relación unaria hay 32 estructuras y 144 homomorfismos biyectivos, y en 80 de ellos la inversa no es homomorfismo: las 80 veces falla la condición (3).
Prueba. Sea un tipo con , sean y estructuras de tipo y sea un homomorfismo biyectivo. Por la definición de isomorfismo, basta ver que la inversa de es un homomorfismo de en .
Sea , y sean y con el mismo universo , y . La identidad es biyectiva y es homomorfismo: no hay constantes ni funciones, y la (3) no pide nada porque es vacía. Su inversa, que es la identidad de en , no cumple la (3): y . Así que no es isomorfismo. Medido: la identidad pasa las tres condiciones de en , y de en falla la (3) con en .
Es el mismo fenómeno que con los posets: la identidad de una anticadena en una cadena con los mismos elementos preserva el orden y es biyectiva, pero su inversa no lo preserva. Está en Un homomorfismo no refleja el orden. Con relaciones, lo que le falta a un homomorfismo biyectivo para ser isomorfismo es la vuelta de la (3): que implique .
Escribir cada elemento de como de algo es el paso que vuelve a aparecer en el Ejercicio 17: allá, en el caso , todo tiene que ser para poder usar lo que se sabe de , y por eso pide que sea sobre.
Un isomorfismo no cambia ninguna verdad, que es el Lema 7 de la Guía 10 y el Ejercicio 29. Con este ejercicio, en un tipo sin relaciones alcanza con verificar que es un homomorfismo biyectivo para usar el Lema 7. Las definiciones, el Lema 6 y el Lema 7 con su prueba están en Homomorfismos e isomorfismos de estructuras.
Lo que hace perder puntos. Usar sin decir que existe porque es biyectiva. Probar sólo que es biyectiva, que no es lo que pide la definición. En la (2), tomar de la forma sin decir por qué todo es de esa forma. Saltear la (3) sin decir nada: hay que escribir que se cumple porque , que es justamente donde se usa la hipótesis.