Terna, acotado y complementado no son tres nombres del mismo homomorfismo.
«Homomorfismo» también está definido tres veces en la Guía 5, una por cada tipo, y las tres frases se parecen tanto como las tres de subuniverso. La nota de al lado hace la pregunta con un subconjunto: el mismo S, tres respuestas. Ésta la hace con una función, que es el otro objeto que el tipo juzga.
Lo que pide cada una se apila y nunca se resta. El homomorfismo de ternas pide que F conmute con las dos operaciones: F(x s y) = F(x) s F(y) y lo mismo con i. El de acotados pide eso y además que F(0) = 0 y F(1) = 1. El de complementados pide eso y además que F(xᶜ) = F(x)ᶜ. Así que todo homomorfismo del complementado es uno del acotado, y todo homomorfismo del acotado es uno de la terna. Lo que hay que averiguar es cuánto se cae en cada escalón, y qué compra la capa que lo hace caer.
El escenario es el diamante en sí mismo: el 0 abajo, el 1 arriba, y a, b, c en el medio sin relación entre sí, con ᶜ fijada en 0ᶜ = 1, 1ᶜ = 0, aᶜ = b, bᶜ = c, cᶜ = a. Que la salida y la llegada sean el mismo reticulado no es comodidad: así la identidad está disponible y las tres lecturas pueden llegar a decir que sí. Con un destino más chico, «homomorfismo del complementado» sería una lectura muerta.
El widget arranca en la función constante a — todo va al a. Es la función más barata que hay y aun así pasa la primera capa sin despeinarse. De ahí para arriba lo armás vos.
La constante pasa la terna y muere en el acotado, y el testigo lo dice sin vueltas: el tipo pide F(0) = 0, y esta F manda el 0 al a. No hay nada sutil ahí. Una constante manda todo al mismo lugar, el acotado pide que el 0 y el 1 vayan a dos lugares distintos, y eso ya es una contradicción — no importa a cuál de los cinco elementos se aplaste.
Vale la pena quedarse un segundo en lo barata que es la primera capa. Conmutar con s e i suena a mucho, y sin embargo la función que borra el reticulado entero lo cumple: si todo va al mismo punto, los dos lados de F(x s y) = F(x) s F(y) son ese punto.
La pregunta que sigue es cuántas hay. El diamante tiene cinco elementos, así que hay 5⁵ funciones de él en sí mismo — tres mil ciento veinticinco, y no hay ninguna razón para creer que alguna respete algo. De todas ésas, once conmutan con s e i. Y las once se parten limpio en dos montones: cinco constantes y seis biyecciones. No hay ninguna en el medio; ninguna que aplaste un poco y conserve el resto.
Once son pocas y entran en una lista, así que no hace falta creerme: están todas abajo, con la capa hasta la que llega cada una. Elegí una y se carga arriba, con sus tres lecturas y su testigo.
A la derecha está la cuenta que va a importar después. Desde cada elemento x salen dos caminos: aplicarle ᶜ y después F, o aplicarle F y después ᶜ. El complementado pide, literalmente, que los dos terminen en el mismo lugar. La lista dice, fila por fila, dónde termina cada uno.
Las seis que pasan al acotado son exactamente las seis biyecciones, y las cinco que se caen son exactamente las cinco constantes. Ya vimos por qué: el 0 y el 1 tienen que ir a parar a dos elementos distintos, y una constante no sabe hacer eso. La segunda capa mata a un montón entero y no toca al otro.
La tercera capa es más selectiva. De las seis biyecciones, tres sobreviven a pedirles ᶜ: la identidad y las dos rotaciones —a↦b↦c↦a y a↦c↦b↦a—. Las tres que se caen son las transposiciones: las que intercambian dos elementos del medio y dejan quieto al tercero.
Y acá es donde la nota tenía que llegar, porque una transposición no falla por poco ni por casualidad. Falla por lo único que quedaba por fallar.
Mirá primero la cuenta que los dos widgets fueron llevando mientras recorrías la lista —complementos que van a complementos—, que contesta una pregunta más débil que la del tipo: si F(xᶜ) es un complemento de F(x), sin importar si es el que ᶜ eligió. Para las seis que llegan al acotado la respuesta es sí en los treinta pares: seis funciones por cinco elementos, sin una sola excepción. Para las cinco que se quedan en la terna la respuesta es no en los veinticinco, también sin excepción.
No es una medición con suerte; sale en dos renglones. Si F conmuta con s e i, entonces
F(x) s F(xᶜ) = F(x s xᶜ) = F(1) y F(x) i F(xᶜ) = F(x i xᶜ) = F(0)
Y ser complemento de F(x) es exactamente eso: dar 1 con el supremo y 0 con el ínfimo. Así que F(xᶜ) es complemento de F(x) si y sólo si F(1) = 1 y F(0) = 0 — que es, palabra por palabra, lo que agrega el acotado. Una constante no puede: mandaría el 1 y el 0 al mismo elemento, y ese elemento tendría que ser los dos a la vez.
Ahí está lo que compra la segunda capa. El 0 y el 1 hacen que la palabra «complemento» siga significando algo del otro lado. Sin ellos, F puede conmutar con s e i y aun así mandar un par de complementos a un par que no lo es — no porque se equivoque de elemento, sino porque del otro lado ya no hay dónde ser complemento de nadie.
Y entonces queda la pregunta obvia: si el acotado ya garantiza todo eso, ¿qué le queda por comprar a ᶜ? Justo lo único que faltaba: cuál. Cargá una transposición —digamos la que intercambia b y c— y leé las cinco filas. Conmuta con s e i, manda el 0 al 0 y el 1 al 1, y manda los cinco complementos a complementos. No le falta nada de eso. Lo que le falta es llegar al que ᶜ había elegido:
F(aᶜ) = F(b) = c, y F(a)ᶜ = aᶜ = b. Los dos son complementos de a.
Es la misma frontera que Un subuniverso no es una subestructura pone del lado de los subconjuntos, y la que Complementar es elegir dejó dicha antes que las dos: tener la propiedad no es lo mismo que respetar la elección. Del lado de los conjuntos, un S puede tener adentro algún complemento de cada uno de sus elementos y no tener el que ᶜ señaló. Del lado de las funciones, una F puede mandar cada complemento a un complemento y no al que ᶜ señaló. Las dos veces el precio lo cobra la misma capa.
Conviene decir una cosa más, porque cambia qué clase de hecho es el 3. Cuáles tres sobreviven depende de qué ᶜ se eligió, no sólo del dibujo: en el diamante cada elemento del medio tiene dos complementos, y quedarse con uno u otro arma estructuras distintas sobre el mismo diagrama de Hasse. Los 11 y los 6 los decide el reticulado. Los 3 los decide esta elección.
Con eso, las tres definiciones dejan de leerse como repetición. No son tres maneras de decir «respeta la estructura»: son tres estructuras, y cada una tiene su propia lista de cosas que respetar. Preguntar «¿F es homomorfismo?» sin decir de qué tipo es preguntar por la mitad.
Y la caída —once, seis, tres— es la medida de cuánto pesa cada capa sobre el mismo conjunto de funciones. La primera deja pasar hasta a la que borra todo. La segunda mata a las cinco que borran todo. La tercera mata a la mitad de lo que quedaba, y lo hace por la diferencia más fina que tiene la materia: no por lo que F no conserva, sino por cuál de dos elementos igualmente válidos elige.
Sirve para los ejercicios de homomorfismos de la Guía 5. Las resoluciones están en parcial-2/soluciones/practico-5-reticulados-acotados.pdf del repo de Lógica.