Probar que algo existe no siempre es salir a buscarlo. Acá el testigo se escribe con lo que ya estaba en la mesa, y la prueba entera son cuatro líneas.
Guía 8, Ejercicio 16 (b), pág. 25. El tipo tiene un solo símbolo y ninguna relación:
Y la teoría tiene un solo axioma propio:
Hay que dar una prueba elemental en de
En castellano: no se saltea a nadie. Cada elemento es de alguien.
Un enunciado existencial suele significar trabajo: hay que exhibir un testigo, y en general ese testigo aparece porque otra sentencia lo promete y una ELECCION lo nombra. Acá no. El testigo sale de una cuenta, y se lo puede señalar con el dedo.
Este ejercicio no tiene dónde mirarse: no hay orden que dibujar, no hay grafo que pintar, no hay diagrama de Hasse. Un símbolo de operación, un axioma y nada más. Eso no lo vuelve más difícil — lo vuelve más corto: la intuición acá es algebraica y entra en un renglón.
El axioma dice que aplicada dos veces vuelve al punto de partida. Entonces, si quiero llegar a un cualquiera, ya sé por dónde entrar: por . Porque dice exactamente eso: de da .
El testigo no se busca: se escribe. Y no hace falta ningún otro axioma para escribirlo — alcanza con instanciar el único que hay, y en el término correcto.
Abajo, el axioma todavía cuantificado. Elegí por cuál término particularizarlo y mirá qué ecuación queda; después probá qué le sirve a .
Con la ecuación es cierta y no sirve: a la derecha queda , así que lo que se probó es que tiene preimagen, no que la tenga . Con , en cambio, queda a la derecha — y entonces la ecuación ya es de la forma , sin tocarle una letra. El que hacía falta estaba adentro.
La misma cuenta, escrita como la pide la cátedra: línea numerada y justificación.
Ninguna de las cuatro abre un bloque: no hay hipótesis, no hay absurdo, no hay elección. Por eso tampoco hay nada que descargar antes de generalizar, y la prueba termina donde termina la cuenta.
La línea 3 es la que vale la nota. EXISTENCIA no inventa ningún objeto: lee la ecuación que ya estaba escrita — — como « de algo da », y le tapa ese algo con un . El algo es , y estaba a la vista desde la línea 2.
Y la línea 4 puede poner el porque nunca vino de una elección: se lo nombró en la línea 2 particularizando un , que es la forma de fijar un elemento arbitrario. Generalizar sobre un testigo elegido es el paso que la cátedra prohíbe, y acá no hay ninguno que elegir.
Son los dos modos de tratar un existencial, y conviene verlos uno al lado del otro. En Si no sale ninguna flecha, entra una —el Ejercicio 15 de esta misma guía— el testigo viene de una ELECCION: te lo dan, no podés tocarlo y hay que descargarlo antes de generalizar. Acá lo fabricás vos y sabés exactamente quién es.
La regla de corrección del parcial pide que, si una resolución usa un resultado de alguna de las guías, lo enuncie y lo pruebe por separado. En esta no hay nada que agregar: las cuatro líneas citan el único axioma propio de la teoría y tres reglas del formulario, y ningún lema.
El axioma no es decorativo. Sobre cuatro elementos hay 256 funciones unarias posibles — las que salen de decidir, elemento por elemento, adónde va cada uno. En 232 de ellas la sentencia es falsa: hay algún elemento sin preimagen. Las 10 que cumplen el axioma la cumplen todas: 0 fallas. Repetido sobre cinco elementos, la misma cuenta: 3125 funciones, 3005 en las que falla, 26 que cumplen el axioma y 0 fallas entre esas 26.
Y el testigo tiene que ser , no . De esas 10, en una sola —la identidad— cada elemento es su propio testigo. En las otras 9 hay algún elemento con , y ahí no alcanza. Sobre cinco elementos: 1 de 26. Que el axioma no obligue a a dejar nada quieto es justamente por qué el testigo hay que construirlo.
Sirve para el Ejercicio 16 (b) de la Guía 8, pág. 25. Las otras pruebas elementales escritas enteras están en Dos pruebas elementales y en Maximal no es máximo.