Rellenar con ceros no te da un dato nuevo: es la misma curva con lupa

Subir Nfft en una FFT se siente como pedirle más detalle a la medición. No lo es. La DFT es la DTFT muestreada cada 2π/Nfft, y agregar ceros a una señal no agrega una sola muestra real: evalúa exactamente la misma curva en más puntos, nunca una curva distinta. Es una lupa. Y una lupa no separa dos rayas que ya estaban fundidas — las agranda fundidas.

01 · Lo que el relleno hace de verdad

El apunte lo dice en la parte de la familia de Fourier, al describir qué hace fft(x, Nfft) cuando Nfft es más grande que el largo de $x$: no mejora la resolución espectral real, sólo interpola la DTFT de las mismas muestras. La cuenta que lo prueba es corta. La DTFT de una señal finita es $X(e^{j\omega })=\sum _{n}x[n]·e^{-j\omega n}$, sumada sobre las muestras que existen. Agregar ceros después de la última no cambia esa suma ni un poco — sumar cero no mueve nada —, así que el resultado es la misma función de $\omega$, apenas muestreada en más puntos.

Medido: comparando cada bin de una FFT con relleno contra la DTFT evaluada exactamente en ese mismo punto, la diferencia máxima — barriendo Nfft de 32 a 2048, con largos que no son potencia de dos incluidos — es 1,4×10⁻¹³. Y ese acuerdo no es una casualidad numérica que haya que ir a medir: rellenar con ceros no cambia ni un término de la suma —los sumandos nuevos valen cero—, así que la FFT con relleno es la misma DTFT, evaluada en más puntos. La diferencia que queda es redondeo de la máquina, y no hay margen ahí para que aparezca un dato que las muestras no tenían.

Para verlo con las propias muestras: dos tonos a $\omega =\mathrm{0,40}\pi$ y $\omega =\mathrm{0,43}\pi$ — separados por apenas $\mathrm{0,03}\pi$ —, y dos controles que mueven cada uno una cosa distinta.