Metés un coseno, sale un coseno: nunca otra cosa

El apunte de la cátedra lo resume en un mantra: seno entra, seno sale, a la misma frecuencia — nunca otra cosa. Un sistema LTI puede escalarle la amplitud a un coseno y correrle la fase, pero jamás lo convierte en un coseno de otra frecuencia, y jamás le agrega una frecuencia que no tenía. Elevar ese mismo coseno al cuadrado hace justo lo que un LTI no puede hacer: inventa una frecuencia que no estaba. Por eso $x^2$ no es LTI, y esa frase deja de ser una definición de manual en el momento en que se la ve pasar.

Con 32 muestras de un coseno y un promediador móvil de 4 términos, el pico del espectro de entrada mide 16 en el bin de ${\omega }_0$, sea cual sea ${\omega }_0$; el de salida se queda clavado en ese mismo bin y sólo cambia de altura — de 15,617 a ${\omega }_0/\pi =\mathrm{0,0625}$ hasta 2,413 a ${\omega }_0/\pi =\mathrm{0,4375}$ —, siempre igual a $16·|H({\omega }_0)|$ calculada aparte, con un error del orden de 10⁻¹⁶. Elevar la misma entrada al cuadrado no le toca la altura a ese pico: lo apaga —queda del orden de 10⁻¹⁵, cero de la máquina— y en cambio pone 16 en la frecuencia cero y 8 en $2{\omega }_0$, dos lugares que en la entrada no tenían nada.

01 · La autofunción: la entrada que no se deforma

El ejemplo que acompaña toda la unidad es el promediador móvil: la salida en $n$ es el promedio de una ventana de la entrada, $y[n]=x[n]$ promediado sobre $M$ muestras. Su respuesta al impulso $h[n]$ es un rectángulo que se apaga solo —es FIR—, y es LTI: lineal porque un promedio es una suma con pesos fijos, invariante en el tiempo porque la ventana no cambia de forma cuando corre.

La pregunta que responde la autofunción es ésta: ¿hay alguna entrada que cualquier LTI devuelva igual a sí misma, sólo multiplicada por un número? Para $z^n$ la respuesta sale de la propia convolución:

$y[n]=\sum _{k}h[k]·z^{n-k}=z^n·\sum _{k}h[k]·z^{-k}$

El factor $\sum _{k}h[k]·z^{-k}$ no depende de $n$ —es un número distinto para cada $z$, el mismo para todo $n$—, así que la exponencial entró y salió siendo ella misma, apenas multiplicada por ese número. Sobre $z=e^{j\omega }$ ese número tiene nombre: es la respuesta en frecuencia, $H(e^{j\omega })=\sum _{k}h[k]·e^{-j\omega k}$.

Un coseno real son dos exponenciales complejas (Euler), una en $+{\omega }_0$ y otra en $-{\omega }_0$. Cada una es autofunción por su lado, y si $h[n]$ es real —todos los filtros de este curso lo son— las dos salen conjugadas entre sí. La suma de dos conjugados es real, y da:

$A·\cos ({\omega }_{0}n+\phi )\to A·|H(e^{j{\omega }_0})|·\cos ({\omega }_{0}n+\phi +\theta ),con\theta =ángulodeH(e^{j{\omega }_0})$

Léelo como lo lee el apunte: coseno entra, coseno sale, a la misma frecuencia. Sólo cambian la amplitud —por $|H|$— y la fase —por $\theta$—. Un LTI jamás crea una frecuencia nueva, y la demostración de arriba no usó ningún valor concreto de $h[n]$: vale para cualquier promediador móvil, cualquier FIR, cualquier IIR. Vale porque es la forma de la convolución, no una propiedad de un filtro en particular.

02 · x² no juega con las mismas reglas

$x^2$ no es una autofunción de nada: es un sistema entero, y no es lineal. Duplicar la entrada no duplica la salida de $y[n]=x[n{]}^2$: la cuadruplica. Sin linealidad no queda nada de la demostración de arriba que rescatar, y el widget que sigue muestra la consecuencia concreta con el mismo coseno de entrada: por la misma identidad de Euler, aplicada esta vez al cuadrado,

${\cos }^2({\omega }_{0}n)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}·\cos (2{\omega }_{0}n)$

La frecuencia ${\omega }_0$ no aparece en ningún término de la derecha: desapareció. En su lugar hay dos frecuencias que la entrada nunca tuvo —$0$ y $2{\omega }_0$— y ningún $H(e^{j{\omega }_0})$ las predice, porque no hay ningún $H$ fijo detrás de $x^2$: la ganancia que cada frecuencia recibe depende de qué otra frecuencia tenga al lado, y eso es exactamente lo que un LTI no puede hacer.

03 · Por qué separan: canales que no se mezclan

La razón de fondo es la misma que hace útil a toda la familia Fourier: las exponenciales complejas son la única familia de entradas que cualquier LTI multiplica coordenada por coordenada, sin mezclarlas entre sí. Eso es literalmente lo que dice que $\sum _{k}h[k]·e^{-j\omega k}$ no dependa de $n$: cada frecuencia vive en su propio canal, y un LTI sólo puede girar la perilla de ese canal —$|H|$ y $\theta$—, nunca conectarlo con el canal de al lado.

$x^2$ no respeta canales. Multiplicar una señal por sí misma en el tiempo no es escalar prolijamente cada frecuencia: es la operación recíproca de «filtrar es convolucionar», así que un producto en tiempo corresponde a una convolución del espectro contra sí mismo, con las frecuencias sumándose y restándose entre ellas. De ahí nacen $0$ (${\omega }_0-{\omega }_0$) y $2{\omega }_0$ (${\omega }_0+{\omega }_0$) en el widget de arriba. No es magia ni es un defecto de $x^2$: es lo que hace multiplicar en vez de convolucionar, y es la misma cuenta que más adelante en el curso explica por qué modular una señal la corre en frecuencia.