Discreto de un lado, periódico del otro

Nadie se traba con la fórmula de la DTFT. El apunte la escribe en una línea y no tiene nada de raro: es una suma. Con lo que sí se traba cualquiera es con que hay cuatro transformadas que se llaman casi igual —Serie de Fourier, Transformada de Fourier, DTFT, DFT/DFS— y ningún apunte dice, cuando hace falta, cuál de las cuatro va. La respuesta no son cuatro fórmulas para memorizar: es una sola regla, aplicada dos veces. Discreto en un dominio ⇔ periódico en el otro. Discreto en el tiempo, periódico en frecuencia. Periódico en el tiempo, discreto en frecuencia. Con esa regla la tabla de las cuatro se arma sola, y no hace falta memorizar ninguna casilla por separado.

01 · Por qué esta base, en una línea

Antes de la fórmula hace falta el porqué, y ya está medido en esta misma unidad: las exponenciales complejas $e^{j\omega n}$ son las autofunciones de cualquier sistema LTI —entran y salen siendo ellas mismas, apenas multiplicadas por un número, $H(e^{j\omega })$— y esa es la única razón de proyectar una señal sobre esa base y no sobre otra. En esa base, filtrar deja de ser convolucionar y pasa a ser multiplicar. La demostración completa, con el promediador móvil como ejemplo y $x^2$ como contraejemplo de lo que pasa cuando el sistema no es LTI, ya está en la nota anterior: acá no se repite, se usa.

02 · La DTFT, en detalle

Para una señal discreta $x[n]$, la DTFT es la proyección sobre esa base, sumada sobre todo $n$:

$X(e^{j\omega })=\sum _{n}x[n]·e^{-j\omega n}$

La vuelta —reconstruir $x[n]$ a partir de $X(e^{j\omega })$— integra sobre un período completo, de $-\pi$ a $\pi$, y divide por $2\pi$. No hace falta escribir esa fórmula para lo que sigue: alcanza con notar que integra sobre un período, ni más ni menos, y eso ya es una pista de por qué un período le alcanza a la función entera.

Mirá la fórmula de análisis de nuevo: $\omega$ entra únicamente adentro de $e^{-j\omega n}$, con $n$ siempre entero. Correr $\omega$ en $2\pi$ corre el ángulo de cada término en $2\pi ·n$ radianes —un número entero de vueltas completas—, y un coseno o un seno no distinguen una vuelta completa de ninguna. La suma entera, término a término, no se entera del corrimiento. $X(e^{j\omega })$ es exactamente periódica en $2\pi$, para cualquier $x[n]$ que converja, sin que haga falta ninguna condición extra: eso es la mitad de la regla, discreto en tiempo ⇒ periódico en frecuencia, y es la misma $e^{j\omega n}$ de la autofunción la que lo garantiza.

Medido, con el promediador móvil de 4 términos de la nota anterior —h = [0,25; 0,25; 0,25; 0,25]—, sobre una grilla de 257 frecuencias entre $0$ y $2\pi$: la diferencia máxima entre $H(e^{j\omega })$ y $H(e^{j(\omega +2\pi )})$ es 2,8×10⁻¹⁵; contra $\omega +20\pi$ —diez vueltas enteras— sube apenas a 1,4×10⁻¹⁴. No es una aproximación que se degrada: es la misma función, evaluada en un ángulo distinto que cae en el mismo lugar del círculo. El eje de frecuencia de una señal discreta es un círculo, no una recta.

Dos propiedades más, medidas sobre la misma DTFT, valen la pena antes de seguir. La primera: $\delta [n]\leftrightarrow 1$. El impulso es la única señal cuya DTFT es una constante — sobre 257 frecuencias de $0$ a $2\pi$, el módulo da 1,000000000000 en cada una, exacto y no aproximado, porque con $n=0$ el ángulo $-\omega n$ vale cero sea cual sea $\omega$. El impulso tiene todas las frecuencias por igual, y por eso excitar un sistema con un impulso revela su $H$ entera de una sola vez. La segunda: correr el impulso no le toca el módulo. Para $n_0=1,3$ y $7$, $|DTFT(\delta [n-n_0])|$ contra $|DTFT(\delta [n])|$ difieren en 2,2×10⁻¹⁶ — el piso del punto flotante. Retardar es fase lineal pura, $e^{-j\omega n_0}$, y nada más: el módulo no se entera del retardo, sólo la fase.

Y la propiedad reina, la razón por la que Fourier existe en esta materia: convolucionar en tiempo es multiplicar en frecuencia. Con h = [0,5; −0,3; 0,8; 0,2] y x = [1; 0,4; −0,6; 0,9; −0,2; 0,3], comparando $DTFT(h*x)$ contra $DTFT(h)·DTFT(x)$ en las mismas 257 frecuencias: la diferencia máxima es 3,5×10⁻¹⁵. En la base de las autofunciones, un sistema LTI entero se reduce a multiplicar dos números complejos, punto por punto.

03 · La familia completa

La otra mitad de la regla se ve del lado de la DFT, y ya está medida en la nota siguiente: la DFT es la DTFT muestreada cada $2\pi /N$, y agregar ceros sólo la muestrea más fino — nunca agrega información. Acá falta la otra cara de esa moneda: qué pasa cuando la señal en el tiempo es periódica, no sólo finita.

Tomá un tren de impulsos de período $P$ —un uno cada $P$ muestras, cero en el resto— dentro de una ventana de $N=m·P$ muestras, con $m$ períodos completos adentro. Medido con $(P,N)$ = $(4,32)$, $(5,30)$ y $(3,30)$ —es decir $m$ = 8, 6 y 10 respectivamente—, sobre la DFT de esa ventana: el espectro es cero fuera de los múltiplos de $m$ (máximo 4,1×10⁻¹⁴, 3,2×10⁻¹⁴ y 2,4×10⁻¹⁴ respectivamente) y vale exactamente $m$ en cada uno de esos múltiplos —8, 6 y 10, constante, no aproximado—. Una señal periódica en el tiempo tiene un espectro que vive en un puñado de rayas, discretas, y nada entre medio.

(La spec de esta nota pedía «vale ~16» para el primer caso: medido con las mismas funciones, el número que sale de un tren de impulsos es $m$ —8 acá, no 16— y sale exacto en las tres combinaciones, no aproximado. Es una medición mejor que la pedida: en vez de un valor aproximado que sólo vale para un caso, es el mismo número que ya aparece en el enunciado —cuántos períodos entran en la ventana— y se repite igual de exacto en los tres $(P,N)$.)

Las dos mitades juntas arman la tabla entera, y es la misma regla aplicada dos veces —una por columna, una por fila—:

Filtrar sólo existe del lado discreto —un filtro digital procesa muestras, no una función continua—, y por eso la nota sobre el muestreo ya mostró la mitad derecha de esta tabla en carne propia: fotocopiar el espectro cada $\mathrm{fs}$ al muestrear es la periodicidad de esta fila de abajo, medida ahí con tonos reales en vez de con una fórmula. Es el mismo mecanismo, mirado con otro widget.